Vektoren addieren – Voraussetzungen
Grundsätzlich hast du zwei Möglichkeiten bei der Vektoraddition: grafisch oder rechnerisch. Wichtig bei der Vektoraddition ist, dass die zu addierenden Vektoren die gleiche Struktur und die gleiche Dimension haben. Aber was bedeutet das eigentlich?
Vektoren können in zwei unterschiedliche Arten dargestellt werden: als Zeilenvektor oder als Spaltenvektor.
Ein Vektor ist als Zeilenvektor angegeben, wenn alle Koordinaten horizontal nebeneinander stehen.
Außerdem gibt es noch Spaltenvektoren. Bei Spaltenvektoren liegen alle Koordinaten übereinander.
Die Dimension eines Vektors ist abhängig von der Anzahl der Koordinaten. Während ein Vektor mit zwei Koordinaten im zwei-Dimensionalen liegt, liegt ein Vektor mit drei Koordinaten im drei-Dimensionalen.
Zur Wiederholung: Die Komponenten eines Vektors sind seine x-, y- und gegebenenfalls z-Koordinaten.
Vektoren addieren – Beispiele
Hier ein paar Beispielaufgaben zum Addieren von Vektoren:
Aufgabe 1
Entscheide, ob man diese Vektoren in ihrer angegebenen Form addieren kann.
1.
2.
3.
4.
Lösung
1.
In diesem Fall sind beide Vektoren Zeilenvektoren und haben 2 Koordinaten. Aufgrund dessen haben sie die gleiche Struktur und die gleiche Dimension, was bedeutet, dass eine Addition möglich ist.
2.
Hier sind beide Vektoren Zeilenvektoren, wodurch die erste Anforderung, die gleiche Struktur, schon erfüllt ist. Der Vektor ist jedoch zwei-dimensional, während der Vektor sich im drei-dimensionalen befindet. Damit ist die zweite Anforderung, die gleiche Dimension, nicht erfüllt. Die Vektoren können demnach nicht addiert werden.
3.
In diesem Fall haben beide Vektoren drei Komponenten, befinden sich also im drei-Dimensionalen und sind demnach in der gleichen Dimension. Die Art der Vektoren ist jedoch eine andere, da der Vektor ein Spaltenvektor und der Vektor ein Zeilenvektor ist. Diese beiden Vektoren lassen sich also nicht addieren.
4.
Hier sind beide Vektoren Spaltenvektoren und haben drei Komponenten. Das bedeutet, die Struktur und die Dimension sind gleich: Die Vektoren können addiert werden.
Falls du nach diesem Prinzip merkst, dass deine Vektoren nicht die gleiche Struktur haben, kannst du sie so umwandeln, dass sie den Anforderungen entsprechen.
Umwandeln der Schreibweise der Vektoren
Einen Spaltenvektor in einen Zeilenvektor umzuwandeln oder andersherum ist einfach. Besonders, wenn die Vektoren noch nicht mit Zahlen, sondern allgemein aufgeschrieben werden, kannst du auf einen Blick erkennen, dass du den Vektor nur anders aufschreiben musst.
Also anstatt von links nach rechts, von oben nach unten. Oder anstatt von oben nach unten, von links nach rechts.
Die Umwandlung von Zeilen- in Spaltenvektor sieht so aus:
Das Gleiche gilt auch für zwei-dimensionale Vektoren:
Vektoren addieren – Grafisch
Wie oben schon kurz erwähnt, hast du zwei verschiedene Möglichkeiten, Vektoren zu addieren: grafisch oder rechnerisch. Die grafische Möglichkeit ist zwar etwas zeitaufwändiger, jedoch kannst du dir das Szenario, besonders bei komplizierten Aufgaben mit Kontext, besser vorstellen. Wenn es aber mal schnell gehen muss und du keine visuelle Hilfe brauchst, ist der rechnerische Ansatz genau richtig.
Vektoren grafisch addieren – Zeichnung
Die erste Variante, um zwei Vektoren zu addieren, ist grafisch. Hier zeichnest du die beiden Vektoren und verbindest dann den Fuß des einen mit der Spitze des anderen Vektors. So entsteht ein neuer Vektor.
Die Spitze eines Vektors ist das Ende des Vektors, während der Fuß, dem Beginn des Vektors entspricht.
Das sieht dann folgendermaßen aus:
Stelle die Addition zweier Vektoren grafisch dar.
Grafische Darstellung | Erklärung |
Abbildung 1: Vektor a | Als Erstes zeichnest du dir den ersten Vektor, also den ersten Summanden, in ein Koordinatensystem ein.In diesem Fall zeichnest du also den Vektor .Zur Erinnerung: Bei einer Addition werden die beiden zu addierenden Zahlen Summanden genannt. Das Ergebnis ist dann die Summe. Es gilt also: 1. Summand + 2. Summand = Summe |
Abbildung 2: Vektor b | Danach zeichnest du den zweiten Vektor, den anderen Summanden, in das Koordinatensystem ein. In diesem Fall den Vektor .Dabei solltest du darauf achten, dass du dort startest, wo der erste Vektor endet. Es ist egal, mit welchem Vektor du beginnst. Du kannst auch den Fuß von , an die Spitze des Vektors legen, wenn du zuerst einzeichnest. Das Ergebnis bleibt gleich. |
Abbildung 3: Vektoraddition | Im nächsten Schritt kannst du den Fuß von , also des ersten Vektors, mit der Spitze von (also des zweiten Vektors) verbinden. Diese Verbindung ist die Summe und somit der "neue" Vektor. |
Dieses Vorgehen funktioniert im drei-Dimensionalen natürlich genauso.
Kommutativgesetz
Wie oben kurz angesprochen, ist es aufgrund des Kommutativgesetzes egal, in welcher Reihenfolge du die zu addierenden Vektoren schreibst. Man sagt auch: Die Addition zweier Vektoren ist kommutativ.
Du kannst auch den Fuß von an die Spitze von legen, wenn du zuerst einzeichnest. Das Ergebnis bleibt gleich (Kommutativgesetz). Das Ergebnis dieses Vorgangs ist wieder ein Vektor, der Vektor .
Vektoren rechnerisch addieren – Betrag
Die zweite Variante Vektoren zu addieren ist rechnerisch. Diese Variante ist um einiges einfacher und schneller als die Variante des Zeichnens. Hier musst du jeweils die Komponenten der beiden Vektoren miteinander addieren, um die Summe der beiden zu erhalten.
Addition zweier Vektoren :
beziehungsweise im zwei-Dimensionalen
Folgendermaßen sieht dieses Vorgehen beispielsweise aus:
Aufgabe 2
1.
Berechne die Summe der Vektoren .
Lösung
1.
Als Erstes solltest du diese Aufgabenstellung in eine Rechnung umwandeln. Du schreibst die zwei Vektoren konkret als Summe auf. Die Reihenfolge ist dabei egal. In diesem Beispiel ist der 1. Summanden und der 2. Summanden.
Als Nächstes fasst du die zwei Vektoren zu einem Vektor zusammen.
Zum Schluss kannst du jetzt die Komponenten einzeln ausrechnen.
Die Summe der Vektoren beträgt also .
Vektoren addieren – Aufgaben zum Üben
In den folgenden Aufgaben kannst du dein Wissen testen!
Aufgabe 3
- Berechne die Summe der beiden Vektoren .
- Berechne die Summe der beiden Vektoren .
Lösung
1.
Als Erstes musst du dir überlegen, ob diese Aufgabe überhaupt berechnet werden kann. Beide Vektoren sind Zeilenvektoren und befinden sich im zwei-Dimensionalen. Das bedeutet, man kann direkt mit dem Rechnen anfangen, da sie die gleiche Struktur und die gleiche Dimension haben. Als Nächstes setzt du die Werte in die Formel von oben ein:
Jetzt kannst du die Vektoren zu einem Vektor zusammen fassen.
Zum Schluss kannst du das Ergebnis ausrechnen.
Die Summe der Vektoren beträgt .
2.
Als Erstes musst du dir wieder überlegen, ob die Aufgabe so zu lösen ist. Der erste Vektor ist ein Spaltenvektor, während der zweite Vektor ein Zeilenvektor ist. Sie haben also nicht die gleiche Struktur. Bring daher die Art der Vektoren auf einen Zeilenvektor. Dafür musst du den zweiten Vektor anstatt von links nach rechts von oben nach unten aufschreiben.
Jetzt sind beide Vektoren Spaltenvektoren, jedoch hat Vektor drei Komponenten, während Vektor nur zwei Komponenten hat. Sie befinden sich also in unterschiedlichen Dimensionen. Da die Dimension eines Vektors nicht geändert werden kann, ist diese Aufgabe nicht lösbar und somit gibt es kein Ergebnis.
Addition von Vektoren – Das Wichtigste
Vektoren müssen gleicher Art und Dimension sein, um addiert werden zu können.
Bei Spaltenvektoren sind die Koordinaten von oben nach unten notiert sind.
Bei Zeilenvektoren sind die Koordinaten von links nach rechts notiert.
Zwei-Dimensionale Vektoren haben zwei Koordinaten.
Drei-Dimensionale Vektoren haben drei Koordinaten.
Zeichnerisch wird der Fuß des einen Summanden mit der Spitze des anderen Summanden verbunden.
Rechnerisch werden die Vektoren zu einem Vektor zusammengefasst und die einzelnen Komponenten miteinander subtrahiert.
Es gilt:
- Die Reihenfolge der Vektoren ist egal (kommutativ).
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