Lerninhalte finden
Features
Entdecke
In einem dreidimensionalen Koordinatensystem werden unter anderem geometrische Formen dargestellt. Eines davon ist der Spat. Um diese Form zu berechnen, benötigst Du Vektoren, genauer gesagt, das Spatprodukt. Wie das geht und was Du dabei beachten solltest, lernst Du in diesem Artikel.
Schreib bessere Noten mit StudySmarter Premium
Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst
Review generated flashcards
Erstelle unlimitiert Karteikarten auf StudySmarter
Team Spatprodukt Lehrer
Ein Spat ist ein geometrischer Körper, der sechs Parallelogramme als Seitenflächen besitzt. Die gegenüberliegende Parallelogramme sind immer kongruent zueinander und liegen in parallelen Ebenen. Ein Spat ist also ein besonderes Prisma mit Parallelogrammen als Grundseiten
Zwei Figuren sind zueinander kongruent, wenn Du die eine Figur mit der anderen zur Deckung bringen kannst.
Mithilfe des Spatprodukts kannst Du das Volumen von einem Spat, der von drei Vektoren aufgespannt wird, berechnen.
Formel eines Spatprodukts:
Die drei Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\) und \(\vec c\) spannen den Spat auf. Das Volumen berechnest Du mit der Formel:
\[V_{Spat} = \left|\left( {\vec a}\times {\vec b}\right)\circ \vec c\right|\]
Abbildung 1: Spat
Bisher ging es nur um das Theoretische, in diesem Teil wirst Du deshalb lernen, wie diese Formel in der Praxis, also in der Berechnung von Volumen, verwendet wird und auf welche Art Du das Spatprodukt noch berechnen kannst.
Das Spatprodukt besteht aus einem Kreuzprodukt und einem Skalarprodukt. Der Wert der Berechnung entspricht dem Volumen Deines Spats.
Falls Du nicht mehr genau wie Du mit Vektoren rechnest, dann schau doch erneut bei den Erklärungen zu Skalarprodukt und Kreuzprodukt vorbei.
Ein Spat wird von den drei Vektoren \(\begin{pmatrix}-4\\3\\2\end{pmatrix}\) , \(\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\) aufgespannt. Um das Volumen zu berechnen, wird die folgende Formel benutzt:
\[V_{Spat} = \left|\left( {\vec a}\times {\vec b}\right)\circ \vec c\right|\]
Abbildung 1: Spat
Durch Einsetzen in die Formel erhältst Du
\begin{align} V_{Spat} &= \left|\left( {\vec a}\times {\vec b}\right)\circ \vec c\right|\\ &= \left|\left( {\begin{pmatrix}-4\\3\\2\end{pmatrix} }\times {\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} }\right)\circ \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} \right| \end{align}
Zuerst wird das Kreuzprodukt berechnet:
\begin{align} V_{Spat}&= \left|\left( {\begin{pmatrix}-4\\3\\2\end{pmatrix} }\times {\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} }\right)\circ \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} \right| \\&= \left|\begin{pmatrix}-5\\-2\\-7\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} \right| \end{align}
Schließlich wird das Skalarprodukt berechnet und der Betrag genommen:
\begin{align} V_{Spat}&= \left|\begin{pmatrix}-5\\-2\\-7\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} \right|\\&=|-5\cdot2+(-2)\cdot 1+(-7)\cdot 1|\\&=|-19|\\&=19 \end{align}
Das Volumen des Spats beträgt also 19 VE.
VE steht für Volumeneinheit. In der Berechnung war das Koordinatensystem einheitslos. Um dennoch zu verdeutlichen, dass es sich um ein Volumen handelt, wird in der Mathematik häufig die „Volumeneinheit“ benutzt.
Neben der klassischen Formel kann das Spatprodukt auch mit der Determinante berechnet werden. Wie das geht, siehst Du hier.
Es soll der Spat betrachtet werden, der von den drei Vektoren \(\begin{pmatrix}-4\\3\\2\end{pmatrix}\) , \(\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\) aufgespannt wird.
Berechnung mit Determinante
Das Spatvolumen lässt sich mit der Determinante mit folgender Methode berechen.
1. Matrix aufstellen mit den drei Vekotren als Spalten
\[M=\begin{pmatrix}a_1 \,b_1 \,c_1\\a_2\, b_2\, c_3\\a_3\, b_3\, c_3\end{pmatrix}\]
2. Die Determinante berechnen z.B. mit dem Satz von Sarrus
3. Der Betrag der Determinante entspricht dem gesuchten Volumen
\[V=|\det(M)|\]
Zurück zum Beispiel. Die Matrix, dessen Determinante berechnet werden soll lautet
\[M=\begin{pmatrix}a_1 \,b_1 \,c_1\\a_2\, b_2\, c_3\\a_3\, b_3\, c_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 &1 &2\\3& 1& 1\\2& -1& 1\end{pmatrix}\]
Die Derminante berchnest Du mit einem System Deiner Wahl hier wird der Satz von Sarrus genutzt:
\begin{align}\det(M)&= -4\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 2+2\cdot 3\cdot(-1) -2\cdot 1\cdot 2 - (-1)\cdot 1\cdot (-4)-1\cdot 3\cdot 1\\&=-4+2-6-4-4-3\\&=-19\end{align}
Das Spatvolumen ist jetzt der Betrag der Derminante also \(|-19|=19\)
Beim Satz des Sarrus kannst Du die Determinante für 3 × 3 Matrizen berechnen, indem Du die erste und die zweite Spalte noch mal hinter die Matrix schreibst und die Diagonalen bildest. Die Diagonalen von links unten bis rechts oben werden einzeln multipliziert und dann addiert, die Diagonalen von links oben nach rechts unten werden auch multipliziert und dann subtrahiert. Genaueres zur Ausführung findest Du in der Erklärung Determinanten.
Die Herleitung für das Spatprodukt folgt aus der vektoriellen Darstellung einer altbekannten Formel aus der Geometrie. Jeder Spat ist ein Prisma und das Volumen eines Prismas berechnet sich mit:\[V_{Prisma}=A_g\cdot h\]
\(A_g\) ist die Grundfläche und \(h\) die Höhe des Prismas.
Abbildung 2: Grundfläche und Höhe eines Spats
Die Grundfläche eines Spats ist ein Parallelogramm. Um den Flächeninhalt dieses Parallelogramms zu berechnen, wird der Betrag des Kreuzprodukts der beiden Vektoren genommen, die das Parallelogramm aufspannen. Diese beiden Vektoren heißen im Folgenden \(\vec a\) und \(\vec b\). Es gilt allgemein \[A_{Parallelogramm}=|\vec a \times \vec b|=\sin(\alpha)|\vec a| |\vec b|\]
Die rechte Seite entspricht also genau der geometrischen Definition für den Flächeninhalt eines Parallelogramms mit den Seiten a und b und dem Winkel \(\alpha\) zwischen den Seiten.
Jetzt brauchst Du nur noch die Höhe auf der Grundfläche. Diese berechnet sich, indem Du den Vektor \(\vec c\) auf die Richtung des Normalenvektors der Grundfläche projizierst. Das Ganze lässt sich auch wieder geometrisch herleiten.
Die gesuchte Höhe \(h\) lässt sich berechnen als \[h=\cos(\alpha)\cdot |\vec c|\] wobei \(\alpha\) der Winkel ist, den die Normale mit \(\vec n\) einschließt. Außerdem gilt die folgende Definition für das Skalarprodukt \[\cos(\alpha){|\vec n| |\vec c|}=\vec n \circ \vec c\]
Zusammenführen der Formeln führt zu
\begin{align} V_{Spat}&=A_g\cdot h\\&= |\vec n|\cdot |\vec c| \cdot \cos(\alpha)\\&= \vec n \circ \vec c\\&=(\vec a\times \vec b)\circ \vec c\end{align}
Das entspricht exakt der Formel aus der Definition und die Herleitung ist fertig.Wenn Du ein Spat in zwei gleiche Teile teilst, erhältst Du zwei volumengleiche dreieckige Prismen. In anderen Worten, das Volumen eines dreieckigen Prismas, das durch die gleichen Vektoren aufgespannt wird, wie der Spat, ist halb so groß wie das des Spats.
Das Volumen eines Prismas mit dreieckiger Grundfläche ist gegeben als das halbe Volumen eines Spats. Damit gilt:\[V = \frac{1}{2}|(\vec a \times \vec b)\circ \vec c|\]
Abbildung 3: Unterteilung Spat in dreieckiges Prisma
Das Volumen einer Pyramide lässt sich mit dem Spatprodukt berechnen. Es gilt\[V_{Pyramide} = \frac{1}{3}V_{Prisma}\]
Damit gelten folgende Formeln:
Vierseitige Pyramide:
\[V_{Pyramide}=\frac{1}{3}\cdot|(\vec a \times \vec b)\circ \vec c|\]
Dreiseitige Pyramide:
\[V_{Pyramide}=\frac{1}{6}\cdot|(\vec a \times \vec b)\circ \vec c|\]
Mit dem Spatprodukt kannst Du auch das Volumen einer Pyramide berechnen. Wenn Du ein Prisma in drei gleiche Teile teilst, bekommst Du drei volumengleiche Pyramiden.
Abbildung 4: Unterteilung dreieckiges Prisma in Pyramiden
Entsprechend ist die Formel für das Volumen einer Pyramide ein Drittel des Volumens des zugrundeliegenden Prismas. Damit berechnet sich das Volumen einer dreiseitigen Pyramide als:\begin{align} V_{Pyramide}&=\frac{1}{3}\cdot V_{Prisma} \\&= \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}|(\vec a \times \vec b)\circ \vec c|\\&=\frac{1}{6}|(\vec a \times \vec b)\circ \vec c|\end{align}
Für die vierseitige Pyramide folgt analog:
\begin{align} V_{Pyramide}&=\frac{1}{3}\cdot V_{Spat} \\&= \frac{1}{3}\cdot|(\vec a \times \vec b)\circ \vec c|\end{align}
Ist das Spatprodukt 0, dann schließen die drei Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) kein gemeinsames Volumen ein. Das ist nur dann der Fall, wenn die drei Vektoren in einer Ebene liegen. Daraus folgt, dass die drei Vektoren linear abhängig sein müssen.
Drei Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) sind genau dann linear abhängig, wenn ihr Spatprodukt \[V_{Spat} = (\vec a \times \vec b) \circ \vec c\] null ist. Andersherum sind die Vektoren linear unabhängig, wenn \(V_{Spat}\neq 0\) gilt.
Damit bietet das Spatprodukt eine Alternative, um drei Vektoren auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen.
In diesem Abschnitt kannst Du das Anwenden der Formeln ein wenig selbst üben.
Aufgabe
Gegeben seien die Vektoren \(\vec a = \begin{pmatrix}8\\5\\4\end{pmatrix}\), \(\vec b = \begin{pmatrix}2\\6\\4\end{pmatrix}\) und \(\vec a = \begin{pmatrix}4\\5\\0\end{pmatrix}\)
Berechne das Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats mit dem Spatprodukt.
Lösung
1. Schritt:
Setzte als Erstes die gegebene Vektoren in die Formel des Spatproduktes ein:
\[V=\left(\begin{pmatrix}8\\5\\4\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2\\6\\4\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}4\\5\\0\end{pmatrix}\]
2. Schritt:
Nachdem Du die Werte eingesetzt hast, berechnest Du als Erstes das Kreuzprodukt:
\[\begin{pmatrix}8\\5\\4\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2\\6\\4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}5\cdot 4-4\cdot 6\\4\cdot 2-8\cdot 4\\8\cdot 6-5\cdot 2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-4\\-24\\38\end{pmatrix}\]
3. Schritt:
Als Letztes musst Du jetzt nur noch das Skalarprodukt berechnen:
\begin{align}V&= \left|\begin{pmatrix}-4\\-24\\38\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}4\\5\\0\end{pmatrix}\right|\\&=|-4\cdot 4 + (-24)\cdot 5+38\cdot 0|\\&=|-136|\\&=136\end{align}
Das Volumen beträgt 136 VE.
Melde dich kostenlos an, um Zugriff auf all unsere Karteikarten zu erhalten.
Was sagt das Spatprodukt aus?
Das Spatprodukt sagt aus, dass Du das Volumen eines Spats mit den drei aufspannenden Vektoren berechnen kannst.
Was ist, wenn das Spatprodukt 0 ist?
Wenn das Spatprodukt 0 ist, dann bedeutet das, dass die durch zwei Vektoren aufgespannte Ebene keinen Winkel mit dem dritten Vektor einschließt. Es sind demnach alle Vektoren in einer Ebene und linear abhängig.
Was ist ein Spat?
Ein Spat ist ein geometrischer Körper, der sechs Parallelogramme als Seitenflächen besitzt. Die gegenüberliegende Parallelogramme sind immer kongruent zueinander und liegen in parallelen Ebenen.
Wie berechnet man das Spatprodukt?
Das Spatprodukt kannst Du auf zwei Arten berechnen. Entweder Du bildest erst von zwei der gegebenen Vektoren das Kreuzprodukt und multiplizierst dann das Ergebnis mit dem dritten Vektor skalar, oder Du setzt die drei Vektoren in eine 3 × 3 Matrix und berechnest davon die Determinante.
Bei StudySmarter haben wir eine Lernplattform geschaffen, die Millionen von Studierende unterstützt. Lerne die Menschen kennen, die hart daran arbeiten, Fakten basierten Content zu liefern und sicherzustellen, dass er überprüft wird.
Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
Lerne Lily kennen
Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
Lerne Gabriel kennen
Schule 
Studium 
Ausbildung 
Karteikarten 
StudySmarter AI 
Notizen 
Lernplan 
Spaced Repetition 
Lernsets 
Finde einen Job 
Studentenrabatte 
Ausbildungen 
Magazine 
Mobile App 
Für Unternehmen