Umfang Parallelogramm: Konstruieren & Berechnen

Q: Wie lautet die Formel für den Umfang des Parallelogramms?

Die Formel für den Umfang lautet U=2 • (a+b).

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Umfang Parallelogramm – Grundlagenwissen

Das Parallelogramm ist eine wichtige Figur der Geometrie. Dabei handelt es sich um Vierecke mit besonderen Eigenschaften.

Ein Parallelogramm hat folgende Eigenschaften: Die gegenüberliegenden Seiten sind jeweils parallel und gleich lang.

Umfang Parallelogramm Parallelogramm StudySmarter Abbildung 1: Parallelogramm

Umfang Parallelogramm Quadrat StudySmarter Abbildung 2: Quadrat Umfang Parallelogramm Rechteck StudySmarter Abbildung 3: Rechteck Umfang Parallelogramm Raute StudySmarter Abbildung 4: Raute

Das Quadrat, das Rechteck und die Raute sind besondere Parallelogramme.

Umfang eines Parallelogramms konstruieren

Jedes Parallelogramm besitzt einen Umfang, der sich wie folgt definiert:

Der Umfang bezeichnet die Länge einer Linie, welche eine Figur in der Ebene begrenzt. Das Formelzeichen für den Umfang lautet $U$ .

Der Umfang eines Parallelogramms setzt sich aus den Seitenlängen des Parallelogramms zusammen. Längen werden immer mit einer Maßeinheit angeben, etwa Meter ( $m$ ), Zentimeter ( $c m$ ) oder Kilometer ( $k m$ ).

Umfang Parallelogramm – Herleitung

Für die allgemeine Formel zur Berechnung des Umfangs addiert man alle Längen der Seiten der Figur. Bei einem allgemeinen Viereck lautet die Formel: $U = a + b + c + d$ .

Umfang Parallelogramm Parallelogramm beschriftet StudySmarter Abbildung 5: beschriftetes Parallelogramm

Die Formel vom allgemeinen Viereck kann auf jedes Viereck angewendet werden, so auch für das Parallelogramm. Die Formel für das Parallelogramm ist eine Vereinfachung der allgemeinen Formel. Da das Parallelogramm zweimal zwei gleichlange Seiten besitzt, ist die Seite $a$ gleich der Seite $c$ und die Seite $b$ gleich der Seite $d$ und die allgemeine Formel kann vereinfacht werden.

Die entstehende Formel leitet sich wie folgt her:

$\begin{array}{lll} U = a + b + c + d & | a = c & | b = d \\ U = a + b + a + b \\ U = 2 \cdot a + 2 \cdot b \\ U = 2 \cdot (a + b) \end{array}$

Umfang Parallelogramm – Formel

Aus der Herleitung geht folgende Formel für den Umfang eines Parallelogramms hervor:

Die Formel für den Umfang $U$ eines Parallelogramms mit den Seiten $a$ und $b$ lautet:

$U = 2 \cdot (a + b)$

Umfang Parallelogramm berechnen

Zum besseren Verständnis kannst Du beide Formeln auf ein Parallelogramm anwenden.

Berechne den Umfang des Parallelogramms mit den Seitenlängen $a = c = 10 c m, b = d = 7 c m$ jeweils mit der allgemeinen Formel zur Berechnung des Umfangs und der vereinfachten Formel für das Parallelogramm.

Nach der allgemeinen Formel:

$U = a + b + c + d U = 10 c m + 7 c m + 10 c m + 7 c m U = 34 c m$

Nach der Formel für das Parallelogramm:

$U = 2 \cdot (a + b) U = 2 \cdot (10 c m + 7 c m) U = 34 c m$

Es ist egal, mit welcher Formel Du den Umfang berechnest. Bei beiden Formeln kommst Du auf das gleiche Ergebnis, jedoch ist der Rechenaufwand bei der Formel für das Parallelogramm geringer.

Umfang Parallelogramm mit Flächeninhalt berechnen

Der Umfang und der Flächeninhalt stehen miteinander in Zusammenhang. Du kannst mithilfe vom Flächeninhalt den Umfang berechnen und umgekehrt.

Flächeninhalt – Parallelogramm

Das Parallelogramm besitzt ebenfalls eine vereinfachte Formel für den Flächeninhalt.

Die Formel für den Flächeninhalt $A$ eines Parallelogramms lautet:

$A = a \cdot h_{a}$

oder

$A = b \cdot h_{b}$

Berechnung des Umfangs anhand des Flächeninhalts

Um den Umfang mithilfe des Flächeninhalts zu berechnen, wird die Höhe auf der nicht gegebenen Seite und der Flächeninhalt gebraucht.

Es können zwei Fälle auftreten: Entweder Seite $a$ oder Seite $b$ sind nicht gegeben.

Umfang ohne a berechnen – Formel umstellen

Im Folgenden wird der Umfang berechnet, wobei die Seite $a$ nicht gegeben ist. Dafür ist die Höhe $h_{a}$ , der Flächeninhalt $A$ und die Seite $b$ gegeben.

Das Parallelogramm mit der Seite $b = 6 m$ , dem Flächeninhalt $A = 27 m^{2}$ und Höhe $h_{a} = 3 m$ auf $a$ ist gegeben. Gesucht wird der Umfang dieses Parallelogramms.

Als Erstes stellst Du die Formel für den Flächeninhalt $A = a \cdot h_{a}$ um.

$A = a \cdot h_{a} | \div h_{a} a = \frac{A}{h_{a}}$

Danach setzt Du die umgestellte Formel in die Formel vom Umfang $U = 2 \cdot (a + b)$ ein.

$U = 2 \cdot (a + b) | a = \frac{A}{h_{a}} U = 2 \cdot (\frac{A}{h_{a}} + b)$

Nun setzt Du noch die gegebenen Werte ein und rechnest das Ergebnis aus.

$U = 2 \cdot (\frac{27}{3} + 6) U = 2 \cdot (9 + 6) U = 2 \cdot 15 U = 30 [m]$

In der Rechnung kannst Du die Einheiten weglassen, damit es übersichtlicher ist. Aber im Ergebnis muss die Einheit angegeben werden.

Umfang ohne b berechnen – Formel umstellen

Im Folgenden wird der Umfang berechnet, wobei die Seite $b$ nicht gegeben ist. Dafür ist die Höhe $h_{b}$ , der Flächeninhalt $A$ und die Seite $a$ gegeben.

Das Parallelogramm mit der Seite $a = 8 c m$ , dem Flächeninhalt $A = 35 c m$ und Höhe $h_{b} = 7 c m$ auf $b$ ist gegeben. Gesucht wird der Umfang dieses Parallelogramms.

Als Erstes stellst Du auch hier die Formel für den Flächeninhalt $A = b \cdot h_{b}$ um.

$A = b \cdot h_{b} | \div h_{b} b = \frac{A}{h_{b}}$

Danach setzt Du die umgestellte Formel in die Formel vom Umfang $U = 2 \cdot (a + b)$ ein.

$U = 2 \cdot (a + b) | b = \frac{A}{h_{b}} U = 2 \cdot (a + \frac{A}{h_{b}})$

Nun setzt Du noch die gegebenen Werte ein und rechnest das Ergebnis aus.

$U = 2 \cdot (8 + \frac{35}{7}) U = 2 \cdot (8 + 5) U = 2 \cdot 13 U = 26 [c m]$

Umfang mit Vektoren berechnen

Der Umfang des Parallelogramms lässt sich auch im dreidimensionalen Koordinatensystem berechnen. Folgendermaßen berechnet sich der Umfang $U$ mit den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ :

$\vec{a} = \vec{A B}, \vec{b} = \vec{A D} U = 2 \cdot (|\vec{a}| + |\vec{b}|)$

Der Umfang lässt sich nur von positiven Seitenlängen ermitteln. Deshalb wird im dreidimensionalen Koordinatensystem bei Längen immer mit den Beträgen gerechnet.

Einen Betrag erkennst Du an den senkrechten Strichen vor und nach einer Variablen.

Zur Verdeutlichung ein Beispiel:

Ein Parallelogramm hat folgende Eckpunkte: $A (\begin{matrix} 3 & - 1 & 2 \end{matrix}), B (\begin{matrix} 1 & 0 & - 2 \end{matrix}), C (\begin{matrix} 2 & 1 & 2 \end{matrix}), D (\begin{matrix} 4 & 0 & 6 \end{matrix})$ . Berechne den Umfang des Parallelogramms.

Dazu benötigst Du die Spannvektoren zwischen den Punkten. Hierbei brauchst Du nur zwei zu ermitteln. Beachte, dass Du nicht die parallelen Seiten ermittelst.

\vec{A B} = (\begin{matrix} 1 & - & 3 \\ 0 & - & (- 1) \\ - 2 & - & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 4 \end{matrix})

$\vec{A D} = (\begin{matrix} 4 & - & 3 \\ 0 & - & (- 1) \\ 6 & - & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{matrix})$

Achte darauf, dass Du die Ortsvektoren in der richtigen Reihenfolge subtrahierst.

$\vec{A B} = (\begin{matrix} x_{b} - x_{a} \\ y_{b} - y_{a} \\ z_{b} - z_{a} \end{matrix})$

Nun berechnest Du die Seitenlänge mithilfe der Vektoren,

$|\vec{A B}| = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + {(- 4)}^{2}} |\vec{A B}| = \sqrt{4 + 1 + 16} |\vec{A B}| = \sqrt{21}$

$|\vec{A D}| = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 4^{2}} |\vec{A D}| = \sqrt{1 + 1 + 16} |\vec{A D}| = \sqrt{18}$

setzt die Werte in die Formel für den Umfang ein und ermittelst den Umfang.

$U = 2 \cdot (|\vec{A B}| + |\vec{A D}|) U = 2 \cdot (\sqrt{21} + \sqrt{18}) U = 2 \cdot \sqrt{21} + 2 \cdot \sqrt{18} U = 2 \cdot \sqrt{21} + 6 \cdot \sqrt{2} U \approx 17, 65 [L E]$

Umfang Parallelogramm – Aufgaben

In den folgenden Übungsaufgaben kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.

1. Aufgabe

Berechne den Umfang der Parallelogramme mit den folgenden Seitenlängen.

$a = 3 c m, b = 5 c m$
$a = 18 m, b = 34 m$
$a = 245 c m, b = 132 c m$

Lösung

a.	b.	c.
$U = 2 \cdot (a + b) U = 2 \cdot (3 + 5) U = 2 \cdot 8 U = 16 [c m]$	$U = 2 \cdot (a + b) U = 2 \cdot (18 + 34) U = 2 \cdot 52 U = 104 [m]$	$U = 2 \cdot (a + b) U = 2 \cdot (245 + 132) U = 2 \cdot 377 U = 754 [c m]$

2. Aufgabe

Berechne die fehlende Seite, in dem Du die Formel für den Umfang vorher umstellst.

$U = 26 c m, a = 5 c m$
$U = 78 m, b = 18 m$

Lösung

a.	b.
$\begin{matrix} U = 2 \cdot (a + b) & \| \div 2 \\ \frac{U}{2} = a + b & \| - a \\ b = \frac{U}{2} - a \\ b = \frac{26}{2} - 5 \\ b = 8 [c m] \end{matrix}$	$\begin{matrix} U = 2 \cdot (a + b) & \| \div 2 \\ \frac{U}{2} = a + b & \| - b \\ a = \frac{U}{2} - b \\ a = \frac{78}{2} - 18 \\ a = 21 [c m] \end{matrix}$

3. Aufgabe

Berechne den Umfang eines Parallelogramms mit den Werten: $A = 56 c m^{2}, h_{a} = 4 c m, b = 13 c m$

Lösung

Für die Berechnung des Umfangs benötigst Du zwei Formeln, denn Dir fehlt noch der Wert von $a$ .

$A = a \cdot h_{a}$
$U = 2 (a + b)$

Um $a$ zu erhalten, kannst Du die Formel für den Flächeninhalt umstellen

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} A = a \cdot h_{a} & | : h_{a} \\ a = \frac{A}{h_{a}} \end{matrix} \end{array}$

und in die Formel für den Umfang einsetzen.

$\begin{matrix} U = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (\frac{A}{h_{a}} + b) \\ U = 2 \cdot (\frac{56}{4} + 13) = 54 [c m] \end{matrix}$

Als Ergebnis erhältst Du einen Umfang von $54 c m$ .

Umfang Parallelogramm – Das Wichtigste

Der Umfang eines Parallelogramms ist die Summe aller Seiten, die das Parallelogramm begrenzen.
Die Formel für den Umfang eines Parallelogramms lautet: $U = 2 \cdot (a + b)$ .
Die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms lautet: $A = a \cdot h_{a}$ oder $A = b \cdot h_{b}$ .

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Umfang Parallelogramm

Wie berechnet man den Umfang von einem Parallelogramm?

Man berechnet den Umfang, indem man alle 4 Seiten addiert. Die Formel zur Berechnung des Umfangs vom Parallelogramm lautet U=2•(a+b).

Wie berechnet man den Umfang und Flächeninhalt eines Parallelogramms?

Man addiert alle 4 Seiten und erhält den Umfang. Die Formel dafür lautet U=2•(a+b).

Für den Flächeninhalt multipliziert man die Höhe und die Grundseite. Die Formel lautet A=b•h_b oder A=a•h_a.

Was sind die Eigenschaften von einem Parallelogramm?

Bei einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel und gleich lang.

Wie lautet die Formel für den Umfang des Parallelogramms?

Die Formel für den Umfang lautet U=2•(a+b).

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