Umfang Kreis

Aufgabe

Berechne den Umfang eines Kreises mit dem Radius $r=5cm$.

Lösung

Schreibe als Erstes die Formel auf. In diesen Fall, da der Radius gegeben ist, wählt man:

$U=2·r·\pi$

Setze als Nächstes den Wert für r, in diesem Fall 5 cm, ein:

$U=2·5cm·\pi$

Zuletzt berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner:

$U\approx 31,41cm$

Der Umfang eines Kreises mit dem Radius $r=5cm$ beträgt also gerundet 31,41 cm.

Aufgabe

Berechne den Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser $d=2cm$.

Lösung

Als Erstes wird die passende Formel ausgesucht. Da der Durchmesser gegeben ist, wählt man folgende Formel:

$U=d·\pi$

Im nächsten Schritt wird der gegebene Wert, also $d=2cm$, in die Formel eingesetzt:

$U=2cm·\pi$

Zum Schluss kannst du jetzt das Ergebnis wieder mit dem Taschenrechner ausrechnen:

$U\approx 6,28cm$

Der Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser $d=2cm$ beträgt also gerundet 6,28 cm.

Aufgabe

Gegeben ist der Flächeninhalt $A=6c{m}^2$ eines Dreiecks. Du sollst jetzt daraus den Umfang berechnen.

Lösung

Zuerst wird die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises aufgeschrieben:

$A=r^2·\pi$

Als Nächstes stelle die Formel um, sodass der Radius r ausgerechnet werden kann:

$\begin{array}{rcl}A& =& r^2·\pi |÷\pi \\ & & \\ \frac{A}{\pi }& =& r^2|\sqrt{}\\ & & \\ r& =& \sqrt{\frac{A}{\pi }}\end{array}$

Jetzt kannst du die Formel für die Berechnung des Umfangs eines Kreises mit dem Radius aufschreiben.

$U=2·r·\pi$

Da Formel des Flächeninhalts oben umgestellt wurde, setze nun die umgestellte Formel in die Formel des Kreisumfangs ein:

$U=2·\sqrt{\frac{A}{\pi }}·\pi$

Als Letztes kannst du den gegebenen Wert von $6c{m}^2$ für den Flächeninhalt A einsetzen und das Ergebnis ausrechnen:

$\begin{array}{rcl}U& =& 2·\sqrt{\frac{6c{m}^2}{\pi }}·\pi \\ & & \\ U& \approx & 8,68cm\end{array}$

Abbildung 8: Umfang eines Kreises mit einem Flächeninhalt von 6 cm²

Aufgabe

Berechne den Umfang der drei Kreise auf drei unterschiedliche Wege. Runde auf zwei Nachkommastellen:

Lösung

1.

Als Erstes starten wir mit dem kleinen Kreis. Hier könntest du sowohl mit der Radius-Formel als auch mit der Durchmesser-Formel arbeiten. Da der Durchmesser jedoch auf einen Blick zu erkennen ist, arbeiten wir mit diesem. Du kannst deshalb jetzt die Formel für den Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser aufschreiben:

$U=d·\mathrm{\pi }$

In der Zeichnung kannst du erkennen, dass der Abstand von einer Seite zur nächsten, durch den Mittelpunkt genau 1 cm beträgt. Diesen Wert kannst du in deine Formel einsetzen:

$U=1cm·\mathrm{\pi }$

Als Letztes kannst du jetzt noch das Ergebnis ausrechnen und auf zwei Nachkommastellen runden:

$U=\mathrm{\pi }\approx 3,14cm$

2.

Als Nächstes rechnen wir den Umfang des mittelgroßen Kreises aus. Die zwei Rechenmethoden, die noch übrig sind, ist die Methode mit Radius und die Methode mit dem Flächeninhalt. Da hier kein Flächeninhalt gegeben ist und wir diesen durch Messen auch nicht erhalten können, ist es sinnvoll, hier mit der Radius-Formel zu rechnen. Du kannst sie also schon einmal aufschreiben.

$U=2·r·\mathrm{\pi }$

Jetzt musst du den Radius des Kreises, also den Abstand von einer Seite bis zum Mittelpunkt, herausfinden.

Die erste Seite liegt bei der x-Achse auf der 2, während der Mittelpunkt bei 4 liegt. Wenn du deren Differenz ausrechnest, kommst du auf den Radius:

$$\begin{gathered} r=M-S \\ r=4cm-2cm \\ r=2cm \end{gathered}$$

Den Radius von 2 cm kannst du jetzt in die Formel einsetzen:

$U=2·2cm·\mathrm{\pi }$

Zum Schluss kannst du das Ergebnis ausrechnen und auf zwei Nachkommastellen runden:

$U\approx 12,57cm$

Abbildung 11: Mittlerer Kreis

3.

Als Letztes schauen wir uns jetzt noch den großen Kreis an. Hier ist der Flächeninhalt gegeben, was in Ordnung ist, da wir noch mit der Methode des Flächeninhalts rechnen müssen. Also kannst du die Formel des Flächeninhalts schon einmal aufschreiben:

$A=r^2·\mathrm{\pi }$

Im nächsten Schritt kannst du jetzt die Formel nach r umstellen:

$\begin{array}{rcl}A& =& r^2·\mathrm{\pi }|÷\mathrm{\pi }\\ & & \\ {\mathrm{r}}^2& =& \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{\pi }}|\sqrt{}\\ & & \\ \mathrm{r}& =& \sqrt{\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{\pi }}}\end{array}$

Als Nächstes schreibe die Formel mit dem Radius für den Umfang eines Kreises auf:

$U=2·r·\mathrm{\pi }$

Hier kannst du jetzt die umgestellte Formel in die Formel für den Kreisumfang einsetzen:

$U=2·\sqrt{\frac{A}{\mathrm{\pi }}}·\mathrm{\pi }$

Für den Flächeninhalt ist der Wert $A=40c{m}^2$ gegeben. Setze diesen in die Formel ein:

$U=2·\sqrt{\frac{40c{m}^2}{\mathrm{\pi }}}·\mathrm{\pi }$

Als Letztes kannst du jetzt dein Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen und auf zwei Nachkommastellen runden:

$U\approx 22,42cm$

Abbildung 12: Großer Kreis