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Vektoren können sowohl subtrahiert als auch addiert werden. In diesem Artikel geht es um die Subtraktion von Vektoren. Das Vorgehen und was die Voraussetzungen dafür sind, wird Dir im folgenden Schritt für Schritt erklärt.
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Leg kostenfrei losWie nennt man die Anzahl der Einträge eines Vektors?
Was ist der Fuß eines Vektors?
Wie nennt man das Ergebnis einer Vektorsubtraktion?
Wie wird die Differenz von \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\) berechnet?
Was müssen Vektoren haben, um subtrahiert werden zu können?
Was ist der graphische Ansatz zur Vektorsubtraktion?
Wie lautet die Rechenregel für die Subtraktion zweier Vektoren?
Wie ändert sich die graphische Darstellung im Dreidimensionalen?
Was muss beim Subtrahieren von Vektoren beachtet werden?
Was ist der Vorteil der rechnerischen Vektorsubtraktion?
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Team Vektoren subtrahieren Lehrer
Damit sich zwei Vektoren addieren/subtrahieren lassen, müssen sie beide die gleiche Dimension besitzen.Die Dimension eines Vektors \(\vec a\) bezeichnet die Anzahl seiner Einträge. Der Vektor \(\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}\) besitzt die Dimension 2.
A) \[\begin{pmatrix}5 \\2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}3 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5-3 \\2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-13 \\4\end{pmatrix}\]
B) \[\begin{pmatrix}-8 \\11\\1\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}5 \\7\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8-5 \\11-7\\1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-13 \\4\\-1\end{pmatrix}\]
Die erste Variante, um zwei Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) zu subtrahieren, ist graphisch. Hier zeichnest Du die beiden Vektoren, aber den zweiten mit umgedrehten Vorzeichen und verbindest dann den Fuß des einen Vektors mit der Spitze des anderen Vektors. So entsteht dann ein neuer Ergebnisvektor.
Die Spitze eines Vektors ist das Ende des Vektors, während der Fuß, dem Beginn des Vektors entspricht.
Schau Dir das im Folgenden genauer an:
Stelle die Subtraktion zweier Vektoren \(\vec a = \begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec b = \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}\) graphisch dar.
| Grafische Darstellung | Erklärung |
| Als Erstes zeichnest Du Dir den Vektor, von dem Du subtrahieren willst, in ein Koordinatensystem ein.In diesem Fall zeichnest Du also den Vektor \(\vec a = \begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\). Zur Erinnerung: Bei einer Subtraktion wird die erste Zahl Minuend und die zweite Zahl Subtrahend genannt. Das Ergebnis ist dann die Differenz. Es gilt also: Minuend – Subtrahend = Differenz |
| Danach zeichnest Du den zweiten Vektor, den Subtrahend \(\vec b\), in das Koordinatensystem ein.Dabei solltest Du darauf achten, dass Du dort startest, wo der erste Vektor \(\vec a\) endet. Außerdem müssen die Vorzeichen des Subtrahenden durch das Minuszeichen erst noch umgekehrt werden.\(-\vec b = \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}\) |
| Im nächsten Schritt kannst du den Fuß von \(\vec a\), also des ersten Vektors, mit der Spitze von \(\vec b\), also des zweiten Vektors, verbinden. Diese Verbindung ist die Differenz und somit der "neue" Vektor. |
Dieses Vorgehen funktioniert im drei-Dimensionalen genauso.
Achtung! Hier musst du – im Gegenteil zur Addition von Vektoren – etwas sehr Wichtiges beachten: Die Vorzeichen des Vektors 
müssen umgedreht werden, da du diesen subtrahieren willst und deshalb das Vorzeichen des zweiten Vektors negativ werden muss.
Die zweite Variante Vektoren zu subtrahieren ist rechnerisch. Diese Variante ist um einiges einfacher und schneller als die Variante mit dem Zeichnen. Hier musst Du jeweils die Koordinaten der beiden Vektoren miteinander subtrahieren, um die Differenz der beiden Vektoren zu erhalten.
Subtraktion zweier Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\):
\[\vec a-\vec b=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3\end{pmatrix}\]
beziehungsweise im zwei-dimensionalen
\[\vec a-\vec b=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\end{pmatrix}\]
Berechne die Differenz der beiden Vektoren \(\vec a=\begin{pmatrix}8\\3\end{pmatrix}\) und \(\vec b=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}\) .
Lösung
\[\vec a-\vec b=\begin{pmatrix}8\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8-5\\3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\]
In den folgenden Aufgaben kannst Du Dein Wissen testen:
Aufgabe 1
Berechne die Differenz der Vektoren \(\vec a=\begin{pmatrix}12\\6\end{pmatrix}\) und \(\vec b=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\)
Lösung:
\[\begin{pmatrix}12\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12-3\\6-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\2\end{pmatrix}\]
Aufgabe 2
Berechne die Differenz der Vektoren \(\vec a=\begin{pmatrix}8\\3\\4\end{pmatrix}\) und \(\vec b=\begin{pmatrix}5\\1\\2\end{pmatrix}\)
Lösung:
\[\begin{pmatrix}8\\3\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8-5\\3-1\\4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}\]
Aufgabe 3
Berechne die Differenz der Vektoren \(\vec a=\begin{pmatrix}-3\\1\\14\end{pmatrix}\) und \(\vec b=\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}\)
Lösung:
\[\begin{pmatrix}-3\\1\\14\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3-2\\1-(-3)\\14-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\4\\12\end{pmatrix}\]
Vektoren müssen für die Subtraktion gleicher Art und Dimension sein.
Vektoren lassen sich graphisch durch Zusammensetzen der Pfeile addieren und subtrahieren
Für die Vektorsubtraktion gilt die folgende Rechenregel:\[\vec a-\vec b=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\end{pmatrix}\]
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Was ist eine Vektorsubtraktion?
Eine Vektorsubtraktion ist, wenn ein Vektor von einem anderen Vektor subtrahiert, also minus genommen, wird. Ein Vektor wird also von einem anderen Vektor abgezogen.
Wann kann man Vektoren subtrahieren?
Vektoren können subtrahiert werden, wenn sie die gleiche Struktur (Spaltenvektor oder Zeilenvektor) und die gleiche Dimension (zwei-Dimensional oder drei-Dimensional) haben.
Kann man Vektoren subtrahieren?
Vektoren können subtrahiert werden. Es gibt 2 Möglichkeiten die Differenz zweier Vektoren zu erhalten: zeichnerisch oder rechnerisch.
Wie subtrahiert man zwei Vektoren?
Zwei Vektoren können auf zwei unterschiedliche Arten subtrahiert werden: zeichnerisch und rechnerisch.
1. Zeichnerisch wird der 1. Vektor in ein Koordinatensystem gezeichnet. Dann werden die Vorzeichen des zweiten Vektors umgekehrt und er wird an die Spitze des ersten Vektors gesetzt. Die Differenz ist der Verbindungsvektor vom Fuß des ersten Vektors zur Spitze des zweiten Vektors.
Rechnerisch gilt:
a - b = (a1|a2) - (b1|b2) = (a1 - b1|a2 - b2)
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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