Sinussatz

Abbildung 2: Sinussatz im Dreieck

In diesem Beispiel sind die Seitenlängen c und a sowie wie der Winkel $\alpha$ vorgegeben.

Aufgabe 1

Berechne mithilfe des Sinussatzes den Winkel $\gamma$!

Lösung

Schritt 1:

Da Du hier drei Größen gegeben hast, kannst Du Dir schon mal die Gleichung aufschreiben:

$\frac{a}{\sin \left(\alpha \right)}=\frac{c}{\sin \left(\gamma \right)}$

Schritt 2:

Nun kannst Du die Formel nach der gesuchten Größe umstellen:

$\begin{array}{rcl}\frac{a}{\sin \left(\alpha \right)}& =& \frac{c}{\sin \left(\gamma \right)}\Rightarrow c·\frac{\sin \left(\alpha \right)}{a}=\sin \left(\gamma \right)\end{array}$

Schritt 3:

Jetzt setzt Du noch Deine Werte ein und rechnest aus:

$\begin{array}{rcl}c·\frac{\sin \left(\alpha \right)}{a}& =& \sin \left(\gamma \right)\Rightarrow 6\mathrm{cm}·\frac{\sin \left(45°\right)}{5\mathrm{cm}}=\sin \left(\gamma \right)\approx 0,849\end{array}$

Schritt 4:

Noch fehlt Dir ein Schritt, denn das Ergebnis ist nur der Sinus des gesuchten Winkels:

$\begin{array}{rcl}\gamma & =& {\sin }^{-1}\left(0,849\right)=58,1°\end{array}$

In folgendem Beispiel sollst Du nach $\sin \left(\gamma \right)$umstellen:

$\frac{a}{\sin \left(\alpha \right)}=\frac{c}{\sin \left(\gamma \right)}$

Du hast hier die Möglichkeit, die Originalgleichung umzustellen, oder Du nimmst eine aus der obenaufgeführten Liste.

Hier einmal als Beispiel mit der dritten Gleichung:

$\frac{\sin \left(\alpha \right)}{a}=\frac{\sin \left(\gamma \right)}{c}$

Hierbei handelt es sich um nichts anderes, als den Kehrwert der Ausgangsgleichung. Solange Du den Kehrwert auf beiden Seiten der Gleichung durchführst, verändert sich deren Verhältnis nicht.

Nun musst Du$\sin \left(\gamma \right)$noch isolieren, in dem Du c auf die andere Seite bringst:

$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{ccc}\frac{\sin \left(\alpha \right)}{\mathrm{a}}=\frac{\sin \left(\gamma \right)}{\mathrm{c}}& & \overline{)·\mathrm{c}}\\ & & \\ \mathrm{c}·\frac{\sin \left(\alpha \right)}{\mathrm{a}}=\sin \left(\gamma \right)& & \end{array}\end{array}$

Auf diese Art hättest Du zum Beispiel die Gleichung für unsere Beispielaufgabe umstellen können.

Aufgabe 2

Abbildung 3: Sinussatz im Dreieck

Berechne die Seitenlänge a!

Lösung

Stelle jetzt wie vorher die Formel auf:

$\frac{\mathrm{b}}{\sin \left(\beta \right)}=\frac{\mathrm{a}}{\sin \left(\alpha \right)}$

Das Problem: Du hast nur $\alpha \mathrm{und}\mathrm{c}$ gegeben. Das ist ein Wert zu wenig, um den Sinussatz anzuwenden.

Hier kommt die Winkelsumme ins Spiel. Die Winkel $\alpha und\beta$ sind gegeben, Du kannst $\gamma$ also berechnen:

$\begin{array}{rcl}180°& =& \alpha +\beta +\gamma \\ & \Rightarrow & \beta =180°-\alpha -\gamma \\ \beta & =& 180°-30°-80°\\ \beta & =& 70°\end{array}$

Jetzt gilt das gleiche wie vorher und Du kannst a durch den Sinussatz berechnen:

$\begin{array}{rcl}\frac{a}{\sin \left(\alpha \right)}& =& \frac{c}{\sin \left(\gamma \right)}\begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}& & \end{array}& \begin{array}{ccc}& & \end{array}& \overline{)·\sin \left(\alpha \right)}\end{array}\\ a& =& \frac{c}{\sin \left(\gamma \right)}·\sin \left(\alpha \right)\\ a& =& \frac{7\mathrm{cm}}{\sin \left(70°\right)}·\sin \left(30°\right)\\ a& =& 3,72cm\end{array}$

Aufgabe 3

Gegeben ist das folgende Dreieck. Berechne die Länge der Seite b mithilfe des Sinussatzes!

Abbildung 6: Rechenbeispiel Sinussatz

Lösung:

Für das Dreieck sind die Winkel $\beta \mathrm{und}\gamma$ gegeben, genauso wie die Seitenlänge c. In diesem Dreieck gilt also:

$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{b}}{\sin \left(\beta \right)}& =& \frac{\mathrm{c}}{\sin \left(\gamma \right)}\\ \frac{\mathrm{b}}{\sin \left(60°\right)}& =& \frac{8\mathrm{cm}}{\sin \left(70°\right)}\end{array}$

Diese Formel musst Du nur noch nach b umstellen und ausrechnen:

$\begin{array}{rcl}\mathrm{b}& =& \frac{8\mathrm{cm}}{\sin \left(70°\right)}·\sin \left(60°\right)\\ \mathrm{b}& =& 7,37\mathrm{cm}\\ & & \end{array}$

Aufgabe 4

Gegeben ist das folgende Dreieck. Berechne den Winkel $\beta$ mithilfe des Sinussatzes!

Abbildung 7: Rechenbeispiel Sinussatz

Lösung

In diesem Dreieck sind zwei Seiten gegeben, dafür aber nur ein Winkel. Deshalb gilt:

$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{b}}{\sin \left(\beta \right)}& =& \frac{\mathrm{c}}{\sin \left(\gamma \right)}\\ \frac{6\mathrm{cm}}{\sin \left(\beta \right)}& =& \frac{8\mathrm{cm}}{\sin \left(70°\right)}\end{array}$

Um jetzt den Winkel zu berechnen, stellst Du die Formel zuerst um und löst sie nach $\sin \left(\beta \right)$ auf:

$\begin{array}{rcl}\sin \left(\beta \right)& =& \frac{\sin \left(70°\right)}{8\mathrm{cm}}·6\mathrm{cm}\\ sin\left(\mathrm{\beta }\right)& =& 0,705\end{array}$

Jetzt brauchst Du nur noch den Sinus aufzulösen:

$$\begin{gathered} \beta ={\sin }^{-1}\left(0,705\right) \\ \beta =44,83° \end{gathered}$$

Aufgabe 5

Gegeben ist das folgende Dreieck. Berechne alle fehlenden Seiten und Winkel!

Abbildung 8: Rechenbeispiel Sinussatz

Lösung

1. Schritt: berechne $\beta$

Als Erstes benutze hier wieder den Sinussatz, um den Winkel zu berechnen:

$\begin{array}{rcl}& & \\ \frac{\mathrm{b}}{\sin \left(\beta \right)}& =& \frac{\mathrm{a}}{\sin \left(\alpha \right)}\\ \sin \left(\beta \right)& =& \frac{\sin \left(\alpha \right)}{\mathrm{a}}·\mathrm{b}\\ \sin \left(\beta \right)& =& \frac{\sin \left(70°\right)}{9\mathrm{cm}}·7\mathrm{cm}\\ \sin \left(\beta \right)& =& 0,731\\ \beta & =& si{n}^{-1}\left(0,731\right)\\ \beta & =& 46,97\end{array}$

2. Schritt: berechne $\gamma$

Um von hier aus weiterzukommen, brauchst Du noch den letzten Winkel. Den kannst Du berechnen, indem Du die Formel für die Winkelsummen im Dreieck anwendest.

$\begin{array}{rcl}180°& =& \alpha +\beta +\gamma \\ \gamma & =& 180°-\alpha -\beta \\ \gamma & =& 63,03°\end{array}$

3. Schritt: berechne c

Jetzt fehlt in dem Dreieck nur noch die letzte Seite. Die kannst Du wieder normal durch den Sinussatz ausrechnen:

Damit hast Du nun alle fehlenden Seiten und Winkel berechnet.