Volumen Kegel: Formel, Berechnen & Herleitung

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Volumen Kegel Kegel StudySmarter

Volumen Kegel Grundlagenwissen

Was genau unter Kegeln und dem Volumen von Figuren verstanden wird, wird im folgenden Abschnitt wiederholt.

Das Volumen

Das Volumen von Körpern lässt sich wie folgt definieren:

Das Volumen eines Körpers kannst Du Dir wie die Menge an Wasser oder Luft, die in einen Körper passt, vorstellen. Das Volumen beschreibt also den räumlichen Inhalt einer geometrischen Figur und wird in Formeln mit dem Großbuchstaben V abgekürzt.

Das lässt sich an folgendem Beispiel verdeutlichen: Wenn Du einen Kegel mit Wasser füllst, entspricht diese Menge an Wasser dem Volumen des Kegels. Du könntest das Wasser dann z. B. in einen Messbecher geben und das Volumen ablesen.

Volumen Kegel Messbecher StudySmarter

Die Basiseinheit des Volumens ist eine kubierte Längeneinheit. Sie wird z. B. in Kubikmillimetern (mm³), Kubikzentimetern (cm³), Kubikdezimeter (dm³), Kubikmetern (m³) oder Kubikkilometer (km³) angegeben. Manchmal wird das Volumen auch in Litern (l) oder Millilitern (ml) gemessen.

Zur Wiederholung:

$\begin{array}{rcl} 1 l & = & 1 {dm}^{3} \\ 1 m^{3} & = & 1000 {dm}^{3} \\ 1 {dm}^{3} & = & 1000 {cm}^{3} \\ 1 {cm}^{3} & = & 1000 {mm}^{3} \end{array}$

Um Dich in die Umrechnungsregeln zu vertiefen, lies Dir den Artikel zum Thema Volumeneinheiten durch!

Der Kegel - Definition

Im Folgenden erfährst Du, was den Körper Kegel ausmacht:

Der Kegel ist ein spitz zulaufender, dreidimensionaler Körper mit einem Kreis als Grundfläche. Er setzt sich zusammen aus der Grundfläche G, der Spitze S, der Mantelfläche M, der Mantellinie s und der Höhe h.

Volumen Kegel Kegel StudySmarter Abbildung 1: Kegel

Um Dich in das Thema zu vertiefen, lies Dir den Artikel "Kegel" durch.

Das Volumen eines Kegels

Im folgenden Abschnitt erfährst Du mehr über die Formel zur Berechnung des Volumens V eines Kegels.

Herleitung der Formel

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Kegels basiert auf einer allgemeinen Formel für spitze Körper.

Für alle spitzen Körper, also beispielsweise auch Pyramiden, gilt:

$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$

In einem Kegel ist die Grundfläche ein Kreis. Der Flächeninhalt lässt sich wie folgt berechnen:

$G = A_{○} = π \cdot r^{2}$

Setzt Du diese Formel in die allgemeine Formel von oben ein, erhältst Du die Formel zur Berechnung des Volumens V eines Kegels:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$

Formel zur Berechnung des Volumens eines Kegels

In diesem Abschnitt wird die Formel zur Berechnung des Volumens eines Kegels wiederholt:

Die Formel zur Berechnung des Volumens V eines Kegels lautet:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$

Diese Formel kannst Du nun in der folgenden Beispielaufgabe anwenden.

Aufgabe 1

Berechne das Volumen V eines Kegels mit $h = 5 c m$ und $r = 2 c m$ .

Lösung

Zuerst notierst Du Dir die Formel zur Berechnung des Volumens V eines Kegels:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$

Als Nächstes kannst Du die gegebenen Werte von oben in die Formel einsetzen:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(2 cm)}^{2} \cdot 5 cm$

Zum Schluss rechnest Du jetzt nur noch das Ergebnis mit Deinem Taschenrechner aus:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 4 {cm}^{2} \cdot 5 cm V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 20 {cm}^{3} V = \frac{20}{3} {cm}^{3} \cdot π V \approx 20, 9 c m^{3}$

Das Volumen des Kegels beträgt ungefähr $21 c m^{3}$ .

Kegel Volumen Formel umstellen nach h und r

Sollst Du die Höhe h eines Kegels berechnen und hast das Volumen V gegeben, dann kannst Du die Formel für das Volumen umstellen.

1. Als Erstes notierst Du Dir dafür die Formel zur Berechnung des Volumens V eines Kegels:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$

2. Jetzt kannst Du die gesamte Formel mit 3 multiplizieren, um das $\frac{1}{3}$ zu kürzen:

$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h \cdot 3 \\ 3 \cdot V & = & π \cdot r^{2} \cdot h \end{array}$

3. Danach bringst Du das r² und π auf die andere Seite, sodass nur noch das h auf der einen Seite steht:

$\begin{array}{rcl} 3 \cdot V & = & π \cdot r^{2} \cdot h \div (π \cdot r^{2}) \\ h & = & \frac{3 \cdot V}{π \cdot r^{2}} \end{array}$

So erhältst Du die eine Formel zur Berechnung der Höhe h.

Für die Höhe h eines Kegels gilt:

$h = \frac{3 \cdot V}{π \cdot r^{2}}$

Die gleichen Schritte kannst Du zur Ermittlung des Radius r anwenden.

1. Als Erstes schreibst Du Dir wieder die Formel zur Berechnung des Volumens V eines Kegels auf.

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$

2. Jetzt kannst Du wieder die Formel verdreifachen, um $\frac{1}{3}$ auf die andere Seite zu bringen:

$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h \cdot 3 \\ 3 \cdot V & = & π \cdot r^{2} \cdot h \end{array}$

3. Danach bringst Du π und h auf die andere Seite, sodass r² alleine steht:

$\begin{array}{rcl} 3 \cdot V & = & π \cdot r^{2} \cdot h \div (π \cdot h) \\ r^{2} & = & \frac{3 \cdot V}{π \cdot h} \end{array}$

4. Zum Schluss musst Du noch die Wurzel ziehen:

$\begin{array}{rcl} r^{2} & = & \frac{3 \cdot V}{π \cdot h} \sqrt{} \\ r & = & \sqrt{\frac{3 \cdot V}{π \cdot h}} \end{array}$

Für den Radius r eines Kegels gilt:

$r = \sqrt{\frac{3 \cdot V}{π \cdot h}}$

Volumen besonderer Kegel berechnen

Neben"geraden" Kegel, deren Höhe senkrecht auf der Grundfläche steht, gibt es auch besondere Kegel, wie schiefe Kegel oder Kegelstümpfe. Auch deren Volumen lässt sich berechnen.

Volumen Schiefer Kegel

Ein schiefer Kegel ist ein Kegel, bei dem die Spitze nicht senkrecht auf dem Mittelpunkt der Grundfläche steht, sondern verschoben ist. Dadurch wirkt er schief.

Das Volumen eines schiefen Kegels wird aufgrund des Prinzips von Cavalieri genauso berechnet wie das Volumen eines normalen Kegels. Du musst jedoch darauf achten, dass die Höhe h nicht mehr die Verbindungsstrecke zwischen der Spitze und dem Mittelpunkt der Grundfläche ist. Hier ist die Höhe das Lot, das die Spitze mit der Grundfläche verbindet.

Um mehr über das Prinzip von Cavalieri zu erfahren, lies Dir gerne den Artikel dazu durch!

Um die Höhe eines schiefen Kegels zu ermitteln, musst Du eine senkrechte Linie von der Spitze ziehen. Damit verlängerst Du die Grundfläche. Diese beiden Strecken treffen sich dann an einem Punkt in einem 90° Winkel. Die Länge der Strecke zwischen Spitze und der verlängerten Grundfläche entspricht der Höhe.

Daraus ergibt sich für das Volumen folgende Formel:

Für das Volumen V eines schiefen Kegels gilt:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$

Im Folgenden Beispiel kannst Du diese Formel anwenden.

Aufgabe 2

Berechne das Volumen V eines schiefen Kegels mit $r = 3 c m$ . Zeichne dafür die Höhe in das Koordinatensystem ein und lies diese ab.

Lösung

Zuerst musst Du die Höhe h des schiefen Kegels ermitteln. Dafür zeichnest Du eine senkrechte Linie von der Spitze bis auf die Höhe der Grundfläche. In diesem Fall ist das die x-Achse.

Als Nächstes kannst Du die Länge dieser Höhe messen oder berechnen. Beim Berechnen subtrahierst Du den y-Wert des einen Endes der Linie vom y-Wert des anderen Endes der Linie.

In diesem Fall lauten die Koordinaten vom Schnittpunkt mit der x-Achse:

$S_{1} (8 | 0)$

Und die Koordinaten vom Schnittpunkt mit der Spitze des Kegels:

$S_{2} (8 | 6)$

Die y-Werte sind also:

$y_{1} = 0 u n d y_{2} = 6$

Jetzt musst Du den kleineren vom größeren Wert subtrahieren:

$h = y_{2} - y_{1} h = 6 - 0 h = 6$

Die Höhe des schiefen Kegels beträgt $6 c m$ .

Da sich die Formel für das Volumen eines schiefen Zylinders nicht von der Formel eines geraden Zylinders unterscheidet, kannst Du die Formel von oben aufschreiben;

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$

Setze beide bekannten Werte ein:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(3 c m)}^{2} \cdot 6 c m$

Zum Schluss kannst Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 9 {cm}^{2} \cdot 6 cm V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 54 {cm}^{3} V = \frac{54}{3} {cm}^{3} \cdot π V = 18 {cm}^{3} \cdot π V \approx 56, 5 {cm}^{3}$

Das Volumen des schiefen Kegels beträgt ungefähr $56, 5 c m^{3}$ .

Volumen Kegelstumpf (Abgeschnittener Kegel)

Ein Kegelstumpf ist ein Kegel, bei dem die Spitze abgeschnitten wurde. Er wird deshalb auch manchmal abgeschnittener Kegel oder stumpfer Kegel genannt.

Bei der Berechnung des Volumens V eines Kegelstumpfes spielen der Radius R der Grundfläche und der Radius r der Deckfläche eine Rolle. Der Großbuchstabe R bezeichnet immer den größeren Radius, während der Kleinbuchstabe r immer den kleineren Radius darstellt.

Für das Volumen V eines Kegelstumpfs gilt:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot h \cdot (R^{2} + R \cdot r + r^{2})$

R ist dabei immer der größere Radius, während r der kleinere Radius ist.

Aufgabe

Berechne das Volumen V eines Kegelstumpfes mit $h = 10 c m$ , $r = 4 c m$ und $R = 8 c m$ .

Lösung

Zuerst musst notierst Du Dir die passende Formel. Da es sich in der Aufgabenstellung um einen Kegelstumpf handelt, brauchst Du die Formel zur Berechnung des Volumens V eines Kegelstumpfs:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot h \cdot (R^{2} + R \cdot r + r^{2})$

Als Nächstes setzt Du die gegebenen Werte ein. Achte dabei darauf, dass R dem größeren Radius entspricht:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 10 cm \cdot ({(8 cm)}^{2} + 8 cm \cdot 4 cm + {(4 cm)}^{2})$

Zum Schluss rechnest Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner aus:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 10 cm \cdot (64 {cm}^{2} + 32 {cm}^{2} + 16 {cm}^{2}) V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 10 cm \cdot 118 {cm}^{2} V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 1180 {cm}^{3} V = \frac{1180}{3} {cm}^{3} \cdot π V \approx 1235, 7 {cm}^{3}$

Das Volumen des Kegelstumpfs beträgt ungefähr $1236 c m^{3}$ .

Um mehr über das Thema zu erfahren, lies Dir den Artikel "Kegelstümpfe" durch.

Übungsaufgaben zum Volumen eines Kegels

In den folgenden Aufgaben kannst Du Dein Wissen testen.

Aufgabe 3

1. Berechne das Volumen V eines Hütchens mit $r = 10 c m$ und $h = 20 c m$ . Gib Dein Ergebnis in dm³ an.

Volumen Kegel Hütchen StudySmarter

2. Berechne die Höhe h einer Eiswaffel mit dem Volumen $V = 5 m l$ und $r = 2 c m$ .

Volumen Kegel Eiswaffel StudySmarter

3. Berechne den Radius r eines schiefen Kegels mit der $h = 3 m$ und $V = 20 m^{3}$ .

Lösung

Zu 1.

In diesem Fall sollst Du das Volumen eines normalen Kegels berechnen. Du schreibst Dir also die Formel zur Berechnung des Volumens V eines Kegels auf:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$

Als Nächstes setzt Du die oben gegebenen Werte in die Formel ein:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(10 cm)}^{2} \cdot 20 cm$

Jetzt rechnest Du das Ergebnis mit Deinem Taschenrechner aus:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 100 {cm}^{2} \cdot 20 cm V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 2000 {cm}^{3} V \approx 2094, 4 {cm}^{3}$

Jetzt musst Du das Ergebnis noch in dm³ angeben. Du brauchst also die Umrechnung von cm³ zu dm³:

$1 c m^{3} = 0, 01 d m^{3}$

Jetzt kannst Du mit dem Dreisatz Dein Ergebnis umrechnen.

$\begin{array}{rcl} 1 {cm}^{3} & = & 0, 01 {dm}^{3} \\ 2094, 4 {cm}^{3} & = & 20, 9 {dm}^{3} \end{array}$

Um Dich in das Thema zu vertiefen, lies Dir gerne den Artikel zu "Dreisatz" durch!

Das Volumen des Verkehrshütchens beträgt knapp $21 c m^{3}$ .

Zu 2.

Als Erstes schreibst Du wieder die passende Formel auf. In der Aufgabenstellung sind alle Parameter enthalten, die für die Formel des Kegelvolumens gebraucht werden.

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$

Da jetzt nach der Höhe gefragt ist, musst Du die Formel nach h umstellen:

$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h | \div (\frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2}) \\ h & = & \frac{V}{\frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2}} \\ h & = & \frac{3 \cdot V}{π \cdot r^{2}} \end{array}$

Bevor Du die Werte einsetzten kannst, musst Du das Volumen, das in Millilitern angegeben ist, erst in cm³ umrechnen. 1 ml entspricht 1 cm³.

$\begin{array}{rcl} 1 ml & = & 1 {cm}^{3} \\ 5 ml & = & 5 {cm}^{3} \end{array}$

Jetzt kannst Du die bekannten Werte in die Formel einsetzten:

$h = \frac{3 \cdot 5 {cm}^{3}}{π \cdot {(2 cm)}^{2}}$

Zum Schluss kannst Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen.

$h = \frac{15 c m^{3}}{π \cdot 4 c m^{2}} h \approx 11, 8 c m$

Die Eiswaffel ist knapp $12 c m$ hoch.

Zu 3.

In diesem Fall handelt es sich um einen schiefen Kegel. Notiere die passende Formel:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$

Da nach dem Radius r gefragt ist, kannst Du als Nächstes die Formel nach r umstellen:

$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h | \div (\frac{1}{3} \cdot π \cdot h) \\ r^{2} & = & \frac{V}{\frac{1}{3} \cdot π \cdot h} \\ r^{2} & = & \frac{3 \cdot V}{π \cdot h} | \sqrt{} \\ r & = & \sqrt{\frac{3 V}{π \cdot h}} \end{array}$

Jetzt setzt Du die gegebenen Werte von oben in die Formel ein:

$r = \sqrt{\frac{3 \cdot 20 m^{3}}{π \cdot 3 m}}$

Zum Schluss berechnest Du noch das Ergebnis mit dem Taschenrechner:

$\begin{array}{rcl} r & = & \sqrt{\frac{60 m^{3}}{π \cdot 3 m}} \\ r & \approx & \sqrt{62, 8 m^{2}} \\ r & \approx & 7, 9 m \end{array}$

Der Radius des schiefen Kegels beträgt knapp 8 m.

Volumen Kegel – Das Wichtigste auf einen Blick

Das Volumen V ist der räumliche Inhalt einer geometrischen Figur
Das Volumen wird meistens in Kubikmillimetern (mm³), Kubikzentimetern (cm³), Kubikdezimeter (dm³), Kubikmetern (m³) oder Kubikkilometer (km³) angegeben.
Manchmal wird das Volumen auch in Litern (l) oder Millilitern (ml) angegeben
Ein Kegel besteht aus einer kreisförmigen Grundfläche, einer Spitze S und einer Mantelfläche M.
Die Strecke, die die Grundfläche mit der Spitze verbindet, wird als Mantelstrecke s bezeichnet.
Für alle spitzen Körper gilt: $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
Für das Volumen V eines Kegels gilt: $V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$
Es gibt auch schiefe Kegel oder Kegelstümpfe.
Für das Volumen V schiefer Kegel gilt: $V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$
Für das Volumen V eines Kegelstumpfes gilt: $V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot h \cdot (R^{2} + R \cdot r + r^{2})$

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Volumen Kegel

Wie rechnet man die Höhe eines Kegels aus?

Die Höhe eines Kegels berechnet man durch das Umstellen der Formel für das Volumen eines Kegels:

V = 1/3 · π · r²· h

--> h = (3 · V) / (π · r²)

Wie berechnet man das Volumen von einem Kegel?

Das Volumen V eines Kegels berechnet man mit folgender Formel:

V = 1/3 · π · r^2 · h

r ist der Radius, während h die Höhe des Kegels ist.

Was ist die Grundfläche eines Kegels?

Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis. Die Formel für das Volumen beruht dabei auf dem Flächeninhalt dieses Kreises.

Was ist s bei einem Kegel?

In den meisten Fällen ist s die Mantelstrecke, welche die Kreislinie mit der Spitze verbindet.

Manchmal wird aber auch die Spitze mit S bezeichnet.

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