Umkreis Dreieck konstruieren

Umkreismittelpunkt

Den Mittelpunkt M des Umkreises u findest Du, indem Du den Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten ermittelst. Er ist von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt. Es gilt also Folgendes:

Abbildung 2: Umkreismittelpunkt M und seine Abstände zu den Eckpunkten A, B und C

Der Radius des Umkreises

Wie oben bereits gesehen, lässt sich der Radius r des Umkreises u einfach messen, indem Du den Abstand zwischen seinem Mittelpunkt und einem seiner Eckpunkte misst. Es gibt aber auch eine Formel, mit welcher Du den Radius des Umkreises berechnen kannst, ohne diesen vorher eingezeichnet zu haben.

Wenn Du also den Radius des Umkreises u eines Dreiecks ABC berechnen möchtest, teilst Du das Produkt der Seitenlängen durch das Vierfache des Flächeninhaltes des Dreiecks ABC.

Umkreis Dreieck konstruieren

Wenn Du den Umkreis eines Dreiecks konstruieren möchtest, solltest Du wissen, wie man Mittelsenkrechten konstruiert.

Um den Umkreis eines Dreiecks ABC zu konstruieren, gehst Du in folgenden Schritten vor:

1. Konstruiere die Mittelsenkrechten ma, mb und mc der drei Seiten a, b und c ein.
2. Bestimme den Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten.
3. Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten und der Radius des Umkreises ist der Abstand von dem Mittelpunkt des Kreises und einem Eckpunkt des Dreiecks. Mit diesen Daten kannst Du den Umkreis u konstruieren.

Formale Konstruktionsanleitung

Oben konntest Du jetzt schon sehen, wie es Schritt für Schritt aussieht, wenn der Umkreis eines Dreiecks konstruiert wird. Diese Konstruktionsschritte findest Du hier noch mal zusammengefasst:

1. k(A;r) mit r>0,5·$\overline{AB}$und r>0,5·$\overline{AC}$
2. k(B;r) mit r>0,5·$\overline{BA}$und r>0,5·$\overline{BC}$ → Punkte X1 und X2
3. k(C;r) mit r>0,5·$\overline{CA}$und r>0,5·$\overline{CB}$ → Punkte Y1 und Y2
4. mc = $\overline{X_1{X}_2}$
5. ma = $\overline{Y_1{Y}_2}$ → Punkt M
6. k(M;r) = Umkreis u

Abbildung 7: Konstruktion der zwei Mittelsenkrechten und Abbildung 8: Mittelsenkrechten

Abbildung 9: Umkreis u

Umkreise verschiedener Dreiecke

Bei den verschiedenartigen Dreiecken sehen auch ihre Umkreise unterschiedlich aus. Im Folgenden lernst Du einige besondere Fälle kennen.

Umkreis rechtwinkliges Dreieck

Bei rechtwinkligen Dreiecken gibt es eine Besonderheit bezüglich des Mittelpunktes M. Dieser bildet in diesem Fall nämlich nicht nur den Mittelpunkt des Umkreises u, sondern ist gleichzeitig Mittelpunkt der Hypotenuse.

Abbildung 10: Rechtwinkliges Dreieck ABC und sein Umkreis U

In diesem beispielhaften Dreieck ABC bildet die Seite a die Hypotenuse. Es ist zu erkennen, dass der Schnittpunkt M die Hypotenuse halbiert, da die Mittelsenkrechte m durch diesen Punkt verläuft. Gleichzeitig ist M Mittelpunkt des Kreises u.

Umkreis stumpfwinkliges Dreieck

Liegt Dir ein stumpfwinkliges Dreieck ABC vor, befindet sich der Mittelpunkt M des Umkreises immer außerhalb des Dreiecks ABC.

Abbildung 11: Stumpfwinkliges Dreieck ABC und sein Umkreis U

Umkreis spitzwinkliges Dreieck

Ist das Dreieck ABC, zu welchem Du denn Umkreis u konstruieren sollst, ein spitzwinkliges Dreieck, kannst Du mit Sicherheit sagen, dass der Mittelpunkt M des Umkreises u innerhalb des Dreiecks ABC liegt.

Abbildung 12: Spitzwinkliges Dreieck ABC und sein Umkreis u

Umkreis Dreieck – Aufgaben