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Auch in der Mathematik geht es häufig um Entfernungen und darum, die kürzeste Strecke herauszufinden. Der Begriff Strecke gehört in der Geometrie, neben dem Punkt, der Halbgeraden/dem Strahl und der Geraden, zu den Grundbegriffen, die in Deiner Schullaufbahn immer wieder auftauchen. Wenn du also etwas über die Strecke kennenlernen willst, bist du in diesem Artikel genau richtig.
Strecke – Definition und Anwendungsbereich
Wie oben im Einführungstext schon beschrieben, gehört die Strecke zu einer der wichtigsten Grundbegriffe innerhalb der Geometrie. Sie ist Grundlage für verschiedenste Abbildungen, denn diese kann man in unterschiedlichen geometrischen Figuren wiederfinden. Beispielsweise werden die drei Linien eines Dreiecks auch als Verbindungsstrecken des Dreiecks bezeichnet. Sie beginnen und enden hier jeweils in den Eckpunkten des Dreiecks, wodurch sich auch die Definition der Strecke herleiten lässt.
Eine Strecke ist eine geradlinige Verbindung zweier gegebener Punkte.
Strecke – Schreibweise
Stell dir vor, du hast zwei gegebene Punkte A und B. Du sollst diese Punkte miteinander verbinden. Dadurch erhältst du die Strecke zwischen A und B. Diese Strecke wird in der Mathematik dann als die Strecke bezeichnet. Du schreibst über die Punkte A und B also einen kleinen Strich, der signalisieren soll, dass es sich bei dieser Abbildung um eine Strecke handelt und nicht beispielsweise um einen Strahl/eine Halbgerade oder eine Gerade.
Abbildung 2: Strecke zwischen den Punkten A und B
Strecke zwischen zwei Punkten berechnen
Wenn Du wissen willst, welchen Abstand zwei Punkte, die durch eine Strecke verbunden sind, besitzen, kannst du diesen auf unterschiedliche Art und Weise herausfinden. Außerdem kannst Du verschiedene Eigenschaften einer Strecke, wie zum Beispiel deren Mittelpunkt durch unterschiedliche Möglichkeiten angeben.
Länge einer Strecke berechnen
Du kannst die Länge einer Strecke mit Hilfsmitteln wie zum Beispiel einem Lineal oder einem Geodreieck ausmessen. Du legst dafür den Nullpunkt deines Geodreiecks auf einen der angegebenen Punkte und liest an der Skala des Hilfsmittels ab, auf welcher Stelle der andere Punkt der Strecke liegt.
Die Aufgabe besteht darin, die Länge der Strecke zu messen.
Abbildung 3: Abmessen einer Strecke mit dem Geodreieck
Anhand des Geodreiecks kannst Du in diesem Beispiel erkennen, dass der Punkt A direkt auf dem Nullpunkt des Geodreiecks liegt. Außerdem kannst Du nun sehen, dass der Punkt B direkt auf der sechs des Geodreiecks liegt.
Die Strecke hat eine Länge von 6 cm und somit sind die Punkte A und B 6 cm voneinander entfernt.
Achte beim Messen darauf, dass dein Lineal genau an der Strecke liegt und der Nullpunkt des Lineals direkt an einem der beiden Punkte.
Außerdem kannst Du die Länge einer Strecke auch berechnen. Um die Länge zu berechnen benötigst du eine Formel, die auf dem Satz des Pythagoras basiert.
Für die Berechnung der Länge einer Strecke gilt
Der Buchstabe d steht hier für den Abstand der beiden Punkte .
Aufgabe
Gegeben sind die Punkte und . Berechne den Abstand d der beiden Punkte.
Lösung
Du setzt die Werte der angegebenen Punkte in die oben stehenden Formel ein und berechnest anschließend mit Hilfe vom Satz des Pythagoras:
Jetzt löst du die Wurzel auf und berechnest die einzelnen Klammern.
Die Strecke zwischen den Punkten A und B hat einen Abstand von 8 Einheiten.
Das oben genannte Beispiel wird für 2-dimensionale Abbildungen verwendet. Die Berechnung von Strecken im 3-dimensionalem Raum ist auch möglich. Du erweiterst dabei die oben genannt Formel mit der dritten Koordinate.
Die Formel lautet dementsprechend:
Im folgenden Beispiel siehst du die Berechnung der Strecke im 3-dimensionalen Raum.
Aufgabe
Gegeben sind die Punkte und . Berechne den Abstand d der beiden Punkte.
Lösung
Wir erkennen hier anhand der drei Koordinaten zu jedem Punkt, dass wir uns in einem 3-dimensionalen Raum befinden und daher die einzelnen Koordinaten in die oben stehende Formel einsetzen müssen.
Daraus ergibt sich folgende Berechnung:
Die Strecke zwischen den Punkten A und B hat einen Abstand von 6 Einheiten.
Ob 2-dimensionaler oder 3-dimensionaler Raum spielt demzufolge für die Berechnung der Länge einer Strecke keine Rolle. Du musst darauf achten, welche Formel du verwenden musst. Hast du zwei Koordinaten für einen Punkt gegeben, verwendest du die Formel für den 2-dimensionalen Raum. Wenn du drei Koordinaten für einen Punkt gegeben hast, verwendest du die Formel für den 3-dimensionalen Raum.
Mittelpunkt einer Strecke berechnen
Du kannst nicht nur die gesamte Länge einer Strecke berechnen oder messen, sondern auch verschiedene Punkte auf der Strecke herausfinden. Im kommenden Abschnitt lernst Du, wie man den Mittelpunkt einer Strecke berechnen kann. Doch dafür musst Du zunächst wissen, was genau der Mittelpunkt einer Strecke eigentlich ist.
Der Mittelpunkt einer Strecke ist der Punkt, dessen Abstand zu den angegebenen Endpunkten der Strecke identisch ist.
Wie Du aus dem Begriff schon erkennen kannst, befindet sich der Mittelpunkt daher in der Mitte der Strecke. Wenn wir zum Beispiel die Strecke anschauen, ist der Abstand des Mittelpunktes zu den Punkten A und B gleich groß. Der Buchstabe M steht dabei für den Mittelpunkt
Abbildung 4: Mittelpunkt M einer Strecke
Um den Mittelpunkt einer Strecke herauszufinden, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Du kannst den Mittelpunkt wieder mithilfe eines Geodreiecks abmessen. Dafür legst Du den Nullpunkt ungefähr in die Mitte deiner Strecke. Als nächstes bewegst du das Geodreieck so lange an der Strecke bis die Zahlen auf der linken Seite und auf der rechten Seite deines Geodreiecks den identischen Wert an den Punkten A und B haben. Genau an dieser Stelle befindet sich dann der Mittelpunkt M.
Abbildung 5: Mittelpunkt einer Strecke berechnen
Der Mittelpunkt einer Strecke kann auch berechnet werden. Dafür misst Du zunächst die Länge der vorgegebenen Strecke. Danach teilst du die Länge der Strecke durch 2. Das Ergebnis ist dann der Abstand zu den jeweiligen Punkten A und B.
Aufgabe
Berechne den Mittelpunkt der Strecke .
Abbildung 6: Abmessen einer Strecke zur Berechnung des Mittelpunktes
Lösung
Mithilfe des Geodreiecks siehst Du, dass die Strecke 6 cm beträgt. Wenn Du diese Länge nun durch zwei teilst, erhältst Du den Abstand 3 cm.
Dadurch weißt Du, dass der Mittelpunkt der Strecke genau 3 cm von den Punkten A und B entfernt ist.
Strecke – Das Wichtigste
- Eine Strecke ist die kürzeste Entfernung zweier Punkte.
- Mithilfe von Messinstrumenten (Geodreieck, Lineal) kannst Du die Länge einer Strecke bestimmen.
- Du kannst den Mittelpunkt M einer Strecke mithilfe von Messinstrumenten messen oder ausrechnen.
- Die Beschriftung von Strecken erfolgt durch einen kleinen Strich über den gegebenen Punkten.
- In 2-dimensionalen Abbildungen verwendest Du die Formel .
- In 3-dimensionalen Abbildungen verwendest Du die Formel
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Strecke berechnen
Was ist ein Strecke?
Der Begriff Strecke stammt aus dem mathematischen Bereich der Geometrie. Er bezeichnet den kürzesten Abstand zweier beliebiger Punkte.
Wie kann ich eine Strecke berechnen?
Je nachdem ob 2-dimensionale oder 3-dimensionale Abbildungen vorliegen, können Strecken mit unterschiedlichen Formeln berechnet werden. Bei der Berechnung im 2-dimensionalen durch die Formel ziehst du die Wurzel aus (x2-x1)2+(y2-y1)2. Im 3-dimensionalen kommt noch die z-Koordinate hinzu.
Wie berechnet man den Mittelpunkt einer Strecke?
Der Mittelpunkt einer Strecke liegt in der Mitte einer beliebigen Strecke. Dieser kann berechnet werden, indem man die gesamte Länge der Strecke durch zwei teilt. Der Mittelpunkt liegt dann genau auf dieser Stelle zwischen den zwei Punkten.
Wie berechnet man die Länge einer Strecke?
Die Länge einer Strecke kann entweder mit geometrischen Hilfsmitteln (Geodreieck, Lineal) gemessen werden oder mit unterschiedlichen Formeln berechnet werden. Bei der Berechnung im 2-dimensionalen durch die Formel ziehst du die Wurzel aus (x2-x1)2+(y2-y1)2. Im 3-dimensionalen kommt noch die z-Koordinate hinzu.
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