Sinussatz

Stochastik

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Um mit Dreiecken zu arbeiten, brauchst Du häufig deren Winkel und Seitenlängen. Aber was, wenn Du nur ein paar Werte gegeben hast und Du die anderen aber benötigst? In solchen Fällen kann Dir der Sinussatz weiterhelfen.

Sinussatz Formel

Mit dem Sinussatz kannst Du Seiten und Winkel in jedem Dreieck bestimmen, solange Du nur ein „Seiten-Winkel-Paar“ und eine weitere Größe kennst.

Sinussatz Dreieck Veranschaulichung StudySmarter Abbildung 1: Sinussatz im Dreieck

An diesem Dreieck sind die drei Seiten und deren gegenüberliegenden Winkel dargestellt. Sie sind jeweils in der gleichen Farbe markiert.

Die Sinussatzformel lautet wie folgt:

$\frac{a}{\sin (α)} = \frac{b}{\sin (β)} = \frac{c}{\sin (γ)}$

Das Verhältnis einer Seite zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels ist genauso groß wie das Verhältnis aller anderen Seiten zum Sinus ihrer gegenüberliegenden Winkel. Diese Formel ist die Grundlage des Sinussatzes.

Sinussatz berechnen

In der Schulmathematik wirst Du größtenteils auf Rechenaufgaben zum Thema Sinussatz treffen. Meistens sind bereits einige Werte gegeben und Du musst die fehlenden Seiten und Winkel berechnen.

Sinussatz Dreieck Beispiel StudySmarter Abbildung 2: Sinussatz im Dreieck

In diesem Beispiel sind die Seitenlängen c und a sowie wie der Winkel $α$ vorgegeben.

Aufgabe 1

Berechne mithilfe des Sinussatzes den Winkel $γ$ !

Lösung

Schritt 1:

Da Du hier drei Größen gegeben hast, kannst Du Dir schon mal die Gleichung aufschreiben:

$\frac{a}{\sin (α)} = \frac{c}{\sin (γ)}$

Schritt 2:

Nun kannst Du die Formel nach der gesuchten Größe umstellen:

$\begin{array}{rcl} \frac{a}{\sin (α)} & = & \frac{c}{\sin (γ)} \Rightarrow c \cdot \frac{\sin (α)}{a} = \sin (γ) \end{array}$

Schritt 3:

Jetzt setzt Du noch Deine Werte ein und rechnest aus:

$\begin{array}{rcl} c \cdot \frac{\sin (α)}{a} & = & \sin (γ) \Rightarrow 6 cm \cdot \frac{\sin (45 °)}{5 cm} = \sin (γ) \approx 0, 849 \end{array}$

Schritt 4:

Noch fehlt Dir ein Schritt, denn das Ergebnis ist nur der Sinus des gesuchten Winkels:

$\begin{array}{rcl} γ & = & \sin^{- 1} (0, 849) = 58, 1 ° \end{array}$

Um den Winkel herauszubekommen, kannst Du die Funktion sin^-1(x) auf Deinem Taschenrechner anwenden. Das x entspricht dem Wert, den wir eben errechnet haben.

Sinussatz umstellen

Um mit dem Sinussatz zu rechnen, musst Du diesen erst einmal so umstellen, dass Du ihn nach Deinem gesuchten Wert auflösen kannst.

Um das Umstellen von Brüchen zu wiederholen, schau gerne in den Artikel "Bruchrechnung" rein!

Da Du den Sinussatz auf viele verschiedene Arten umstellen kannst, kann die Form des Satzes sehr unterschiedlich sein. Der Inhalt bleibt dabei immer der gleiche. Es geht um die Winkel-Seitenverhältnisse innerhalb eines Dreiecks:

$\frac{a}{\sin (α)} = \frac{b}{\sin (β)} = \frac{c}{\sin (γ)}$

$\frac{s i n (α)}{s i n (γ)} = \frac{a}{c}$

$\frac{\sin (α)}{a} = \frac{\sin (γ)}{c} = \frac{\sin (β)}{b}$

$s i n (α) \cdot c = s i n (γ) \cdot a$

In folgendem Beispiel sollst Du nach $\sin (γ)$ umstellen:

$\frac{a}{\sin (α)} = \frac{c}{\sin (γ)}$

Du hast hier die Möglichkeit, die Originalgleichung umzustellen, oder Du nimmst eine aus der obenaufgeführten Liste.

Hier einmal als Beispiel mit der dritten Gleichung:

$\frac{\sin (α)}{a} = \frac{\sin (γ)}{c}$

Hierbei handelt es sich um nichts anderes, als den Kehrwert der Ausgangsgleichung. Solange Du den Kehrwert auf beiden Seiten der Gleichung durchführst, verändert sich deren Verhältnis nicht.

Nun musst Du $\sin (γ)$ noch isolieren, in dem Du c auf die andere Seite bringst:

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} \frac{\sin (α)}{a} = \frac{\sin (γ)}{c} & \cdot c \\ c \cdot \frac{\sin (α)}{a} = \sin (γ) \end{matrix} \end{array}$

Auf diese Art hättest Du zum Beispiel die Gleichung für unsere Beispielaufgabe umstellen können.

Sinussatz – nötige Werte ermitteln

Manchmal sind Rechenaufgaben so gestellt, dass nicht direkt alle nötigen Größen des Dreiecks gegeben sind. So kann zum Beispiel ein Winkel fehlen, den Du zur Anwendung des Sinussatzes brauchst. In diesem Fall kannst Du den fehlenden Winkel über die Winkelsumme im Dreieck berechnen.

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist immer $180 °$ !

$α + β + γ = 180 °$

Mit diesem Satz kannst Du bei zwei gegebenen Winkeln den fehlenden dritten Winkel ausrechnen.

Aufgabe 2

Sinussatz Dreieck Beispiel StudySmarter Abbildung 3: Sinussatz im Dreieck

Berechne die Seitenlänge a!

Lösung

Stelle jetzt wie vorher die Formel auf:

$\frac{b}{\sin (β)} = \frac{a}{\sin (α)}$

Das Problem: Du hast nur $α und c$ gegeben. Das ist ein Wert zu wenig, um den Sinussatz anzuwenden.

Hier kommt die Winkelsumme ins Spiel. Die Winkel $α u n d β$ sind gegeben, Du kannst $γ$ also berechnen:

$\begin{array}{rcl} 180 ° & = & α + β + γ \\ \Rightarrow & β = 180 ° - α - γ \\ β & = & 180 ° - 30 ° - 80 ° \\ β & = & 70 ° \end{array}$

Jetzt gilt das gleiche wie vorher und Du kannst a durch den Sinussatz berechnen:

$\begin{array}{rcl} \frac{a}{\sin (α)} & = & \frac{c}{\sin (γ)} \begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} & \begin{matrix} \end{matrix} & \cdot \sin (α) \end{matrix} \\ a & = & \frac{c}{\sin (γ)} \cdot \sin (α) \\ a & = & \frac{7 cm}{\sin (70 °)} \cdot \sin (30 °) \\ a & = & 3, 72 c m \end{array}$

Sinussatz Herleitung – rechtwinkliges Dreieck

Wie Du den Sinussatz herleiten kannst, erklärt der folgende Abschnitt.

Für diese Herleitung ist ein gutes Verständnis des Sinus Voraussetzung. Bei Ungewissheit kannst Du Dir den Artikel Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck durchlesen.

Nimm Dir ein allgemeines Dreieck vor und teile es durch das Einzeichnen einer Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke auf.

Sinussatz Dreieck Beweis StudySmarter Abbildung 4: Sinussatzbeweis

Jetzt stellst Du den Sinus für die beiden entstandenen rechtwinkligen Dreiecke auf:

$\sin (α) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e} = \frac{h_{c}}{b} \sin (β) = \frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e} = \frac{h_{c}}{a}$

Nun stellst Du beides nach $h_{c}$ um und setzt die beiden Terme gleich:

$\begin{array}{rcl} h_{c} & = & b \cdot \sin (α) \\ h_{c} & = & a \cdot \sin (β) \\ b \cdot \sin (α) & = & a \cdot \sin (β) \end{array}$

Diese kannst Du jetzt zum ersten Teil des Sinussatzes umformen:

$\begin{array}{rcl} b \cdot \sin (α) & = & a \cdot \sin (β) \begin{matrix} \div \end{matrix} \sin (α) \\ b & = & \frac{a \cdot \sin (β)}{\sin (α)} \begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} & \begin{matrix} \div \sin (β) \end{matrix} \end{matrix} \\ \frac{b}{\sin (β)} & = & \frac{a}{\sin (α)} \\ \begin{matrix} \end{matrix} \end{array}$

Für den letzten Teil brauchst Du noch die Höhe auf c:

Sinussatz Herleitung StudySmarter Abbildung 5: Herleitung des Sinussatzes

Wieder hast Du hier zwei rechtwinklige Dreiecke und kannst deren Sinus aufstellen:

$\sin (γ) = \frac{h_{a}}{b} \sin (β) = \frac{h_{a}}{c}$

Jetzt isolierst Du jeweils wieder $h_{a}$ auf einer Seite und setzt die beiden Terme gleich:

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} h_{a} = \sin (γ) \cdot b \\ h_{a} = \sin (β) \cdot c \\ \Rightarrow & \sin (γ) \cdot b = \sin (β) \cdot c & : b und : c \\ \frac{\sin (γ)}{c} = \frac{\sin (β)}{b} & Kehrwert \\ \frac{c}{\sin (γ)} = \frac{b}{\sin (β)} \end{matrix} \end{array}$

Wenn Du das mit Deiner ersten Formel zusammenfügst, gilt Folgendes:

$\frac{b}{\sin (β)} = \frac{a}{\sin (α)} und \frac{c}{\sin (γ)} = \frac{b}{\sin (β)} \Rightarrow \frac{a}{\sin (α)} = \frac{b}{\sin (β)} = \frac{c}{\sin (γ)}$

Du erhältst den vollständigen Sinussatz.

Sinussatz Aufgaben

Damit Du das Erlernte auch verfestigen kannst, findest Du hier ein paar Rechenaufgaben zum Sinussatz. Dabei sollst Du sowohl Winkel als auch die Länge fehlender Seiten berechnen.

Aufgabe 3

Gegeben ist das folgende Dreieck. Berechne die Länge der Seite b mithilfe des Sinussatzes!

Sinussatz Dreieck Beispiel StudySmarter Abbildung 6: Rechenbeispiel Sinussatz

Lösung:

Für das Dreieck sind die Winkel $β und γ$ gegeben, genauso wie die Seitenlänge c. In diesem Dreieck gilt also:

$\begin{array}{rcl} \frac{b}{\sin (β)} & = & \frac{c}{\sin (γ)} \\ \frac{b}{\sin (60 °)} & = & \frac{8 cm}{\sin (70 °)} \end{array}$

Diese Formel musst Du nur noch nach b umstellen und ausrechnen:

$\begin{array}{rcl} b & = & \frac{8 cm}{\sin (70 °)} \cdot \sin (60 °) \\ b & = & 7, 37 cm \end{array}$

Aufgabe 4

Gegeben ist das folgende Dreieck. Berechne den Winkel $β$ mithilfe des Sinussatzes!

Sinussatz Rechenaufgabe StudySmarter Abbildung 7: Rechenbeispiel Sinussatz

Lösung

In diesem Dreieck sind zwei Seiten gegeben, dafür aber nur ein Winkel. Deshalb gilt:

$\begin{array}{rcl} \frac{b}{\sin (β)} & = & \frac{c}{\sin (γ)} \\ \frac{6 cm}{\sin (β)} & = & \frac{8 cm}{\sin (70 °)} \end{array}$

Um jetzt den Winkel zu berechnen, stellst Du die Formel zuerst um und löst sie nach $\sin (β)$ auf:

$\begin{array}{rcl} \sin (β) & = & \frac{\sin (70 °)}{8 cm} \cdot 6 cm \\ s i n (β) & = & 0, 705 \end{array}$

Jetzt brauchst Du nur noch den Sinus aufzulösen:

$β = \sin^{- 1} (0, 705) β = 44, 83 °$

Aufgabe 5

Gegeben ist das folgende Dreieck. Berechne alle fehlenden Seiten und Winkel!

Sinussatz Rechenaufgabe StudySmarter Abbildung 8: Rechenbeispiel Sinussatz

Lösung

1. Schritt: berechne $β$

Als Erstes benutze hier wieder den Sinussatz, um den Winkel zu berechnen:

$\begin{array}{rcl} \frac{b}{\sin (β)} & = & \frac{a}{\sin (α)} \\ \sin (β) & = & \frac{\sin (α)}{a} \cdot b \\ \sin (β) & = & \frac{\sin (70 °)}{9 cm} \cdot 7 cm \\ \sin (β) & = & 0, 731 \\ β & = & s i n^{- 1} (0, 731) \\ β & = & 46, 97 \end{array}$

2. Schritt: berechne $γ$

Um von hier aus weiterzukommen, brauchst Du noch den letzten Winkel. Den kannst Du berechnen, indem Du die Formel für die Winkelsummen im Dreieck anwendest.

$\begin{array}{rcl} 180 ° & = & α + β + γ \\ γ & = & 180 ° - α - β \\ γ & = & 63, 03 ° \end{array}$

3. Schritt: berechne c

Jetzt fehlt in dem Dreieck nur noch die letzte Seite. Die kannst Du wieder normal durch den Sinussatz ausrechnen:

\begin{array}{rcl} \frac{b}{\sin (β)} & = & \frac{c}{\sin (γ)} \\ c & = & \frac{7 cm}{\sin (46, 97 °)} \cdot \sin (63, 03 °) \\ c & = & 8, 5 cm \end{array}

Damit hast Du nun alle fehlenden Seiten und Winkel berechnet.

Sinussatz – Das Wichtigste

Sinussatz Formel: $\frac{a}{\sin (α)} = \frac{b}{\sin (β)} = \frac{c}{\sin (γ)}$
Der Sinussatz ist in allen Dreiecken anwendbar.
Mit dem Sinussatz lassen sich fehlende Größen im Dreieck berechnen, solange mindestens ein Winkel und seine gegenüberliegenden Seite bekannt sind.
Der Sinussatz lässt sich in verschiedenen Formen aufschreiben:
- $\frac{a}{s i n (α)} = \frac{b}{s i n (β)} = \frac{c}{s i n (γ)}$
- $\frac{s i n (α)}{s i n (γ)} = \frac{a}{c}$
- $\frac{s i n (α)}{a} = \frac{s i n (γ)}{c} = \frac{s i n (β)}{b}$
- $s i n (α) \cdot c = s i n (γ) \cdot a$
Wenn zwei Winkel gegeben sind, lässt sich der Dritte durch die Winkelsumme im Dreieck berechnen. $α + β + γ = 180 °$
Der Sinussatz wird mithilfe des Sinus und zwei Höhen in einem beliebigen Dreieck hergeleitet.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Sinussatz

Mit dem Sinussatz berechnest Du fehlende Seitenlängen oder Winkel in einem beliebigen Dreieck, solange Du nur „Seiten-Winkel-Paar“ und eine weitere Größe kennst.

Der Sinussatz gilt in jedem beliebigen Dreieck, auch wenn der Sinussatz nur in rechtwinkligen Dreiecken definiert wurde.

Der Sinussatz sagt aus, dass das Verhältnis von einem Winkel zu seiner gegenüberliegenden Seite bei jedem Winkel im selben Dreieck gleich ist.

Den Sinussatz verwendest Du, wenn Du zwei Seiten und ihren eingeschlossenen Winkel gegeben hast und die dritte Seite berechnen möchtest, oder drei Seiten gegeben hast und einen Winkel berechnen möchtest. Den Sinussatz verwendest Du, wenn Du einen Winkel oder eine Seite suchst und ein „Seiten-Winkel-Paar“ und eine weitere Größe kennst.

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Wann kannst Du den Sinussatz anwenden?

Den Sinussatz kannst Du anwenden, solange du nur ein „Seiten-Winkel-Paar“ und eine weitere Größe kennst!

Was ist mit „Seiten-Winkel-Paar“ gemeint?

Gemeint sind ein Winkel und seine gegenüberliegenden Seite.

Was kannst Du mit dem Sinussatz berechnen?

Mit dem Sinussatz kannst Du Seitenlängen und Winkel in jedem beliebigen Dreieck berechnen.

Wenn zwei Winkel in einem Dreieck gegeben sind, wie kannst Du den dritten Winkel berechnen?

Den dritten Winkel kannst Du mit der Winkelsumme des Dreiecks berechnen.

Wie wird ein allgemeines Dreieck bei der Herleitung des Sinussatzes in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt?

Durch das Einzeichnen von Höhen.

Verändert das Bilden des Kehrwerts des Sinussatzes seinen Wert?

Nein, nie

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