Umfang Rechteck

Aufgabe 1

Betrachte das gegebene Rechteck mit den Seitenlängen $a=2cm$ und $b=5cm$. Berechne den Umfang des Rechtecks:

Abbildung 8: Rechteck zu Aufgabe 1

Lösung

Verwende zur Berechnung die Formel für den Umfang des Rechtecks:

$U_{Rechteck}=a+b+a+b=2a+2b$

Anschaulich werden auch hier die Seiten aneinander gelegt und ihre Längen addiert.

Damit folgt:

$U_{Rechteck}=2cm+5cm+2cm+5cm=2·2cm+2·5cm=4cm+10cm=14cm$

Aufgabe 2

Du weißt, dass euer rechteckiges Trampolin eine Breite von 4 m hat. Der 20 m lange Segeltau, den du in der Garage hast, reicht genau einmal um die Fläche des Trampolins herum. Wie lang ist euer Trampolin?

Lösung

Für solche Aufgaben ist es immer hilfreich, zunächst eine Skizze anzufertigen.

Da das Trampolin rechteckig ist, darfst du ein Rechteck skizzieren. Die Breite ist mit $a=4m$ gegeben, die Länge willst du berechnen. Daher ist die Breite in dieser Aufgabe die Unbekannte x:

Abbildung 9: Rechteck zu Aufgabe 2

Du weißt außerdem, dass das Seil mit Länge 20 m genau einmal um die Trampolinfläche herumreicht. Das bedeutet, dass der Umfang der Trampolinfläche 20 m beträgt.

Daher gilt:

$U_{Rechteck}=20m$

Außerdem kannst du mit der Formel berechnen:

Setzt man diese beiden Informationen gleich, erhält man:

$20m=8m+2·xm$

Per Gleichungsumformung oder mit logischem Ausprobieren erhältst du:

$2·xm=12m\Rightarrow x\hspace{0.17em}=6$

Nun weißt du, dass euer Trampolin 6 m lang ist.

Aufgabe 3

Von einem Rechteck weißt du, dass sein Flächeninhalt $21c{m}^2$ beträgt. Außerdem weißt du, dass es 3 cm breit ist. Was ist der Umfang des Rechtecks?

Lösung

Erstelle wieder zunächst eine Skizze:

Abbildung 10: Rechteck zu Aufgabe 3

Jetzt benötigst du die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks.Sie lautet für ein Rechteck mit Seitenlängen a und b:

$A_{Rechteck}=a·b$

Damit lässt sich der Flächeninhalt mit a und b wie folgt ausdrücken:

$A_{Rechteck}=a·b=3cm·xcm=3·xc{m}^2$

Aus der Angabe wissen wir:

$A_{Rechteck}=21c{m}^2$

Durch Gleichsetzen erhält man:

$3·xc{m}^2=21c{m}^2$

Mit Division (durch 3) folgt:

$x=7$

Das heißt, dass das Rechteck 7 cm lang ist.

Den Umfang berechnest du nun mit der üblichen Formel:

$U_{Rechteck}=2a+2b=2·3cm+2·7cm=6cm+14cm=20cm$

Aufgabe 4

Dein älterer Bruder stellt dir ein Zahlenrätsel:

"Mein Schreibtisch ist dreimal so lang, wie er breit ist. Sein Umfang beträgt 4 m. Was sind die Maße meines Schreibtischs?"

Versuche, das Rätsel zu lösen.

Lösung

Erstelle zunächst wieder eine Skizze der Situation:

Abbildung 11: Rechteck zu Aufgabe 4

Bislang weißt du nur, dass die Strecke b dreimal so lang ist wie die Strecke a.

Mathematisch lässt sich das ausdrücken mit $b=3·a$.

Um eine sinnvolle Berechnung anzustellen, müssen wir nun eine Variable x einführen und die zu berechnenden Seiten a und b mit x ausdrücken. Dafür verwenden wir die Beziehung von a und b.

Setze:

$a=x$

Dann gilt:

$b=3·a=3·x$

Mit der Formel für den Rechtecksumfang ergibt sich dadurch:

$U_{Rechteck}=2·a+2·b=2·x+2·(3·x)=2x+6x=8x$

Laut Angabe gilt außerdem:

$U_{Rechteck}=4m$

Daher gilt:

$8x=4m$

Division durch 8 ergibt:

$x=0,5m$

Daraus folgt:

$a=x=0,5m$

Die Länge b berechnet sich durch:

$b=3·a=3·0,5m=1,5m$

Aufgabe 5

Du willst anhand der folgenden Karte herausfinden, welchen Umfang der Ammersee hat und ob es möglich ist, ihn mit dem Fahrrad zu umfahren:

Abbildung 12: Ammersee

Lösung

Zeichne zunächst ein Hilfsrechteck in die Skizze ein.

Abbildung 13: Ammersee mit Hilfsrechteck

Anhand des Maßstabes müssen nun für das Rechteck die entsprechenden Seitenlängen a und b bestimmt werden.

Die Strecke b ist im Original 5 km lang, die Strecke a ist 8 km lang.

Der Umfang des Rechtecks berechnet sich damit zu:

$U_{Rechteck}=2a+2b=2·5km+2·18km=10km+28km=38km$

Daraus folgt dann, dass auch der Umfang des Ammersees in etwa 38 km beträgt.

Je nach Fitness kann man den Ammersee mit seinen circa 40 km Umfang gut an einem Tag mit dem Fahrrad umrunden.