Sinus Kosinus Tangens: Erklärung & Formeln

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Rechtwinkliges Dreieck – Grundlagenwissen

Um den Sinus, Kosinus und Tangens auf ein rechtwinkliges Dreieck anwenden zu können, zunächst eine kleine Wiederholung zum Thema rechtwinklige Dreiecke. Die Beschriftung der Seiten des Dreiecks (Hypotenuse, Ankathete, Gegenkathete) ist später auch wichtig für die Berechnung eines Dreiecks mit den drei Winkelfunktionen.

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt drei Seiten und drei Winkel, wobei ein Winkel davon rechtwinklig ist und damit genau $90 °$ hat.

Die bestimmen Winkel in einem Dreieck werden mit griechischen Buchstaben definiert ( $α, β, γ$ ). Einer dieser Winkel, wie Du in Abbildung 1 sehen kannst, ist rechtwinklig. In diesem Fall ist das:

$γ = 90 °$

Sinus Kosinus Tangens Beschriftung rechtwinkliges Dreieck Sinus Kosinus Tangens Erklärung StudySmarter Abbildung 1: Rechtwinkliges Dreieck

Wie Du ebenfalls in der Abbildung erkennen kannst, werden die Eckpunkte eines Dreiecks mit den Großbuchstaben des Alphabets gegen den Uhrzeigersinn beschriftet. Die Seiten des Dreiecks tragen den gleichnamigen Kleinbuchstaben des gegenüberliegenden Punkts (gegenüber von Punkt B liegt die Seite b).

Je nachdem, welcher Winkel betrachtet wird, kann ein rechtwinkliges Dreieck noch mit den Begriffen Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse beschriftet werden.

Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse

Rechtwinklige Dreiecke haben für die Seiten eine spezifische Beschriftung, und zwar beschriftest Du die Seiten mit den Begriffen Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse. Wie diese Beschriftung aussieht, siehst Du in der nachfolgenden Abbildung 2. In diesem Fall wird der Winkel α betrachtet.

Sinus Kosinus Tangens Beschriftung rechtwinkliges Dreieck Sinus Kosinus Tangens Erklärung StudySmarter Abbildung 2: Hypotenuse und Katheten

Die Seite gegenüber von dem rechten Winkel heißt Hypotenuse. Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck. In diesem Fall ist die Hypotenuse die Seite c.

Wenn Du das Dreieck von dem Winkel α aus betrachtest, ist die Gegenkathete die Seite, die den Winkel α nicht berührt, also ihm gegenüberliegt. Das wäre hier die Seite a.

Die Ankathete ist die Seite, die an den Winkel α anliegt. Hier ist das die Seite b. Diese Bezeichnungen spielen bei den trigonometrischen Berechnungen (Sinus, Kosinus und Tangens) eine Rolle.

Wird der Winkel β betrachtet, so bleibt die Hypotenuse bestehen. Jedoch müssen die beiden Katheten vertauscht werden.

Alles rund um das Thema rechtwinkliges Dreieck findest Du im Artikel Dreiecksarten und rechtwinkliges Dreieck.

Inwieweit helfen diese Bezeichnungen bei der Betrachtung von Winkelfunktionen?

Sinus, Kosinus & Tangens – Erklärung & Formeln

Die drei trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens können mithilfe der Katheten und der Hypotenuse beschrieben werden. Mit diesen Formeln kannst Du in der Anwendung einige Seitenlängen und Winkel bei rechtwinkligen Dreiecken berechnen, auch wenn sie nicht alle gegeben sind.

Achtung: Die folgenden Formeln sind nur bei rechtwinkligen Dreiecken anwendbar! Handelt es sich bei Deiner Aufgabe um ein allgemeines Dreieck, so müssen andere Formeln verwendet werden.

Sinus am rechtwinkligen Dreieck

Bei den Formeln der Winkelfunktionen werden die Seitenverhältnisse der Dreiecksseiten betrachtet. Je nachdem, welche Seiten oder Winkel Du in einem rechtwinkligen Dreieck gegeben hast, kannst Du den Sinus, Kosinus oder Tangens anwenden.

Der Sinus von einem Winkel α wird aus dem Quotienten der Gegenkathete zu α und der Hypotenuse des Dreiecks gebildet.

$\sin (α) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$

In dem nachfolgenden Beispiel ist die Anwendung des Sinus in einem rechtwinkligen Dreieck veranschaulicht.

Du hast ein rechtwinkliges Dreieck vorliegen. Gegeben sind die Länge der Seite c und die Größe des Winkels α.

$c = 6 c m α = 34, 3 °$

Es soll berechnet werden, wie lang die Strecke a ist.

Sinus Kosinus Tangens rechtwinkliges Dreieck Sinus Kosinus Tangens Erklärung StudySmarter Abbildung 3: Rechtwinkliges Dreieck

Da der Winkel α gegeben ist, kann die Seite a als Gegenkathete zu α bezeichnet werden. Die längste Seite c ist die Hypotenuse.

Es wird eine Formel benötigt, die sowohl den Winkel α, die Hypotenuse c und die Gegenkathete a zu α beinhaltet. Dies ist beim Sinus der Fall. Mit der Formel gilt:

$\sin (α) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$

Durch Einsetzen der Werte des Winkels α und der Seite c ergibt sich:

$\sin (34, 3 °) = \frac{a}{6 c m} \cdot 6 c m \sin (34, 3 °) \cdot 6 c m = a 3, 38 c m \approx a$

Die Strecke a hat damit etwa eine Länge von $a \approx 3, 38 c m$ .

Achte bei Deinem Taschenrechner immer darauf, dass bei solchen Berechnungen das Gradmaß eingestellt ist. Das Bogenmaß (rad) würde hier andere Ergebnisse liefern.

Nicht bei jeder Aufgabenstellung ist die Gegenkathete zu einem Winkel angegeben. Wie gehst Du vor, wenn andere Seiten gegeben sind?

Kosinus am rechtwinkligen Dreieck

Der Kosinus kann ebenfalls durch Seitenverhältnisse beschrieben werden. Mit ihm kannst Du, genau wie mit dem Sinus, Winkel und Längen von Seiten im rechtwinkligen Dreieck berechnen.

Der Kosinus eines Winkels α wird aus dem Quotienten der Ankathete zu α und der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks gebildet.

$\cos (α) = \frac{A n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$

Wie bei dem Sinus gibt es für den Kosinus auch ein Beispiel, um die Anwendung der Winkelfunktion Kosinus zu veranschaulichen.

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Seitenlänge $c = 5, 1 c m$ und der Größe des Winkelsid="2654394" role="math" $α = 54, 0 °$ . Gesucht ist die Länge der Seite b.

Sinus Kosinus Tangens rechtwinkliges Dreieck Sinus Kosinus Tangens Erklärung StudySmarter Abbildung 4: Rechtwinkliges Dreieck

In diesem Fall ist die Hypotenuse c gegeben und der Winkel α. Berechnet werden soll die Länge der Seite b, welche hier als Ankathete zu α bezeichnet werden kann.

Eine Formel, die all diese Größen miteinander vereint, ist der Kosinus.

$\cos (α) = \frac{A n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$

Setzt Du die gegebene Seitenlänge c und den Winkel α in die Formel ein, so ergibt sich:

$\begin{array}{rcl} \cos (54, 0 °) & = & \frac{b}{5, 1 c m} | \cdot 5, 1 c m \\ \cos (54, 0 °) \cdot 5, 1 c m & = & b \\ 3, 00 c m & \approx & b \end{array}$

Die Strecke b hat eine Länge von $b \approx 3, 00 c m$ .

In beiden Formeln zum Sinus und Kosinus wurde die Hypotenuse verwendet. Was aber, wenn diese nicht gegeben oder gesucht ist, sondern lediglich die Katheten?

Tangens am rechtwinkligen Dreieck

Auch der Tangens ist eine der drei Winkelfunktionen. Wenn Du mit dem Tangens rechnest, dann spielen die beiden Katheten eine Rolle.

Der Tangens eines Winkel α bildet sich aus dem Quotienten der Gegenkathete zu α und der Ankathete zu α.

$\tan (α) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{A n k a t h e t e}$

Den Tangens wendest Du ebenfalls bei der Berechnung eines rechtwinkligen Dreiecks an. Wie das genau funktioniert, siehst Du im nachfolgenden Beispiel.

Du hast wieder ein rechtwinkliges Dreieck vorliegen. Gegeben sind der Winkel α mit einer Größe von $α = 34, 3 °$ und die Seite b mit einer Länge von $b = 4, 96 c m$ . Gesucht ist die Länge der Seite a.

Sinus Kosinus Tangens rechtwinkliges Dreieck Sinus Kosinus Tangens Erklärung StudySmarter Abbildung 5: Rechtwinkliges Dreieck

Die gesuchte Seite a ist in diesem Fall die Gegenkathete zu α. Gegeben ist die Ankathete zu α und der Winkel α. Es könnte beispielsweise mit dem Kosinus und der Ankathete b zunächst die Hypotenuse c ausgerechnet werden. Anschließend dann mit dem Sinus die Seite a. Es gibt jedoch auch einen direkten Weg über den Tangens.

Der Tangens vereint den Winkel α, die Ankathete und die Gegenkathete in einer Formel.

$\tan (α) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{A n k a t h e t e}$

Setzt Du die bekannten Werte für $b = 4, 96 c m$ und $α = 34, 3 °$ in die Formel ein, so ergibt sich:

$\begin{array}{rcl} \tan (34, 3 °) & = & \frac{a}{4, 96 c m} | \cdot 4, 96 c m \\ \tan (34, 3 °) \cdot 4, 96 c m & = & a \\ 3, 38 c m & \approx & a \end{array}$

Die Länge der Strecke a beträgt ca. $a \approx 3, 38 c m$ .

Je nachdem, welche Seiten und Winkel des rechtwinkligen Dreiecks gegeben sind, so kann die entsprechende Formel ausgewählt werden. Im folgenden Kapitel siehst Du alle Formeln auf einen Blick.

Sinus, Kosinus & Tangens – Tabelle mit Formeln

Winkelfunktion	Formel
Abbildung 6: Rechtwinkliges Dreieck
Sinus von Winkel α	$\sin (α) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e} = \frac{a}{c}$
Kosinus von Winkel α	$\cos (α) = \frac{A n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e} = \frac{b}{c}$
Tangens von Winkel α	$\tan (α) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{A n k a t h e t e} = \frac{a}{b}$

Diese Formeln gelten dann, wenn Du das Dreieck von dem Winkel α aus betrachtest. Betrachtest Du das Dreieck von dem Winkel β aus, dann müssen in der Abbildung die Katheten getauscht werden.

Winkelfunktion	Formel
Abbildung 7: Rechtwinkliges Dreieck
Sinus von Winkel β	$\sin (β) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e} = \frac{b}{c}$
Kosinus von Winkel β	$\cos (β) = \frac{A n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e} = \frac{a}{c}$
Tangens von Winkel β	$\tan (β) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{A n k a t h e t e} = \frac{b}{a}$

Wie Du siehst, sind die Winkelfunktionen als Formeln nutzbar. Formeln kannst Du umstellen. Das gilt natürlich auch für die drei Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens.

Sinus, Kosinus & Tangens – Formeln umstellen

Oben in den Beispielen hast Du diese Umstellungen schon in Anwendung gesehen. Hier ist das Umstellen nochmal allgemein definiert.

$\begin{array}{rcl} \sin (α) & = & \frac{G e g .}{H y p .} \end{array}$	$\begin{array}{rcl} \cos (α) & = & \frac{A n k .}{H y p .} \end{array}$	$\begin{array}{rcl} \tan (α) & = & \frac{G e g .}{A n k .} \end{array}$
$\begin{array}{rcl} α & = & \sin^{- 1} (\frac{G e g .}{H y p .}) \end{array}$	$\begin{array}{rcl} α & = & \cos^{- 1} (\frac{A n k .}{H y p .}) \end{array}$	$\begin{array}{rcl} α & = & \tan^{- 1} (\frac{G e g .}{A n k .}) \end{array}$
$\begin{array}{rcl} H y p . & = & \frac{G e g .}{\sin (α)} \end{array}$	$\begin{array}{rcl} A n k . & = & \cos (α) \cdot H y p . \end{array}$	$\begin{array}{rcl} G e g . & = & \tan (α) \cdot A n k . \end{array}$
$\begin{array}{rcl} G e g . & = & \sin (α) \cdot H y p . \end{array}$	$\begin{array}{rcl} H y p . & = & \frac{A n k .}{\cos (α)} \end{array}$	$\begin{array}{rcl} A n k . & = & \frac{G e g .}{\tan (α)} \end{array}$
Geg. ≙ Gegenkathete Ank. ≙ Ankathete Hyp. ≙ Hypotenuse

Ist in Deiner Aufgabe ein anderer Winkel gesucht, so kannst Du in den Formeln lediglich den Winkel ändern. Beachte aber, dass Du die richtigen Katheten auswählst.

Zu den Formelumstellungen kannst Du Dir gerne die einzelnen Beispiele anschauen.

Für die Untersuchung wird das Dreieck aus dem oberen Beispiel zum Sinus genutzt. Es wird von dem Winkel $α$ aus betrachtet.

Sinus Kosinus Tangens Rechtwinkliges Dreieck StudySmarter Abbildung 8: Rechtwinkliges Dreieck

Die Werte dieses Dreiecks sind Folgende, wie Du aus der Abbildung 8 entnehmen kannst:

$\begin{array}{rcl} a & = & 3, 38 c m \\ b & = & 4, 96 c m \\ c & = & 6 c m \\ α & = & 34, 3 ° \end{array}$

Da der Winkel α und alle drei Seiten gegeben sind, können die Formel aus der Tabelle zum Umstellen genutzt werden, um die Angaben mit den trigonometrischen Funktionen zu überprüfen. Hier siehst Du alle umgestellten Formeln mit eingesetzten Werten.

\begin{array}{rcl} \sin (α) & = & \frac{3, 38 c m}{6 c m} \approx 0, 56 \bar{3} \\ a & = & \sin (34, 3 °) \cdot 6 c m \approx 3, 38 c m \\ c & = & \frac{3, 38 c m}{\sin (34, 3 °)} \approx 6 c m \\ α & = & \sin^{- 1} (\frac{3, 38 c m}{6 c m}) \approx 34, 3 ° \end{array}

\begin{array}{rcl} \cos (α) & = & \frac{4, 96 c m}{6 c m} \approx 0, 82 \bar{6} \\ b & = & \cos (34, 3 °) \cdot 6 c m \approx 4, 96 c m \\ c & = & \frac{4, 96 c m}{\cos (34, 3 °)} \approx 6 c m \\ α & = & \cos^{- 1} (\frac{4, 96 c m}{6 c m}) \approx 34, 3 ° \end{array}

\begin{array}{rcl} \tan (α) & = & \frac{3, 38 c m}{4, 96 c m} \approx 0, 682 \\ a & = & \tan (34, 3 °) \cdot 4, 96 c m \approx 3, 38 c m \\ b & = & \frac{3, 38 c m}{\tan (34, 3 °)} \approx 4, 96 c m \\ α & = & \tan^{- 1} (\frac{3, 38 c m}{4, 96 c m}) \approx 34, 3 ° \end{array}

Du kannst ein rechtwinkliges Dreieck also mit den drei Winkelfunktionen auf viele Größen untersuchen und diese berechnen. Abhängig von dem gesuchten Wert, kannst Du die umgestellten Formeln verwenden.

Bisher wurde in den Beispielen immer ein Taschenrechner verwendet, um die Winkelwerte der Winkelfunktionen zu berechnen. Es kann jedoch sein, dass in manchen Aufgaben kein Taschenrechner erlaubt ist. Dann kannst Du zum Beispiel einige Werte auswendig lernen, wie Du in der folgenden Vertiefung nachlesen kannst.

Sinus, Kosinus & Tangens – Wichtige Funktionswerte

In dieser Wertetabelle sind ein paar Werte für Sinus, Kosinus und Tangens in Abhängigkeit von der Größe von Winkel α aufgeführt, die ganz hilfreich sein können!

Winkel α	0 $°$	30 $°$	45 $°$	60 $°$	90 $°$
$\sin (α)$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
$\cos (α)$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
$\tan (α)$	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	nicht definiert

Eine Vertiefung und Herleitung zu diesen Werten findest Du in dem Artikel Einheitskreis.

In der nächsten Übungsaufgabe kannst Du gerne auf die Tabelle zu den Winkelwerten zurückgreifen. Alternativ benutze einfach regulär Deinen Taschenrechner.

Frage gerne Deinen Lehrer oder Deine Lehrerin, ob und welchen Taschenrechner Du benutzen darfst.

Aufgabe 1

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel $α = 30 °$ und der Seite $c = 9 c m$ . Berechne die Länge der Seite a, wenn die Seite c dem rechten Winkel gegenüberliegt.

Lösung

Da die Seite c dem rechten Winkel gegenüberliegt, ist die Seite c die Hypotenuse. Die Seite a liegt dem Winkel α gegenüber, weshalb die Seite a die Gegenkathete zu α ist.

In der Tabelle ist der Wert für den $\sin (30 °)$ schon gegeben. Setze die Werte also ein:

$\begin{array}{rcl} \sin (30 °) & = & \frac{a}{9 c m} \\ \frac{1}{2} & = & \frac{a}{9 c m} \cdot 9 c m \\ \frac{1}{2} \cdot 9 c m & = & a \\ 4, 5 c m & = & a \end{array}$

Die Seite a hat also eine Länge von $a = 4, 5 c m$ .

Wenn also Winkelwerte vorliegen, die denen aus der Wertetabelle entsprechen, kannst Du diese einsetzen! Zeit für ein paar Aufgaben.

Sinus, Kosinus & Tangens – Aufgaben

Mit den drei Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens kannst Du Winkel und Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen. Aber wie genau werden die Winkelfunktionen in der Praxis eingesetzt?

Sinus, Kosinus und Tangens – Seiten berechnen

Um die Länge der Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen, kannst Du die Umstellung der Formeln (siehe Tabelle) anwenden.

Aufgabe 2

Stell Dir vor, dass eine dreieckige Wiese umzäunt werden soll. Gegeben ist der Winkel ɑ mit einer Größe von $α = 32 °$ und eine Seite der Wiese, die bereits umzäunt ist. Für diese Seite wurden $7 m$ Zaun verbaut. Wie viel Meter Zaun muss mindestens gekauft werden, um die Wiese komplett zu Umzäunen?

Lösung

Wenn Du die Wiese von dem Winkel ɑ aus betrachtest, dann ist die Seite mit einer Länge von $7 m$ die Ankathete. Um die Hypotenuse zu berechnen, also die längste Seite im Dreieck, kannst Du den Kosinus anwenden. Die Hypotenuse wird in diesem Beispiel als Seite c bezeichnet.

$\begin{array}{rcl} \cos (α) & = & \frac{A n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e} \\ \cos (32 °) & = & \frac{7 m}{c} | \cdot c \\ \cos (32 °) \cdot c & = & 7 m | : \cos (32 °) \\ c & = & \frac{7 m}{\cos (32 °)} \\ c & \approx & 8, 25 m \end{array}$

Die längste Seite der Wiese hat eine Länge von $8, 25 m$ . Um die letzte Seite zu berechnen, kannst Du jetzt entweder den Sinus oder den Tangens anwenden. Die Seite wird in diesem Beispiel Seite a genannt.

$\begin{array}{rcl} \sin (α) & = & \frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e} \\ \sin (32 °) & = & \frac{a}{8, 25 m} | \cdot 8, 25 m \\ \sin (32 °) \cdot 8, 25 m & = & a \\ 4, 37 m & \approx & a \end{array}$

Oder Tangens anwenden:

$\tan (α) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{A n k a t h e t e} \tan (32 °) = \frac{a}{7 m} | \cdot 7 m \tan (32 °) \cdot 7 m = a 4, 37 m \approx a$

Um die Länge des benötigten Zauns zu berechnen, werden die Längen der Seiten addiert.

$U = 7 m + 8, 25 m + 4, 37 m = 19, 62 m$

Es werden $19, 62 m$ Zaun benötigt, um die dreieckige Wiese zu umzäunen.

Wie Du die Länge der Seiten in einem Dreieck mithilfe der drei Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens berechnest, hast Du jetzt gesehen.

Sind zwei Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck gegeben und Du möchtest die dritte Seite ausrechnen, so ist dies auch mit dem Satz des Pythagoras möglich!

Mit dem Sinus, Kosinus und Tangens kannst Du jedoch auch die Größe von Winkeln berechnen.

Sinus, Kosinus und Tanges – Winkel berechnen

Um Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen, rechnest Du mit den Umkehrfunktionen Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens. Diese Funktionen findest Du auf dem Taschenrechner meistens unter $\sin^{- 1}, \cos^{- 1}, \tan^{- 1}$ .

Aufgabe 3

Berechne den Winkel β und den Winkel γ in diesem rechtwinkligen Dreieck. Für den Winkel α gilt: $α = 90 °$ . Ebenso ist gegeben:

$b = 4, 5 c m a = 8, 5 c m$

Sinus Kosinus Tangens Dreieck Aufgabe StudySmarter Abbildung 10: Aufgabe zum Dreieck

Lösung

Du hast ein rechtwinkliges Dreieck vorliegen. Angegeben sind die Längen von zwei der drei Seiten. Die Seite a ist die Hypotenuse und hat eine Länge von $a = 8, 5 c m$ . Die Seite b ist die Gegenkathete zu β und hat eine Länge von $b = 4, 5 c m$ . Jetzt sollst Du die Größe des Winkels β berechnen. Das machst Du mit der Winkelfunktion Sinus, die sowohl die Gegenkathete als auch die Hypotenuse beinhaltet.

$\sin (β) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$

Nach Einsetzen der gegebenen Seitenlängen, muss der Arkussinus gebildet werden, um den Winkel zu ermitteln.

$\begin{array}{rcl} \sin (β) & = & \frac{4, 5 c m}{8, 5 c m} | \sin^{- 1} \\ \sin^{- 1} (\frac{4, 5}{8, 5}) & = & β \\ 32, 0 ° & \approx & β \end{array}$

Damit hast Du bereits den Winkel β bestimmt. Jetzt fehlt nur noch der Winkel γ. Diesen kannst Du ebenfalls mit den Winkelfunktionen berechnen. Alternativ lässt sich dieser auch über die Innenwinkelsumme eines Dreiecks bestimmen, da dies immer 180° sind. Es gilt demnach:

$γ = 180 ° - α - β γ = 180 ° - 90 ° - 32 ° γ = 58 °$

Wie Du siehst, kannst Du die drei trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens vielfältig bei der Untersuchung von rechtwinkligen Dreiecken einsetzen.

Möchtest Du direkt noch ein paar Übungen machen, um Dein Wissen zur Berechnung von rechtwinkligen Dreiecken testen? Dann bist Du jetzt dran!

Sinus, Kosinus und Tangens – Übungsaufgaben

Falls Du keine Formelsammlung benutzen darfst, so kannst Du die Formel direkt auswendig lernen oder Dir für zu Hause eine kleine Übersicht mit den Formeln danebenlegen. Wenn Du bei einer Aufgabe hängst oder nicht weiterkommst, kannst Du gerne erneut zu der Erklärung hochscrollen!

Aufgabe 4

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen $a = 3, 58 c m$ und $c = 4, 5 c m$ . Berechne die Größe des Winkels α und die Länge der Strecke b.

Sinus Kosinus Tangens rechtwinkliges Dreieck Aufgabe Sinus Kosinus Tangens Aufgaben StudySmarter Abbildung 11: Übung Sinus, Kosinus, Tangens

Lösung

Die längste Seite ist hier c, weshalb diese Seite die Hypotenuse ist. Für die Länge a gilt, in Bezug auf den Winkel α, dass die Seite a die Gegenkathete darstellt. Somit ist der Sinus zu benutzen:

$\begin{array}{rcl} \sin (α) & = & \frac{3, 58 c m}{4, 5 c m} | \sin^{- 1} \\ \sin^{- 1} (\frac{3, 58}{4, 5}) & = & α \\ 52, 7 ° & \approx & α \end{array}$

Der Winkel α hat eine ungefähre Größe von $α = 52, 7 °$ . Die Seite b stellt in diesem Fall die Ankathete zum Winkel α dar. Damit kann die Seite b beispielsweise mit dem Tangens berechnet werden.

$\begin{array}{rcl} \tan (52, 7 °) & = & \frac{3, 58 c m}{b} | \cdot b \\ \tan (52, 7 °) \cdot b & = & 3, 58 c m | : \tan (52, 7 °) \\ b & = & \frac{3, 58 c m}{\tan (52, 7 °)} \\ b & \approx & 2, 73 c m \end{array}$

Oder Kosinus anwenden:

$\begin{array}{rcl} \cos (52, 7 °) & = & \frac{b}{4, 5 c m} | \cdot 4, 5 c m \\ \cos (52, 7 °) \cdot 4, 5 c m & = & b \\ 2, 73 c m & \approx & b \end{array}$

Die Seite b hat eine ungefähre Länge von $b = 2, 73 c m$ .

Übrigens: Sind in einem rechtwinkligen Dreieck bereits zwei Seiten gegeben und die dritte Seite wird gesucht, kannst Du als Alternative auch den Satz des Pythagoras anwenden.

Für diese Aufgabe konntest Du den Sinus, Kosinus und Tangens anwenden. Wie Du nun auch in der Praxis siehst, spielen die Beziehungen der Seiten (Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse) des Dreiecks zueinander eine entscheidende Rolle. In der nächsten Aufgabe kannst Du nochmal Dein Können beweisen!

Aufgabe 5

Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen $a = 1, 61 c m$ und $b = 5, 26 c m$ . Berechne die Größe des Winkels α und die Länge der Seite c. Benutze für das Berechnen der Länge der Seite c nicht den Satz des Pythagoras, sondern benutze eine der drei Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens.

Sinus Kosinus Tangens rechtwinkliges Dreieck Aufgabe Sinus Kosinus Tangens Aufgaben StudySmarter Abbildung 12: Übung Sinus, Kosinus, Tangens

Lösung

Die längste Seite c entspricht der Hypotenuse, die Seite a der Gegenkathete zum Winkel α und die Seite b der Ankathete.

$\begin{array}{rcl} \tan (α) & = & \frac{1, 61 c m}{5, 26 c m} | \tan^{- 1} \\ \tan^{- 1} (\frac{1, 61}{5, 26}) & = & α \\ 17 ° & = & α \end{array}$

Der Winkel α hat eine Größe von $α = 17 °$ .

$\begin{array}{rcl} \sin (17 °) & = & \frac{1, 61 c m}{c} | \cdot c \\ \sin (17 °) \cdot c & = & 1, 61 c m | : \sin (17 °) \\ c & = & \frac{1, 61 c m}{\sin (17 °)} \\ c & \approx & 5, 5 c m \end{array}$

Oder Kosinus anwenden:

$\begin{array}{rcl} \cos (17 °) & = & \frac{5, 26 c m}{c} | \cdot c \\ \cos (17 °) \cdot c & = & 5, 26 c m | : \cos (17 °) \\ c & = & \frac{5, 26 c m}{\cos (17 °)} \\ c & \approx & 5, 5 c m \end{array}$

Die Seite c hat eine Länge von $c = 5, 5 c m$ .

Mit den drei Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens kannst Du ein rechtwinkliges Dreieck auf Seitenlängen und Winkelgrößen untersuchen. Der folgende Abschnitt gibt Dir noch eine kleine Zusammenfassung.

Sinus Kosinus Tangens – Das Wichtigste

Sinus, Kosinus und Tangens sind Winkelfunktionen, mit ihnen kannst Du ein rechtwinkliges Dreieck berechnen.
Die Seiten des Dreiecks haben bestimmte Namen (Hypotenuse, Ankathete, Gegenkathete); die Beschriftung der Katheten ist abhängig vom betrachteten Winkel.
Die Formeln $\sin (α) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}, \cos (α) = \frac{A n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}, \tan (α) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{A n k a t h e t e}$ gelten nur in rechtwinkligen Dreiecken.
Mit den Umkehrfunktionen Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens $(\sin^{- 1}, \cos^{- 1}, \tan^{- 1})$ berechnest Du Winkel.
Du kannst die Formeln von Sinus, Kosinus und Tangens nach Belieben umstellen (siehe Tabelle).

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Sinus Kosinus Tangens

Wie kann ich den Tangens im rechtwinkligen Dreieck berechnen?

Der Tangens eines Winkels entspricht dem Quotient der Länge der Gegenkathete und der Länge der Ankathete. Er wird mit dem Taschenrechner berechnet.

Wie berechne ich die fehlende Seite eines rechtwinkligen Dreiecks?

Eine fehlende Seite im rechtwinkligen Dreieck kann mit den drei Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens berechnet werden. Abhängig von der Lage der Seite und des gegebenen Winkels wird festgemacht, welche der drei Winkelfunktionen zur Berechnung benutzt wird.

Wie werden Winkel mit Sinus, Kosinus und Tangens berechnet?

Unbekannte Winkel im rechtwinkligen Dreieck werden mithilfe der Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen berechnet. Das sind der Arkussinus, Arkuskosinus und der Arkustangens. Sie sind meist auf Taschenrechnern unter sin^-1, cos^-1, tan^-1 zu finden.

Wann nehme ich Sinus, Kosinus oder Tangens?

Welche der drei Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens für eine Berechnung benutzt wird, ist abhängig von der gesuchten Größe des Dreiecks. Sinus ist der Quotient von Gegenkathete und Hypotenuse, Kosinus der Quotient von Ankathete und Hypotenuse und der Tangens der Quotient von Gegenkathete und Ankathete.

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