Umfang Trapez

Aufgabe 1

Berechne den Umfang U eines Trapezes mit den Seiten $a=2\text{cm},b=4\text{cm},c=3\text{cm}\text{und}d=1,5\text{cm}$.

Lösung

1. Schritt

Schreibe die Formel zur Berechnung des Umfangs U eines Trapezes auf.

$$U=a+b+c+d$$

2. Schritt

Setzte die gegebenen Seitenlängen in die Formel ein.

$$U=2\text{cm}+4\text{cm}+3\text{cm}+1,5\text{cm}$$

3. Schritt

Zum Schluss kannst Du jetzt das Ergebnis berechnen.

$$U=10,5\text{cm}$$

Aufgabe 2

Berechne den Umfang U eines gleichschenkligen Trapezes mit den Seiten $a=6\text{cm},b=8\text{cm},c=3\text{cm}$.

Lösung

1. Schritt:

Schreibe die Formel zur Berechnung des Umfangs U eines Trapezes auf.

$$U=a+2\cdot b+c$$

2. Schritt:

Setzte die gegebenen Seitenlängen in die Formel ein.

$$U=6\text{cm}+2\cdot 8\text{cm}+3\text{cm}$$

3. Schritt:

Zum Schluss kannst Du jetzt das Ergebnis berechnen.

$$U=25\text{cm}$$

Aufgabe 3

Berechne den Umfang U eines Trapezes mit den Werten $A=20{\text{cm}}^2,h=4\text{cm},b=2\text{cm}\text{und}d=6\text{cm}$.

Lösung

Du gehst hier genauso vor, wie bei der Berechnung mit der oberen Umfangsformel.

1. Schritt:

Schreibe die passende Formel zur Berechnung des Umfangs U eines Trapezes auf.

$$U=\frac{2A}{h}+b+d$$

2. Schritt:

Setzte die gegebenen Seitenlängen in die Formel ein.

$$U=\frac{2\cdot 20{\text{cm}}^2}{4\text{cm}}+2\text{cm}+6\text{cm}$$

3. Schritt:

Zum Schluss kannst Du jetzt das Ergebnis berechnen.

$$\begin{array}{rl}U& =\frac{40{\text{cm}}^2}{4\text{cm}}+8\text{cm}\\ U& =10\text{cm}+8\text{cm}\\ U& =18\text{cm}\end{array}$$

Aufgabe 4

Berechne die Seite $c$ eines Trapezes mit den Werten $a=2\text{cm},b=4\text{cm},d=2,5\text{cm}\text{und}U=25\text{cm}$.

Lösung

Als Erstes schreibst Du wieder die Formel zur Berechnung des Umgangs $U$ eines Trapezes auf.

$$U=a+b+c+d$$

Dann stellst Du diese Formel nach $c$ um.

$$\begin{array}{rlrl}U& =a+b+c+d& & |-c\\ U-c& =a+b+d& & |-U\\ -c& =a+b+d-U& & |·(-1)\\ c& =-a-b-d+U\end{array}$$

Jetzt kannst Du die gegebenen Werte in die Formel einsetzten.

$$c=-2\text{cm}-4\text{cm}-2,5\text{cm}+25\text{cm}$$

Zum Schluss kannst Du dann noch das Ergebnis berechnen.

$$\begin{array}{rl}c& =-8,5\text{cm}+25\text{cm}\\ c& =16,5\text{cm}\end{array}$$

Aufgabe 5

Dein Vater möchte um Eurer Grundstück einen neuen Zaun bauen. Du willst Deinem Vater helfen, also berechnest Du den Umfang Eures Grundstücks, damit er weiß, wie viele Pakete mit Zäunen er kaufen muss.

Abb. 6 – Abbildung der Grundstücksfläche

Du gehst also mit einem Maßband nach draußen und misst alle Seiten. Dabei erhältst Du folgende Werte:

$$\begin{array}{r}a=800\text{m},b=500\text{m},c=1400\text{m}\text{und}d=500\text{m}\end{array}$$

Lösung

1. Du kannst als Erstes anhand der Abbildung sehen, dass das Grundstück die Form eines Vierecks, speziell eines Trapezes hat. Somit kannst Du die Formel zur Umfangsberechnung eines Trapezes verwenden. Aber Du siehst auch, dass zwei Seiten gleich lang sind, also kannst Du direkt die Formel für den Umfang eines gleichschenkligen Trapezes verwenden.

$$U=a+2\cdot b+c$$

2. Jetzt setzt Du die einzelnen Seitenlängen in die Formel ein.

$$U=800\text{m}+2\cdot 500\text{m}+1400\text{m}$$

3. Zum Schluss addierst Du dann die einzelnen Seitenlängen zusammen.

$$\begin{array}{rl}U& =800\text{m}+2\cdot 500\text{m}+1400\text{m}\\ U& =3200\text{m}\end{array}$$

Der Umfang des Grundstücks beträgt insgesamt $3200\text{m}$.

Aufgabe 6

Nachdem der Zaun um Euer Grundstück erfolgreich aufgebaut wurde, hat Deine Eltern die Lust am Renovieren gepackt. Sie möchten im Wohnzimmer neue Fußbodenleisten anbringen. Dazu messen sie die beiden Zimmer aus und bitten Dich den Umfang der Zimmer zu berechnen, da Du Dein mathematisches Können bereits beim Zaunbau gezeigt hast.

Abb. 7 – Grundriss des Wohnzimmers

Das Wohnzimmer hat folgende Seitenlängen:

$$a=8\text{m},b=3\text{m},c=5\text{m}\text{und}d=3,5\text{m}$$

Lösung

1. Du siehst Dir wieder genau den Grundriss an und kannst dabei die Form eines Trapezes erkennen. Somit wendest Du folgende Formel an.

$$U=a+b+c+d$$

2. Jetzt setzt Du die Maße des Wohnzimmers ein.

$$U=8\text{m}+3\text{m}+5\text{m}+3,5\text{m}$$

3. Du addierst die einzelnen Seitenlängen und kommst zu folgendem Ergebnis.

$$\begin{array}{rl}U& =8\text{m}+3\text{m}+5\text{m}+3,5\text{m}\\ U& =19,5\text{m}\end{array}$$

Die Fußbodenleisten müssen also mindestens eine Gesamtlänge von $19,5\text{m}$ haben.

Aufgabe 7

Dein Fußballverein möchte die Bande um das Fußballfeld erneuern lassen. Dabei hat der Vereinsvorstand beschlossen, dass die Bande nicht nur um das Fußballfeld, sondern auch um den Aufwärmbereich, der sich hinter den beiden Toren befindet, verlaufen soll.

Von der letzten Vermessung vor 20 Jahren ist leider nur der gesamte Umfang und die Seitenlängen von $b,c\text{und}d$ bekannt. Der Vereinsvorstand beauftragt nun Dich, die Seitenlänge von $a$ zu ermitteln.

Abb. 8 – Grundriss der Aufwärmzone und des Spielfeldes