Seitenhalbierende Dreieck: konstruieren & berechnen

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Seitenhalbierende Dreieck – Eigenschaften

Schau dir erstmal die Definition für Seitenhalbierenden in einem Dreieck genau an!

Bei den Seitenhalbierenden handelt es sich um Strecken, die von einem Eckpunkt des Dreiecks zur Seitenmitte der gegenüberliegenden Dreiecksseite verlaufen. Jedes Dreieck hat somit drei Seitenhalbierende.

An dem Punkt, an dem die Seitenhalbierenden die jeweiligen Dreiecksseiten schneiden, liegt jeweils der Mittelpunkt der dazugehörigen Dreiecksseite. Die Dreiecksseiten werden an diesen Punkten in zwei gleich lange Teilstrecken unterteilt.

Die Seitenhalbierende, die vom Eckpunkt A zum Mittelpunkt der Seite a verläuft, wird mit $s_{a}$ bezeichnet.
Die Seitenhalbierende, die vom Eckpunkt B zum Mittelpunkt der Seite b verläuft, wird mit $s_{b}$ bezeichnet.
Die Seitenhalbierende, die vom Eckpunkt C zum Mittelpunkt der Seite c verläuft, wird mit $s_{c}$ bezeichnet.

Seitenhalbierende Dreieck, Eigenschaften, StudySmarter Abbildung 1: Eigenschaften

Die drei Seitenhalbierenden $s_{a}$ , $s_{b}$ und $s_{c}$ schneiden sich in genau einem Punkt. Dieser Punkt wird als Punkt S oder auch als Schwerpunkt des Dreiecks bezeichnet.

Am Schwerpunkt des Dreiecks werden die Seitenhalbierenden jeweils – ausgehend vom dazugehörigen Eckpunkt des Dreiecks – im Verhältnis 2:1 geteilt. Das bedeutet, dass genau $\frac{2}{3}$ der Strecke der Seitenhalbierenden zwischen Eckpunkt und Schwerpunkt des Dreiecks und $\frac{1}{3}$ der Strecke der Seitenhalbierenden zwischen Schwerpunkt und Mittelpunkt der Dreiecksseite liegt.

Wenn du mehr zum Schwerpunkt eines Dreiecks wissen möchtest, wirf doch gerne im Anschluss an diesen Artikel einen Blick in unseren Artikel zum Thema "Schwerpunkt eines Dreiecks".

Durch das Einzeichnen einer der drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks wird das Dreieck in zwei

gleich große Dreieckshälften unterteilt.

Seitenhalbierende Dreieck, Teildreiecke, StudySmarter

Abbildung 2: zwei entstehende Teildreiecke

Zur Erinnerung: Der Flächeninhalt eines Dreiecks ergibt sich aus dem Produkt der Grundseite g, der dazugehörigen Dreieckshöhe h und dem Faktor $\frac{1}{2}$ .

Die entsprechende Formel für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks lautet also:

$A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$

Zurück zu den beiden Dreieckshälften: Warum sind diese gleich groß?

Das liegt zum einen daran, dass die Grundseite der beiden Teildreiecke gleich lang ist, da die Dreiecksseite des Ausgangsdreiecks durch die Seitenhalbierende – wie der Name schon sagt – genau halbiert wurde. Die Grundseiten der beiden Teildreiecke sind also genau halb so lang wie die Seite des Ausgangsdreiecks.

In diesem Fall sind die Strecken $\bar{C M_{a}}$ und $\bar{M_{a} B}$ genau halb so lang wie die Seite a.

Außerdem teilen sich die beiden Teildreiecke eine gemeinsame Höhe:

die Höhe $h_{a}$ der Dreiecksseite a.

Abbildung 3: gemeinsame Höhe der Teildreiecke

Daraus resultiert:

$A_{1} = \frac{1}{2} \cdot \bar{C M_{a}} \cdot h_{a} u n d A_{2} = \frac{1}{2} \cdot \bar{M_{a} B} \cdot h_{a}$

Da für die beiden Grundseiten der beiden Teildreiecke gilt $\bar{C M_{a}} = \bar{M_{a} B}$ , gilt auch:

$A_{1} = A_{2}$

Demnach sind die beiden Teildreiecke $A B M_{a}$ und $A M_{a} C$ gleich groß.

Die Seitenhalbierende gehören neben den Mittelsenkrechten, den Winkelhalbierenden und den Höhen eines Dreiecks zu den Transversalen im Dreieck.

Seitenhalbierende Dreieck – konstruieren

Nachdem du nun gelernt hast, was Seitenhalbierende überhaupt sind, erfährst du in diesem Abschnitt, wie du sie für jedes Dreieck konstruieren kannst.

Es gibt zwei Möglichkeiten, die Seitenhalbierenden eines Dreiecks zu konstruieren:

Durch Ausmessen mit dem Lineal oder
Mithilfe von einem Zirkel

Beide Verfahren werden dir im Folgenden im Detail vorgestellt.

Seitenhalbierende Dreieck konstruieren – Ausmessen mit dem Lineal

Bei der Konstruktion der Seitenhalbierenden eines Dreiecks mit einem Lineal kannst du in den folgenden vier Schritten vorgehen:

1. Schritt: Bestimme die Länge der Dreiecksseite, deren Seitenhalbierende du zeichnen möchtest.

2. Schritt: Halbiere die Länge der Dreiecksseite, die du gerade ausgemessen hast.

3. Schritt: Zeichne auf der Dreiecksseite, deren Seitenhalbierende du zeichnen möchtest, den Punkt ein, der genau in der Mitte dieser Dreiecksseite liegt. Dieser Punkt liegt also von den beiden Eckpunkten des Dreiecks, die durch die Dreiecksseite verbunden werden, genau gleich weit entfernt, und zwar um die Länge, die du im zweiten Schritt ermittelt hast.

4. Schritt: Verbinde den eingezeichneten Mittelpunkt der Dreiecksseite mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt des Dreiecks.

Dieses Vorgehen führst du für alle drei Seiten des Dreiecks fort. Anschließend kannst du den Punkt, an dem sich die drei Seitenhalbierenden schneiden, als Punkt S bezeichnen.

Aufgabe 1

Angenommen, du möchtest die Seitenhalbierende der Dreiecksseite c des vorliegenden Dreiecks mithilfe eines Lineals zeichnen. Du weißt, dass die Dreiecksseite $c = 6 c m$ lang ist.

Seitenhalbierende Dreieck, Seitenhalbierende konstruieren, StudySmarter

Abbildung 4: Seitenhalbierende konstruieren – Ausgangssituation

1. Schritt: Du weißt, dass die Dreiecksseite c genau 6 cm lang ist.

2. Schritt: Die Hälfte der Länge der Seite c beträgt 3 cm.

3. Schritt: Als Nächstes zeichnest du den Mittelpunkt der Dreiecksseite c ein, der genau 3 cm vom Eckpunkt A und vom Eckpunkt B entfernt liegt:

Seitenhalbierende Dreieck, Konstruktion Mittelpunkt Seite c, StudySmarter

Abbildung 5: Mittelpunkt der Seite c

4. Schritt: Abschließend musst du nur noch den Punkt $M_{c}$ mit dem Eckpunkt C des Dreiecks verbinden:

Seitenhalbierende eines Dreiecks Konstruktion StudySmarter

Abbildung 6: Ergebnis Seitenhalbierende Sc

Du erhältst die Seitenhalbierende $s_{c}$ .

Seitenhalbierende Dreieck konstruieren – mit dem Zirkel

Bei der Konstruktion der Seitenhalbierenden eines Dreiecks mit dem Zirkel, kannst du dich an den folgenden drei Schritten orientieren:

1. Schritt: Zeichne zwei Kreise $k_{1}$ und $k_{2}$ , die jeweils einen der beiden Eckpunkte des Dreiecks zum Mittelpunkt haben, der die Seite, dessen Seitenhalbierende gezeichnet werden soll, begrenzt. Dabei ist es wichtig, dass der gewählte Radius bei den beiden Kreisen gleich groß ist und außerdem mindestens halb so lang ist wie die längere Dreiecksseite.

2. Schritt: Bestimme den Mittelpunkt der Dreiecksseite, indem du die beiden Schnittpunkte der beiden Kreise durch eine Strecke miteinander verbindest. Der Punkt, an dem die gezeichnete Strecke die Dreiecksseite schneidet, ist der Mittelpunkt dieser Dreiecksseite.

3. Schritt: Verbinde den eingezeichneten Mittelpunkt der Dreiecksseite mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt des Dreiecks. Diese Strecke ist die Seitenhalbierende.

Dieses Vorgehen führst du für alle drei Seiten des Dreiecks durch. Anschließend kannst du den Punkt, an dem sich die drei Seitenhalbierenden schneiden, als Punkt S bezeichnen.

Aufgabe 2

Angenommen du möchtest nun die Seitenhalbierende der Dreiecksseite c desselben Dreiecks mithilfe eines Zirkels zeichnen.

Seitenhalbierende eines Dreiecks Konstruktion StudySmarter

Abbildung 7: Seitenhalbierende konstruieren Zirkel – Ausgangssituation

Schritt 1: Zunächst zeichnest du zwei Kreise $k_{1}$ und $k_{2}$ mit den Mittelpunkten A und B und einem Radius, der mindestens halb so lang ist wie die Seite c.

Seitenhalbierende eines Dreiecks Konstruktion StudySmarter

Abbildung 8: Kreise k1 und k2 mit den Mittelpunkten A und B

Schritt 2: Als Nächstes bestimmst du den Mittelpunkt der Dreiecksseite c. Dafür bestimmst du zuerst die Schnittpunkte D und E der beiden Kreise $k_{1}$ und $k_{2}$ . Dann verbindest du sie durch eine Strecke und markierst abschließend den Punkt, an dem diese Strecke die Seite c des Dreiecks schneidet, als Mittelpunkt $M_{c}$ .

Seitenhalbierende eines Dreiecks Konstruktion StudySmarter

Abbildung 9: Bestimmung des Mittelpunkts der Seite c

Schritt 3: Zum Schluss musst du nur noch den Punkt $M_{c}$ mit dem Eckpunkt C des Dreiecks verbinden:

Seitenhalbierende eines Dreiecks Konstruktion StudySmarter

Abbildung 10: Seitenhalbierende des Dreiecks

Du hast die Seitenhalbierende $s_{c}$ der Seite c ermittelt.

Seitenhalbierende Dreieck – berechnen

Es ist nicht immer notwendig, die Seitenhalbierenden eines Dreiecks zu zeichnen. Manchmal reicht es auch aus, sie zu berechnen. Wie das funktioniert, erfährst du im folgenden Abschnitt.

Du kannst zum einen, die Länge der Seitenhalbierenden bestimmen. Dafür benötigst du nur die drei Seitenlängen des Dreiecks.

Wenn du schon in der Oberstufe und mit Vektoren vertraut bist, kannst du die Seitenhalbierende auch in Form einer Geradengleichung angeben. Dafür musst du lediglich die Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks kennen.

Seitenhalbierende Dreieck – Länge berechnen

Um die Länge der Seitenhalbierenden eines Dreiecks mit den Seiten a, b und c zu bestimmen, kannst du die folgenden Formeln verwenden:

Die Formeln für die Länge der Seitenhalbierenden $s_{a}$ der Seite a, der Seitenhalbierenden $s_{b}$ der Seite b und der Seitenhalbierenden $s_{c}$ der Seite c lauten:

s_{a} = \frac{\sqrt{2 \cdot (b^{2} + c^{2}) - a^{2}}}{2} s_{b} = \frac{\sqrt{2 \cdot (c^{2} + a^{2}) - b^{2}}}{2} s_{c} = \frac{\sqrt{2 \cdot (a^{2} + b^{2}) - c^{2}}}{2}

Aufgabe 3

Nimm an, du sollst die Länge der Seitenhalbierenden $s_{a}$ berechnen, wenn für die Seiten des Dreiecks gilt:

$a = 10 c m, b = 6 c m u n d c = 8 c m$

Zur Berechnung der Länge von $s_{a}$ verwendest du einfach die folgende Formel:

$s_{a} = \frac{\sqrt{2 \cdot (b^{2} + c^{2}) - a^{2}}}{2}$

Nach Einsetzen der Werte für die Dreiecksseiten ergibt sich:

$\begin{array}{rcl} s_{a} & = & \frac{\sqrt{2 \cdot ({(6 c m)}^{2} + {(8 c m)}^{2}) - {(10 c m)}^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{2 \cdot (36 c m^{2} + 64 c m^{2}) - 100 c m^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{2 \cdot 100 c m^{2} - 100 c m^{2}}}{2} \\ = & \frac{\sqrt{100 c m^{2}}}{2} = \frac{10 c m}{2} = 5 c m \end{array}$

Die Seitenhalbierende $s_{a}$ ist also 5 cm lang.

Seitenhalbierende Dreieck – Geradengleichung berechnen

Um die Geradengleichung der Seitenhalbierenden eines Dreiecks zu berechnen, benötigst du wie bereits erwähnt nur die Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks.

Möchtest du die Geradengleichung einer der Seitenhalbierenden berechnen, kannst du dich an den folgenden drei Schritten orientieren:

1. Schritt: Zuerst berechnest du den Mittelpunkt der Seite, deren Seitenhalbierende du bestimmen möchtest.

Den x-Wert des Mittelpunkts erhältst du, indem du den x-Wert des ersten Eckpunktes und den x-Wert des zweiten Eckpunktes miteinander addierst und die Summe anschließend durch 2 teilst.

Den y-Wert des Mittelpunkts erhältst du, indem du den y-Wert des ersten Eckpunktes und den y-Wert des zweiten Eckpunktes miteinander addierst und die Summe anschließend durch 2 teilst.

Anschließend kannst du die Koordinaten des Mittelpunkts $M (M_{x} | M_{y})$ der Strecke angeben.

2. Schritt: Im nächsten Schritt benötigst du die Zweipunkteform.

Die Zweipunkteform lautet:

\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y - y_{1}}{x - x_{1}}

Die Werte für $x_{2}$ und $y_{2}$ kannst du aus dem gerade bestimmten Punkt M ablesen.

Die Werte für $x_{1}$ und $y_{1}$ sind die Koordinaten des Eckpunktes des Dreiecks, durch den die Seitenhalbierende verläuft.

3. Schritt: Abschließend muss die Zweipunkteformel nur noch nach y aufgelöst werden, um die Geradengleichung der Seitenhalbierenden im Stil $y = m \cdot x + b$ zu erhalten.

Aufgabe 4

Berechne die Geradengleichung der Seitenhalbierenden $s_{a}$ , wenn für die Koordinaten der Dreieckseckpunkte gilt:

$A (0, 6 | 2, 6), B (- 2 | 8) u n d C (8 | 2)$

1. Schritt: Zuerst berechnest du die Koordinaten des Mittelpunkts $M_{a}$ der Seite a.

Es gilt:

$x_{M} = \frac{- 2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 u n d y_{M} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Daher lauten die Koordinaten für den Mittelpunkt $M_{a}$ der Dreiecksseite a $M_{a} (3 | 5)$ .

2. Schritt: Danach wird die Zweipunkteformel verwendet. Mit $M_{a} (3 | 5) u n d A (0, 6 | 2, 6)$ folgt:

$\frac{5 - 2, 6}{3 - 0, 6} = \frac{y - 2, 6}{x - 0, 6}$

3. Schritt: Zum Schluss wird die Zweipunkteformel nach der Variable y aufgelöst:

$\begin{array}{rcl} \frac{5 - 2, 6}{3 - 0, 6} & = & \frac{y - 2, 6}{x - 0, 6} \\ \frac{2, 4}{2, 4} & = & \frac{y - 2, 6}{x - 0, 6} \\ 1 & = & \frac{y - 2, 6}{x - 0, 6} \cdot (x - 0, 6) \\ x - 0, 6 & = & y - 2, 6 + 2, 6 \\ x + 2 & = & y \end{array}$

Die Geradengleichung für die Seitenhalbierende $s_{a}$ lautet: $y = x + 2$

Seitenhalbierende Dreieck – Beweis

Es soll bewiesen werden, dass die Seitenhalbierende eines Dreiecks im Schwerpunkt S im Verhältnis 2:1 geteilt werden. Dabei liegt genau $\frac{2}{3}$ der Strecke der Seitenhalbierenden zwischen Eckpunkt und Schwerpunkt und $\frac{1}{3}$ der Strecke der Seitenhalbierenden zwischen Schwerpunkt und Mittelpunkt der Dreiecksseite.

Um diesen Beweis zu verstehen, ist es wichtig, den zweiten Strahlensatz zu beherrschen. Falls du nicht mehr genau wissen solltest, was der zweite Strahlensatz besagt und wie dieser angewandt wird, ist es sicher hilfreich, dir zunächst noch mal den Artikel zum Thema "Zweiter Strahlensatz" anzuschauen.

Um den Beweis zu veranschaulichen, wird zunächst ein Dreieck ABC gezeichnet. Außerdem werden die Mittelpunkt $M_{a}$ , $M_{b}$ und $M_{c}$ der Dreiecksseiten a, b und c markiert und die Strecke $\bar{M_{b} M_{c}}$ eingezeichnet.

Seitenhalbierende eines Dreiecks Beweis StudySmarter

Abbildung 11: Ausgangssituation Beweis Seitenhalbierende

Da die Punkte $M_{b}$ und $M_{c}$ jeweils die Mittelpunkte der Strecken $\bar{A B}$ und $\bar{A C}$ sind, gilt für die Verhältnisse der Strecken:

$\frac{\bar{A B}}{\bar{A M_{c}}} = \frac{2}{1} u n d \frac{\bar{A C}}{\bar{A M_{b}}} = \frac{2}{1}$

Aus dieser Erkenntnis lässt sich schließen, dass die beiden Strecken $\bar{B C}$ und $\bar{M_{b} M_{c}}$ parallel zueinander verlaufen.

Wir erhalten daher eine Figur, auf die sich die Strahlensätze anwenden lassen. Der Punkt A ist der Scheitelpunkt dieser Figur.

Deshalb kann für das Verhältnis der Strecken $\bar{A C}$ und $\bar{M_{a} M_{c}}$ geschlossen werden:

$\frac{\bar{A C}}{\bar{M_{a} M_{c}}} = \frac{2}{1}$

Im nächsten Schritt werden die beiden Seitenhalbierenden $s_{b}$ und $s_{c}$ sowie der Schwerpunkt S des Dreiecks eingezeichnet:

Seitenhalbierende eines Dreiecks Beweis StudySmarter

Abbildung 12: Beweis Seitenhalbierende

Auch hier ergibt sich eine Strahlensatzfigur, die dieses Mal den Schwerpunkt S zum Scheitel hat und wieder die beiden parallelen Strecken $\bar{B C}$ und $\bar{M_{b} M_{c}}$ beinhaltet.

Da gilt: $\frac{\bar{B C}}{\bar{M_{b} M_{c}}} = \frac{2}{1}$ , gilt nach dem zweiten Strahlensatz auch:

$\frac{\bar{B S}}{\bar{S M_{b}}} = \frac{2}{1} u n d \frac{\bar{C S}}{\bar{S M_{c}}} = \frac{2}{1}$

Damit ist bewiesen, dass die Seitenhalbierenden eines Dreiecks am Schwerpunkt des Dreiecks im Verhältnis 2:1 geteilt werden. q. e. d.

q. e. d. ist eine Abkürzung für den lateinischen Satz "Quod erat demonstrandum". Das bedeutet so viel wie "Was zu beweisen war" und steht in der Regel am Ende eines Beweises.

Seitenhalbierende Dreieck - Das Wichtigste

Bei den Seitenhalbierenden handelt es sich um Strecken, die von einem Eckpunkt des Dreiecks zur Seitenmitte der gegenüberliegenden Dreiecksseite verlaufen. Sie gehören zu den Transversalen im Dreieck.
Jedes Dreieck hat drei Seitenhalbierende.
Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich in genau einem Punkt, dem Schwerpunkt S des Dreiecks. An diesem Punkt werden die Seitenhalbierenden genau im Verhältnis 2:1 geteilt. Das kann mithilfe der Strahlensätze bewiesen werden.
Durch das Einzeichnen einer der drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks wird das Dreieck in zwei gleich große Dreieckshälften unterteilt.
Die Formel für die Länge der Seitenhalbierenden $s_{a}$ lautet: $s_{a} = \frac{\sqrt{2 \cdot (b^{2} + c^{2}) - a^{2}}}{2}$
Die Formel für die Länge der Seitenhalbierenden $s_{b}$ lautet: $s_{b} = \frac{\sqrt{2 \cdot (c^{2} + a^{2}) - b^{2}}}{2}$
Die Formel für die Länge der Seitenhalbierenden $s_{c}$ lautet: $s_{c} = \frac{\sqrt{2 \cdot (a^{2} + b^{2}) - c^{2}}}{2}$

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Seitenhalbierende Dreieck

Wo schneiden sich die Seitenhalbierenden im Dreieck?

Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich im Schwerpunkt des Dreiecks. Dieser Punkt wird auch als Punkt S bezeichnet.

Ist die Seitenhalbierende auch die Winkelhalbierende?

In den meisten Fällen ist die Seitenhalbierende eines Dreiecks nicht gleichzeitig auch eine Winkelhalbierende. Nur bei besonderen Dreiecken kann die Seitenhalbierende gleichzeitig die Winkelhalbierende sein. Bei gleichseitigen Dreiecken zum Beispiel ist jede Seitenhalbierende auch eine Winkelhalbierende. Bei gleichschenkligen Dreiecken ist die Seitenhalbierende der Basis auch eine Winkelhalbierende des Dreiecks.

Was ist die Seitenhalbierende in einem Dreieck?

Die Seitenhalbierende ist die Strecke eines Dreiecks, die von einem Eckpunkt des Dreiecks zur Seitenmitte der gegenüberliegenden Dreiecksseite verläuft. Jedes Dreieck hat somit drei Seitenhalbierende. Die Seitenhalbierenden gehören zu den Transversalen eines Dreiecks.

Welche Eigenschaften hat eine Seitenhalbierende in jedem Dreieck?

Die Seitenhalbierenden gehören zu den Transversalen in einem Dreieck. Sie sind die Strecken eines Dreiecks, die von einem Eckpunkt des Dreiecks zur Seitenmitte der gegenüberliegenden Dreiecksseite verlaufen. An dem Punkt, an dem die Seitenhalbierende die Dreiecksseite schneidet, wird diese in zwei gleich große Hälften geteilt.

Außerdem wird das Dreieck durch das Einzeichnen einer der Seitenhalbierenden in zwei gleich große Dreieckshälften unterteilt.

Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich im Schwerpunkt S des Dreiecks.

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