Spatprodukt

Spatprodukt Definition

Mithilfe des Spatprodukts kannst Du das Volumen von einem Spat, der von drei Vektoren aufgespannt wird, berechnen.

Spatprodukt berechnen

Bisher ging es nur um das Theoretische, in diesem Teil wirst Du deshalb lernen, wie diese Formel in der Praxis, also in der Berechnung von Volumen, verwendet wird und auf welche Art Du das Spatprodukt noch berechnen kannst.

Spatprodukt berechnen – Kreuzprodukt und Skalarprodukt

Das Spatprodukt besteht aus einem Kreuzprodukt und einem Skalarprodukt. Der Wert der Berechnung entspricht dem Volumen Deines Spats.

Ein Spat wird von den drei Vektoren $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ , $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ aufgespannt. Um das Volumen zu berechnen, wird die folgende Formel benutzt:

$$V_{Spat}=|(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\circ \overrightarrow{c}|$$

Abbildung 1: Spat

Durch Einsetzen in die Formel erhältst Du

$$\begin{array}{rl}{V}_{Spat}& =|(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\circ \overrightarrow{c}|\\ & =|(\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right))\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)|\end{array}$$

Zuerst wird das Kreuzprodukt berechnet:

$$\begin{array}{rl}{V}_{Spat}& =|(\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right))\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)|\\ & =|\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -7\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)|\end{array}$$

Schließlich wird das Skalarprodukt berechnet und der Betrag genommen:

$$\begin{array}{rl}{V}_{Spat}& =|\left(\begin{array}{c}-5\\ -2\\ -7\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)|\\ & =|-5\cdot 2+(-2)\cdot 1+(-7)\cdot 1|\\ & =|-19|\\ & =19\end{array}$$

Das Volumen des Spats beträgt also 19 VE.

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Spatprodukt berechnen mit Determinante

Neben der klassischen Formel kann das Spatprodukt auch mit der Determinante berechnet werden. Wie das geht, siehst Du hier.

Es soll der Spat betrachtet werden, der von den drei Vektoren $\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ , $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ aufgespannt wird.

Berechnung mit Determinante

Das Spatvolumen lässt sich mit der Determinante mit folgender Methode berechen.

1. Matrix aufstellen mit den drei Vekotren als Spalten

$$M=\left(\begin{array}{c}{a}_1{b}_1{c}_1\\ a_2{b}_2{c}_3\\ a_3{b}_3{c}_3\end{array}\right)$$

2. Die Determinante berechnen z.B. mit dem Satz von Sarrus

3. Der Betrag der Determinante entspricht dem gesuchten Volumen

$$V=|det(M)|$$

Zurück zum Beispiel. Die Matrix, dessen Determinante berechnet werden soll lautet

$$M=\left(\begin{array}{c}{a}_1{b}_1{c}_1\\ a_2{b}_2{c}_3\\ a_3{b}_3{c}_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-4& 1& 2\\ 3& 1& 1\\ 2& -1& 1\end{array}\right)$$

Die Derminante berchnest Du mit einem System Deiner Wahl hier wird der Satz von Sarrus genutzt:

$$\begin{array}{rl}det(M)& =-4\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 2+2\cdot 3\cdot (-1)-2\cdot 1\cdot 2-(-1)\cdot 1\cdot (-4)-1\cdot 3\cdot 1\\ & =-4+2-6-4-4-3\\ & =-19\end{array}$$

Das Spatvolumen ist jetzt der Betrag der Derminante also $|-19|=19$

Beim Satz des Sarrus kannst Du die Determinante für 3 × 3 Matrizen berechnen, indem Du die erste und die zweite Spalte noch mal hinter die Matrix schreibst und die Diagonalen bildest. Die Diagonalen von links unten bis rechts oben werden einzeln multipliziert und dann addiert, die Diagonalen von links oben nach rechts unten werden auch multipliziert und dann subtrahiert. Genaueres zur Ausführung findest Du in der Erklärung Determinanten.

Spatprodukt Herleitung

Die Herleitung für das Spatprodukt folgt aus der vektoriellen Darstellung einer altbekannten Formel aus der Geometrie. Jeder Spat ist ein Prisma und das Volumen eines Prismas berechnet sich mit:$$V_{Prisma}=A_g\cdot h$$

$A_g$ ist die Grundfläche und $h$ die Höhe des Prismas.

$\mathrm{V}={\mathrm{A}}_{\mathrm{g}}·\mathrm{h}$

Abbildung 2: Grundfläche und Höhe eines Spats

Die Grundfläche eines Spats ist ein Parallelogramm. Um den Flächeninhalt dieses Parallelogramms zu berechnen, wird der Betrag des Kreuzprodukts der beiden Vektoren genommen, die das Parallelogramm aufspannen. Diese beiden Vektoren heißen im Folgenden $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$. Es gilt allgemein $$A_{Parallelogramm}=|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=\sin (\alpha )|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$$

Jetzt brauchst Du nur noch die Höhe auf der Grundfläche. Diese berechnet sich, indem Du den Vektor $\overrightarrow{c}$ auf die Richtung des Normalenvektors der Grundfläche projizierst. Das Ganze lässt sich auch wieder geometrisch herleiten.

Die gesuchte Höhe $h$ lässt sich berechnen als $$h=\cos (\alpha )\cdot |\overrightarrow{c}|$$ wobei $\alpha$ der Winkel ist, den die Normale mit $\overrightarrow{n}$ einschließt. Außerdem gilt die folgende Definition für das Skalarprodukt $$\cos (\alpha )|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{c}|=\overrightarrow{n}\circ \overrightarrow{c}$$

Zusammenführen der Formeln führt zu

$$\begin{array}{rl}{V}_{Spat}& =A_g\cdot h\\ & =|\overrightarrow{n}|\cdot |\overrightarrow{c}|\cdot \cos (\alpha )\\ & =\overrightarrow{n}\circ \overrightarrow{c}\\ & =(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\circ \overrightarrow{c}\end{array}$$

Spatprodukt dreieckiges Prisma

Wenn Du ein Spat in zwei gleiche Teile teilst, erhältst Du zwei volumengleiche dreieckige Prismen. In anderen Worten, das Volumen eines dreieckigen Prismas, das durch die gleichen Vektoren aufgespannt wird, wie der Spat, ist halb so groß wie das des Spats.

Abbildung 3: Unterteilung Spat in dreieckiges Prisma

Spatprodukt Pyramide

Mit dem Spatprodukt kannst Du auch das Volumen einer Pyramide berechnen. Wenn Du ein Prisma in drei gleiche Teile teilst, bekommst Du drei volumengleiche Pyramiden.

Abbildung 4: Unterteilung dreieckiges Prisma in Pyramiden

Entsprechend ist die Formel für das Volumen einer Pyramide ein Drittel des Volumens des zugrundeliegenden Prismas. Damit berechnet sich das Volumen einer dreiseitigen Pyramide als:$$\begin{array}{rl}{V}_{Pyramide}& =\frac{1}{3}\cdot V_{Prisma}\\ & =\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}|(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\circ \overrightarrow{c}|\\ & =\frac{1}{6}|(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\circ \overrightarrow{c}|\end{array}$$

Für die vierseitige Pyramide folgt analog:

$$\begin{array}{rl}{V}_{Pyramide}& =\frac{1}{3}\cdot V_{Spat}\\ & =\frac{1}{3}\cdot |(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\circ \overrightarrow{c}|\end{array}$$${\mathrm{V}}_{Pyramide}=\frac{1}{3}·\frac{1}{2}\left|\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)\circ \overrightarrow{c}\right|{\mathrm{V}}_{Pyramide}=\frac{1}{6}\left|\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)\circ \overrightarrow{c}\right|$

Das Spatprodukt 0

Ist das Spatprodukt 0, dann schließen die drei Vektoren $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ kein gemeinsames Volumen ein. Das ist nur dann der Fall, wenn die drei Vektoren in einer Ebene liegen. Daraus folgt, dass die drei Vektoren linear abhängig sein müssen.

Spatprodukt – Übungsaufgabe

In diesem Abschnitt kannst Du das Anwenden der Formeln ein wenig selbst üben.