Vektoren addieren

Aufgabe 1

Entscheide, ob man diese Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{und}\overrightarrow{\mathrm{b}}$ in ihrer angegebenen Form addieren kann.

1. $\overrightarrow{a}=\left(a_1\right|a_2)\mathrm{und}\overrightarrow{b}=(b_1\left|b_2\right)$

2. $\overrightarrow{a}=\left(a_1\right|a_2)\mathrm{und}\overrightarrow{b}=(b_1\left|b_2\right|b_3)$

3. $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)und\overrightarrow{b}=\left(b_1\right|b_2\left|b_3\right)$

4. $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\mathrm{und}\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{b}}_1\\ {\mathrm{b}}_2\\ {\mathrm{b}}_3\end{array}\right)$

Lösung

1.

In diesem Fall sind beide Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{und}\overrightarrow{\mathrm{b}}$ Zeilenvektoren und haben 2 Koordinaten. Aufgrund dessen haben sie die gleiche Struktur und die gleiche Dimension, was bedeutet, dass eine Addition möglich ist.

2.

Hier sind beide Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{und}\overrightarrow{\mathrm{b}}$ Zeilenvektoren, wodurch die erste Anforderung, die gleiche Struktur, schon erfüllt ist. Der Vektor $\overrightarrow{a}$ ist jedoch zwei-dimensional, während der Vektor $\overrightarrow{b}$ sich im drei-dimensionalen befindet. Damit ist die zweite Anforderung, die gleiche Dimension, nicht erfüllt. Die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{und}\overrightarrow{\mathrm{b}}$können demnach nicht addiert werden.

3.

In diesem Fall haben beide Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{und}\overrightarrow{\mathrm{b}}$ drei Komponenten, befinden sich also im drei-Dimensionalen und sind demnach in der gleichen Dimension. Die Art der Vektoren ist jedoch eine andere, da der Vektor $\overrightarrow{a}$ ein Spaltenvektor und der Vektor $\overrightarrow{b}$ ein Zeilenvektor ist. Diese beiden Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{und}\overrightarrow{\mathrm{b}}$ lassen sich also nicht addieren.

4.

Hier sind beide Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{und}\overrightarrow{\mathrm{b}}$Spaltenvektoren und haben drei Komponenten. Das bedeutet, die Struktur und die Dimension sind gleich: Die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{und}\overrightarrow{\mathrm{b}}$ können addiert werden.

Aufgabe 2

1.

Berechne die Summe der Vektoren $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}6\\ 1\end{array}\right)und\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)$.

Lösung

1.

Als Erstes solltest du diese Aufgabenstellung in eine Rechnung umwandeln. Du schreibst die zwei Vektoren konkret als Summe auf. Die Reihenfolge ist dabei egal. In diesem Beispiel ist$\overrightarrow{a}$ der 1. Summanden und $\overrightarrow{b}$ der 2. Summanden.

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}6\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)$

Als Nächstes fasst du die zwei Vektoren zu einem Vektor zusammen.

$\overrightarrow{a+b}=\left(\begin{array}{c}6+4\\ 1+3\end{array}\right)$

Zum Schluss kannst du jetzt die Komponenten einzeln ausrechnen.

$\overrightarrow{a+b}=\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$

Die Summe der Vektoren $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}6\\ 1\end{array}\right)und\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)$ beträgt also $\overrightarrow{a+b}=\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)$.

Aufgabe 3

1. Berechne die Summe der beiden Vektoren $\overrightarrow{a}=\left(2\right|3)und\overrightarrow{b}=(1\left|5\right)$.
2. Berechne die Summe der beiden Vektoren $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)und\overrightarrow{b}=\left(4\right|2)$.

Lösung

1.

Als Erstes musst du dir überlegen, ob diese Aufgabe überhaupt berechnet werden kann. Beide Vektoren sind Zeilenvektoren und befinden sich im zwei-Dimensionalen. Das bedeutet, man kann direkt mit dem Rechnen anfangen, da sie die gleiche Struktur und die gleiche Dimension haben. Als Nächstes setzt du die Werte in die Formel von oben ein:

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(2\right|3)+(1\left|5\right)$

Jetzt kannst du die Vektoren zu einem Vektor zusammen fassen.

$\overrightarrow{a+b}=(2+1|3+5)$

Zum Schluss kannst du das Ergebnis ausrechnen.

$\overrightarrow{a+b}=\left(3\right|8)$

Die Summe der Vektoren $\overrightarrow{a}=\left(2\right|3)und\overrightarrow{b}=(1\left|5\right)$ beträgt $\overrightarrow{a+b}=\left(3\right|8)$.

2.

Als Erstes musst du dir wieder überlegen, ob die Aufgabe so zu lösen ist. Der erste Vektor ist ein Spaltenvektor, während der zweite Vektor ein Zeilenvektor ist. Sie haben also nicht die gleiche Struktur. Bring daher die Art der Vektoren auf einen Zeilenvektor. Dafür musst du den zweiten Vektor anstatt von links nach rechts von oben nach unten aufschreiben.

$\overrightarrow{b}=\left(4\right|2)\iff \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)$

Jetzt sind beide Vektoren Spaltenvektoren, jedoch hat Vektor $\overrightarrow{a}$ drei Komponenten, während Vektor $\overrightarrow{b}$ nur zwei Komponenten hat. Sie befinden sich also in unterschiedlichen Dimensionen. Da die Dimension eines Vektors nicht geändert werden kann, ist diese Aufgabe nicht lösbar und somit gibt es kein Ergebnis.