Strahlensätze

Strahlensätze Formeln – 1. Strahlensatz

Um den ersten Strahlensatz anzuwenden, muss Deine Strahlensatzfigur zwei Voraussetzungen erfüllen:

1. Es existieren zwei Strahlen oder Geraden, die sich in einem Punkt $Z$ (dem Zentrum) schneiden.
2. Die zwei Strahlen werden von zwei parallelen Geraden geschnitten, wobei keine durch den Punkt $Z$ verläuft.

In der Abbildung siehst Du die Einteilungen der Strecken an einer Strahlensatzfigur.

Abb. 1 -Erster Strahlensatz.

Der erste Strahlensatz besitzt auch eine Umkehrung. Bei dieser wird die Voraussetzung zur Behauptung.

Strahlensätze Beispiele – 1. Strahlensatz anwenden

Zu Beginn der Erklärung wolltest Du wissen, wie hoch die Aussichtsplattform ist. Dafür hast Du den Schatten der Aussichtsplattform und Deinen eignen Schatten gemessen.

Strahlensätze Formeln – 2. Strahlensatz

Auch beim zweiten Strahlensatz gelten dieselben Voraussetzungen wie beim ersten Strahlensatz.

1. Es existieren zwei Strahlen oder Geraden, die sich in einem Punkt $Z$ dem Zentrum schneiden.
2. Die zwei Strahlen werden von zwei parallelen Geraden geschnitten, wobei keine durch den Punkt $Z$ verläuft.

In der Abbildung siehst Du die Einteilungen der Strecken an einer Strahlensatzfigur.

Abb. 3 - Zweiter Strahlensatz.

Im Gegensatz zum ersten Strahlensatz besitzt der zweite Strahlensatz keine Umkehrung. Bei der Konstruktion der Umkehrung des zweiten Strahlensatzes gibt es keine Eindeutigkeit, denn es entstehen zwei Punkte, welche die Umkehrung des zweiten Strahlensatzes erfüllen würden.

Strahlensätze Beispiele – 2. Strahlensatz anwenden

Nachdem Du bereits beim ersten Strahlensatz die Höhe der Plattform vom Anfang berechnet hast, soll diese nun geschmückt werden. Dabei soll vom Geländer der Plattform eine Girlande am Ende des Schattens angebracht werden.

Wodurch ergibt sich eigentlich der Zusammenhang zwischen den verschiedenen Strecken? Eine Antwort darauf liefert die Ähnlichkeit.

Ähnlichkeit und Strahlensätze – Strahlensätze Beweis

Den ersten und den zweiten Strahlensatz beweist Du über das Prinzip der Ähnlichkeit.

Abb. 5 - Strahlensätze Beweis.

Der erste Strahlensatz lautet: $$\frac{a}{b}=\frac{a+a^{\prime }}{b+b^{\prime }}$$

Der zweite Strahlensatz lautet: $$\frac{a}{x}=\frac{a+a^{\prime }}{y}\text{und}\frac{b}{x}=\frac{b+b^{\prime }}{y}$$

In der Abbildung siehst Du zwei Dreiecke $ZAB$ und $Z{A}^{\prime }{B}^{\prime }$. Bei diesen Dreiecken handelt es sich um ähnliche Dreiecke nach den Ähnlichkeitssätzen.

Bei ähnlichen Dreiecken stimmen die Seitenverhältnisse der beiden Dreiecke überein. Aus dieser Aussage kannst Du den 1. und den 2. Strahlensatz herleiten.

Ein weiteres Teilungsverhältnis bei Strecken stellt der sogenannte Goldene Schnitt dar. Aber was genau ist das?

Strahlensätze – Goldener Schnitt

Den Goldenen Schnitt gibt es nicht nur in der Kunst oder Fotografie, sondern auch in der Mathematik. Umgangssprachlich wird gesagt, dass der Goldene Schnitt ein Bild in $\frac{1}{3}$ zu $\frac{2}{3}$ teilen sollte. In der Mathematik verhält sich das etwas anders.

Dabei wird die längere Strecke Major und die kürzere Strecke Minor genannt.

Abb. 6 - Goldener Schnitt.

Strahlensätze Aufgaben

Hier kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.