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Um das beantworten zu können, musst Du erst einmal verstehen, was ein Viereck ist. Die verschiedenen Arten und Eigenschaften eines allgemeinen Vierecks, aber auch die Eigenschaften von besonderen Vierecken, sowie das Haus der Vierecke lernst Du in diesem Artikel mithilfe von Tabellen, Übersichten und Zusammenfassungen kennen.
Eigenschaften Vierecke – Übersicht
Es gibt viele verschiedene Arten von Vierecken. Jede davon hat einzigartige Eigenschaften und Merkmale.
Ein allgemeines Viereck kann demnach folgendermaßen definiert werden.
Allgemein ist ein Viereck eine geometrische Figur, die durch vier Seiten und vier Eckpunkte gebildet wird.
Ein Viereck hat dabei ein paar besondere Merkmale:
- die Eckpunkte werden in alphabetischer Reihenfolge gegen den Uhrzeigersinn mit den Großbuchstaben \(A,\, B,\, C,\, D\) gekennzeichnet
- die vier Seiten des Vierecks werden gegen den Uhrzeigersinn mit den Kleinbuchstaben \(a,\, b,\, c,\, d\) gekennzeichnet
- die Diagonale \(e\) verläuft zwischen den Eckpunkten \(A\) und \(C\)
- die Diagonale \(f\) verläuft zwischen den Eckpunkten \(B\) und \(D\)
- Die Winkel werden an den entsprechenden Eckpunkten mit den griechischen Kleinbuchstaben \( \alpha, \, \beta, \, \gamma, \, \text{und} \, \delta\) beschriftet
- Die Summe aller Winkel innerhalb des Vierecks ergibt immer \(360^\circ \)
Genauere Infos zur Winkelsumme im Viereck findest Du im gleichnamigen Artikel.
Abb. 1 - beschriftetes Viereck.
| Zeichen des griechischen Alphabets | Bezeichnung | Eckpunkt |
| \(\alpha\) | Alpha | \(A\) |
| \(\beta\) | Beta | \(B\) |
| \(\gamma\) | Gamma | \(C\) |
| \(\delta\) | Delta | \(D\) |
Vierecke – Arten und Eigenschaften
Vierecke werden anhand ihrer verschiedenen Eigenschaften in allgemeine und besondere Vierecke geteilt. Im Folgenden werden Dir die verschiedenen Vierecke kurz vorgestellt und Dir zeigen, wie Du deren Umfang \(U\) und Flächeninhalt \(A\) berechnen kannst.
Dies ist nicht nur in der Schule von enormer Bedeutung, sondern Du kannst in alltäglichen Situationen diese Formeln immer wieder anwenden – sei es bei der Tapezierung Deines Zimmers oder dem Rasenmähen.
Allgemeine Vierecke – Eigenschaften
Ein allgemeines Viereck hat folgende Merkmale:
| Seiten | vier unterschiedlich lange Seiten |
| Winkel | vier unterschiedlich große Winkel |
| Diagonalen | 2 Diagonalen |
| Symmetrie | keine Symmetrie |
Zusammengefasst bedeutet das also:
Sofern ein Viereck neben den vier Eckpunkten und vier Seiten keinerlei Besonderheiten aufweist, wird es auch als allgemeines Viereck bezeichnet.
Ein allgemeines Viereck kann jedoch noch in drei weitere Kategorien eingeteilt werden:
- Konvexes Viereck
- Konkaves Viereck
- Überschlagenes Viereck
Aber was unterscheidet diese Arten voneinander?
Konvexes Viereck
Als Erstes geht es um das konvexe Viereck.
Als konvexes Viereck werden Vierecke bezeichnet, bei denen sich die Diagonalen \(e\) und \(f\) innerhalb des Vierecks im Schnittpunkt \(S\) schneiden.
Wie Du anhand der folgenden Abbildung sehen kannst, liegt der Schnittpunkt \(S\) der Diagonalen \(e\) und \(f\) innerhalb des Vierecks.
Abb. 2 - konvexes Viereck.
Konkaves Viereck
Das konkave Viereck unterscheidet sich vom konvexen Viereck deutlich. Ganz allgemein kannst Du Dir erst mal folgendes merken.
Im Gegensatz zum konvexen Viereck schneiden sich beim konkaven Viereck die beiden Diagonalen außerhalb des Vierecks. Somit ist einer der vier Eckpunkte nach innen gewölbt.
Verlängerst Du die Diagonale \(f\), die zwischen den Eckpunkten \(B\) und \(D\) verläuft, so schneidet diese die Diagonale \(e\) außerhalb der Vierecksfläche.
Abb. 3 - konkaves Viereck.
Überschlagenes Viereck
Das überschlagene Viereck sieht im Vergleich zu den beiden vorigen Viereckstypen ganz anders aus.
Unter einem überschlagenen Viereck wird eine geometrische Figur bezeichnet, bei der die Reihenfolge der Eckpunkte verändert wird und somit diese nicht mehr nebeneinander liegen. Folglich überkreuzen sich die einzelnen Seiten.
Abb. 4 - überschlagenes Viereck.
verschiedene Vierecke – Flächeninhalt und Umfang
Neben dem allgemeinen Viereck gibt es auch eine Vielzahl von Vierecken, die aufgrund bestimmter Eigenschaften voneinander abgegrenzt werden können.
Das Rechteck
Am geläufigsten ist Dir bestimmt das Rechteck als spezielles Viereck.
Ein Rechteck ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind, und das in allen vier Ecken einen rechten Winkel hat. Die Diagonalen \(e\) und \(f\) sind ebenfalls gleich lang.
Abb. 5 - Rechteck.
Dabei sind die Berechnung des Umfangs und der Fläche von besonderer Bedeutung.
Den Umfang \(U\) eines Rechtecks mit den Seiten \(a\) und \(b\) berechnest Du mit folgender Formel:
\[U = 2 \cdot a + 2 \cdot b\]
Den Flächeninhalt \(A\) eines Rechtecks mit den Seiten \(a\) und \(b\) berechnest Du mit folgender Formel:
\[A = a \cdot b\]
Beispiele und Aufgaben findest Du im Artikel Rechteck.
Das Quadrat
Erinnere Dich an den Spruch „Jedes Quadrat ist ein Viereck, aber nicht jedes Viereck ist ein Quadrat“. Die Aussage ist wahr.
Das liegt daran, dass ein Quadrat die Sonderform eines Vierecks ist. Aber was genau macht ein Quadrat so besonders?
Das Quadrat ist eine geometrische Figur, welche durch folgende Merkmale definiert ist:
- Alle Seiten sind gleich lang.
- Jeder Innenwinkel ist \(90^\circ\) groß
- Ein Quadrat hat zwei Diagonalen \(d\), welche gleich lang sind und einander halbieren.
Da alle Seiten bei einem Quadrat gleich lang sind, schneiden sich die Diagonalen in einem rechten Winkel.
Abb. 6 - Quadrat.
Auch hier kannst Du den Umfang \(U\) und den Flächeninhalt \(A\) berechnen.
Den Umfang \(U\) eines Quadrats mit der Seite \(a\) berechnest Du mit folgender Formel:
\[ U = 4 \cdot a \]
Den Flächeninhalt \(A\) eines Quadrats mit der Seite \(a\) berechnest Du mit folgender Formel:
\[A = a^2\]
Aufgaben und Beispiele findest Du im Artikel Quadrat.
Die Parallelogramm
Ein Parallelogramm ist ein weiteres spezielles Viereck.
Ein Parallelogramm ist eine geometrische Figur mit vier Ecken, dessen gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.
Des Weiteren sind die gegenüberliegenden Winkel immer gleich groß und die Diagonalen treffen sich genau in der Mitte.
Ein Parallelogramm ist darüber hinaus immer punktsymmetrisch.
Abb. 7 - Parallelogramm.
Natürlich kannst Du auch bei einem Parallelogramm den Umfang \(U\) und den Flächeninhalt \(A\) berechnen.
Der Umfang \(U\) eines Parallelogramms mit den Seiten \(a\) und\(b\) wird mit folgender Formel berechnet:
\[U = 2 \cdot a + 2 \cdot b\]
Der Flächeninhalt \(A\) eines Parallelogramms mit den Seiten \(a\) und \(b\) und der Höhe \(h\) wird mit folgender Formel berechnet:
\[A = a \cdot h\]
Beispiele und Aufgaben findest Du im Artikel Parallelogramm.
Die Raute
Die Raute wird auch als Rhombus bezeichnet und ist ebenso ein spezielles Viereck. Dabei sind die Seiten nicht nur parallel, sondern auch gleich lang. Die Winkel der Raute werden durch die Diagonalen halbiert.
Die Raute ist eine geometrische Figur, die durch folgende Eigenschaften definiert ist:
- Alle 4 Seiten sind gleich lang, wobei die gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel zueinander sind.
- Die jeweils gegenüberliegenden Innenwinkel sind gleich groß.
- Die Raute hat zwei Diagonalen, welche einander im Mittelpunkt M der Figur senkrecht halbieren.
Abb. 8 - Raute.
Um den Umfang \(U\) und den Flächeninhalt \(A\) einer Raute berechnen zu können, gibt es auch wieder entsprechende Formeln.
Den Umfang \(U\) einer Raute mit der Seite \(a\) berechnest Du mit folgender Formel:
\[U = 4 \cdot a\]
Den Flächeninhalt \(A\) einer Raute mit den Diagonalen \(e\) und \(f\) berechnest Du mit folgender Formel:
\[A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f \]
Aufgaben und Beispiele findest Du im Artikel Raute.
Das Trapez
Ein Trapez ist ein weiteres spezielles Viereck mit besonderen Eigenschaften.
Ein Trapez ist ein spezielles Viereck, bei dem mindestens zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind.
Die parallelen Seiten heißen bei einem Trapez Grundseiten, wobei die längere Seite davon Basis genannt wird. Die zwei anderen Seiten sind die Schenkel.
Bei einem Trapez bildet die Summe der Winkel auf einer Seite immer \(180\) Grad.
Abb. 9 - Trapez.
Auch bei dem Trapez wirst Du den Umfang \(U\) und den Flächeninhalt \(A\) mithilfe von Formeln berechnen können.
Den Umfang \(U\) eines Trapezes mit den Seiten \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) berechnest Du mit der folgenden Formel:
\[U = a + b + c + d\]
Den Flächeninhalt eines Trapezes mit den Seiten \(a\) und \(c\) und der Höhe \(h\) berechnest Du wie folgt:
\[ A = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (a + c)\]
Beispiele und Aufgaben findest Du im Artikel Trapez.
Das Drachenviereck
Das letzte besondere Viereck ist das Drachenviereck, das, wie der Name schon verrät, die Form eines Flugdrachen hat.
Ein Drachenviereck ist ein Viereck, das folgende drei Eigenschaften erfüllt:
- Je zwei anliegende Seiten sind gleich lang
- Die beiden Diagonalen \(e\) und \(f\) stehen senkrecht aufeinander
- Es ist achsensymmetrisch zu Diagonalen \(e\)
Dadurch, dass die Diagonalen senkrecht zueinander stehen, halbiert der Schnittpunkt der Diagonalen die Diagonale \(f\).
Abb. 10 - Drachenviereck.
Damit Du auch den Umfang \(U\) und den Flächeninhalt \(A\) eines Drachenvierecks berechnen kannst, lernst Du auch hier die passenden Formeln.
Den Umfang \(U\) eines Drachenvierecks mit den Seiten \(a\) und \(b\) berechnest Du wie folgt:
\[U = 2 \cdot a + 2 /cdot b\]
Den Flächeninhalt \(A\) eines Drachenvierecks mit den Diagonalen \(e\) und \(f\) berechnest Du mit folgender Formel:
\[A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f\]
Beispiele und Aufgaben findest Du im Artikel Drachenviereck.
Haus der Vierecke – Eigenschaften
Du hast jetzt die verschiedenen Vierecksarten und ihre Eigenschaften kennengelernt. Um eine Übersicht über die vielen Vierecke zu bekommen, bietet sich das sogenannte Haus der Vierecke an.
Auf der untersten Ebene, dem Erdgeschoss, befindet sich das allgemeine Viereck. Dies hat außer den vier Eckpunkten und vier Seiten keine besonderen Eigenschaften. Je höher Du gehst, desto mehr spezifische Eigenschaften kannst Du an den jeweiligen Vierecksarten entdecken.
Die Kategorien, die zur Einstufung der verschiedenen Vierecke maßgeblich sind, sind vor allem die Winkel- und Seitenbeziehungen und die Symmetrieeigenschaften.
| Stockwerk | Vierecksart | Besonderheiten |
| Erdgeschoss | allgemeines Viereck |
|
| 1. Obergeschoss | allgemeines Trapez |
|
| 2. Obergeschoss | Drachenviereck |
|
| Parallelogramm |
| |
| symmetrisches Trapez |
| |
| 3. Obergeschoss | Raute |
|
| Rechteck |
| |
| Dachgeschoss | Quadrat |
|
Viereck – Das Wichtigste auf einen Blick
- Ein allgemeines Viereck ist eine geometrische Figur, die durch vier Seiten und vier Eckpunkte gebildet wird
- Die Summe aller Winkel innerhalb des Vierecks ergibt immer \(360^\circ \)
- Ein allgemeines Viereck wird jedoch noch in drei weitere Kategorien eingeteilt:
- Konvexes Viereck
- Konkaves Viereck
- Überschlagenes Viereck
Als konvexes Viereck werden Vierecke bezeichnet, bei denen sich die Diagonalen \(e\) und \(f\) innerhalb des Vierecks im Schnittpunkt \(S\) schneiden
Im Gegensatz zum konvexen Viereck schneiden sich beim konkaven Viereck die beiden Diagonalen außerhalb des Vierecks. Somit ist einer der vier Eckpunkte nach innen gewölbt
Unter einem überschlagenen Viereck wird eine geometrische Figur bezeichnet, bei der die Reihenfolge der Eckpunkte verändert wird und somit diese nicht mehr nebeneinander liegen. Folglich überkreuzen sich die einzelnen Seiten
Besondere Vierecke sind:
Rechteck
Quadrat
Parallelogramm
Raute
Trapez
Drachenviereck
Das Haus der Vierecke sind die verschiedenen Vierecke nach ihren unterschiedlichen Eigenschaften und Besonderheiten angeordnet
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Viereck
Wie berechnet man den Umfang?
Der Umfang \(U\) kann für jedes geometrische Objekt anders berechnet werden. Bei einem Viereck mit den Seiten a, b, c und d gilt allgemein die folgende Formel:
U = a + b + c + d
Wie kann man die Diagonale berechnen?
Die Diagonale d einer geometrischen Figur wird, je nach Figur, immer etwas anders berechnet. So wird die Diagonale d in einem Quadrat mit der Seite a beispielsweise mit folgender Formel berechnet:
d = a · √2
Wie rechnet man die Fläche aus?
Die Fläche A wird, je nach Figur, anders berechnet. So lautet die Formel für den Flächeninhalt A eines Quadrats mit der Seitenlänge a beispielsweise:
A = a2
Was ist ein unregelmäßiges Viereck?
Ein unregelmäßiges Viereck ist ein Viereck, welches keine besonderen Seiten-, Winkel oder Symmetriebeziehungen, wie ein Quadrat, eine Raute, ein Parallelogramm usw., hat.
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