Volumen Kugel: Formel, Berechnung & Herleitung

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Volumen Kugel, Motivation Beachvolleyball, StudySmarter Abbildung 1: BeachvolleyballQuelle: pixabay.com

Mathematisch betrachtet wird hier nach dem Volumen des Balls gefragt. Um das Volumen des Balls berechnen zu können, musst du wissen, wie man das Volumen einer Kugel berechnet. Und wie das geht, lernst du in diesem Artikel!

Außerdem zeigen wir dir verschiedene Aufgaben, die mit dem Kugelvolumen zusammenhängen.

Volumen Kugel Grundlagen

Bevor wir zum Volumen der Kugel kommen, wiederholen wir zunächst einige wichtige mathematische Grundlagen, die du für das Kugelvolumen und seine Herleitung kennen musst.

Wiederholung: Die Kugel

Die Kugel ist eine der klassischen geometrischen Körper. Wenn du einen Kreis um seinen Durchmesser drehst, erhältst du eine Kugel.

Eine Kugel K sind alle Punkte, die von einem gegebenen Punkt, dem Mittelpunkt M der Kugel, einen Abstand haben, der kleiner oder gleich dem Radius der Kugel ist.

Volumen Kugel, Darstellung Kugel, StudySmarter Abbildung 2: Darstellung einer Kugel

Alle Punkte der Kugeloberfläche haben genau den Abstand r zum Mittelpunkt der Kugel.

Wiederholung: Das Volumen eines Körpers

Klassischerweise wird von geometrischen Körpern das Volumen bestimmt.

Als Volumen eines Körpers bezeichnet man dessen räumlichen Inhalt bzw. dessen Fassungsvermögen.

Das Volumen ist sozusagen das dreidimensionale Pendant zum zweidimensionalen Flächeninhalt einer Figur.

Anschaulich ist das Volumen eines Körpers die Menge an Flüssigkeit, die man in den hohlen Körper schütten kann, ohne dass er überläuft.

Wiederholung: Die Kreiszahl π

Die Kreiszahl π ist eine irrationale Zahl, die für Berechnungen in Kreisen und Kugeln eine wichtige Rolle spielt.

Die Kreiszahl π beschreibt den Zusammenhang des Umfangs eines Kreises mit seinem Durchmesser. Für jeden beliebigen Kreis gilt.

$π = \frac{Umfang}{Durchmesser}$

Die Zahl π lautet ausgeschrieben 3,1415926535… Wegen ihrer unzähligen Nachkommastellen kann man die Zahl nur sehr umständlich genau aufschreiben. Im Schulkontext wird π meist auf 3,14 gerundet.

Bekannte Formeln, in denen π vorkommt, sind die folgenden:

$U_{K r e i s} = d \cdot π = 2 \cdot r \cdot π$
$A_{K r e i s} = r^{2} \cdot π$

Eine weitere wichtige Formel, in der π vorkommt, lernst du in diesem Artikel kennen. In unserem Artikel zur Kreiszahl Pi kannst du noch mehr Informationen über diese spannende Zahl und ihre Geschichte nachlesen.

Wiederholung: Das Prinzip von Cavalieri

Das Prinzip von Cavalieri ist ein wichtiger Satz aus der Geometrie zur Berechnung von Volumina verschiedener Körper.

Prinzip von Cavalieri

Wenn zwei Körper zwei gleich große Grundflächen besitzen und jede Ebene, die zur Ebene der Grundflächen parallel ist, bei beiden Körpern gleich große Schnittflächen erzeugt, dann haben die beiden Körper das gleiche Volumen.

Volumen Kugel, Wiederholung Prinzip von Cavalieri, StudySmarter Abbildung 3: Das Prinzip von Cavalieri

Volumen Kugel Herleitung

Die folgende Herleitung geht auf den berühmten Astronomen und Mathematiker Galileo Galilei zurück. Sie wirkt eventuell auf den ersten Blick ein wenig komplex, ist aber mit Schulwissen und ein wenig Geduld gut verständlich.

Galileo Galilei wurde Mitte des 16. Jahrhunderts in Italien geboren. Bekannt ist er in erster Linie für seine Begründung des heliozentrischen Weltbilds. Ihm sind außerdem zahlreiche Entdeckungen in Physik, Mathematik, Optik und Astronomie zu verdanken.

Seine Idee war es, einen zweiten Körper zu finden, dessen Volumen, dem der Kugel entspricht, weil das sich leichter berechnen lässt.

Seine Gedankenschritte und die daraus resultierende Herleitung des Kugelvolumens sind in der folgenden Tabelle dargestellt:

Schritt	Beschreibung	Veranschaulichung(Abbildungen 4 - 14)
Ziel	Volumen der Kugel mit Radius r bestimmen
Idee	Du nimmst zwei Körper (Halbkugel und ausgebohrter Zylinder). Die Schnittflächen (mit parallelen Ebenen zur Grundfläche) werden verglichen und es wird gezeigt, dass sie für jede Höhe gleich groß sind.Mit dem Prinzip von Cavalieri wird dann gefolgert, dass die beiden Körper das gleiche Volumen haben.Mithilfe des Volumens des ausgebohrten Zylinders wird das Volumen der Halbkugel und damit das Volumen der Kugel berechnet.
Schritt 1: Ausgangsfigur	Betrachte zunächst den Zylinder, dessen Höhe dem Radius r der Kugel entspricht. Aus diesem Zylinder wird nun ein Kegelstumpf mit Höhe r und Radius der Grundfläche r herausgeschnitten, wie du im Bild erkennst.
Schritt 2: Schnittfläche erstellen	Die hellgrün gefärbte Fläche rechts im Bild entsteht, indem man eine parallele Ebene zur Grundfläche des Zylinders mit dem Zylinder ohne Kegelstumpf schneidet.
Schritt 3: Schnittfläche des Kreisrings berechnen	Berechne nun den Flächeninhalt der hellgrün gefärbten Fläche rechts im Bild.Dazu subtrahierst du den Flächeninhalt des Kegelschnitts auf dieser Höhe vom Flächeninhalt der Zylindergrundfläche. $F_{Z y l i n d e r g r u n d f l ä c h e} = r^{2} \cdot π$ $F_{K e g e l s c h n i t t} = h^{2} \cdot π$ (siehe Erklärung) $F_{K r e i s r i n g} = F_{Z y l i n d e r g r u n d f l ä c h e} - F_{K e g e l s c h n i t t} = r^{2} \cdot π - h^{2} \cdot π = (r^{2} - h^{2}) \cdot π$
Erklärung zu Schritt 3	Für jede beliebige Höhe h des Kegelschnitts gilt, dass der zugehörige Schnittkreis den Radius h hat.Betrachte dazu den Kegel von vorne in zweidimensionaler Perspektive. Dadurch, dass Radius und Höhe des Kegels jeweils r betragen, entsteht ein gleichseitiges Dreieck. Auch durch Verkleinerung des Dreiecks bleibt das Verhältnis von Höhe und Radius Schnittkreis bei 1:1.
Schritt 4: Schnittfläche des Kugelschnitts berechnen	Jetzt muss noch der Flächeninhalt des Schnittkreises der Halbkugel berechnet werden. $F_{K u g e l s c h n i t t} = {r_{k}}^{2} \cdot π = (r^{2} - h^{2}) \cdot π$ (siehe Erklärung)
Erklärung zu Schritt 4	Für jede beliebige Höhe h des Kugelschnitts gilt, dass der zugehörige Schnittkreis den Radius $\sqrt{r^{2} - h^{2}}$ hat.Betrachte dazu die Halbkugel von vorne in zweidimensionaler Perspektive.Der Radius der Schnittkugel (hier in orange) kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. ${(r_{k})}^{2} + h^{2} = r^{2} \Rightarrow {(r_{k})}^{2} = r^{2} - h^{2} \Rightarrow r_{k} = \sqrt{r^{2} - h^{2}}$
Schritt 5: Prinzip von Cavalieri	Es gilt: $F_{K r e i s r i n g} = (r^{2} - h^{2}) \cdot π$ $F_{K u g e l s c h n i t t} = (r^{2} - h^{2}) \cdot π$ Die beiden Körper haben damit dieselbe Grundfläche (Zylindergrundfläche) und auf jeder Höhe eine gleich große Schnittfläche $\Rightarrow V_{a u s g e b o h r t e r K r e i s z y l i n d e r} = V_{H a l b k u g e l}$
Schritt 6: Berechnung Volumen ausgebohrter Kreiszylinder	$V_{K r e i s z y l i n d e r} = G \cdot h = r^{2} \cdot π \cdot h = r^{2} \cdot π \cdot r = r^{3} \cdot h$ $V_{K e g e l} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot r^{2} \cdot π \cdot h = \frac{1}{3} \cdot r^{3} \cdot π$ $V_{a u s g e b o h r t e r Z y l i n d e r} = V_{K r e i s z y l i n d e r} - V_{K e g e l} = r^{3} \cdot h - \frac{1}{3} \cdot r^{3} \cdot h = \frac{2}{3} \cdot r^{3} \cdot h$
Schritt 7: Folgerung Kugelvolumen	Mit dem Satz von Cavalieri folgt daraus $V_{H a l b k u g e l} = \frac{2}{3} \cdot r^{3} \cdot π$ Damit folgt für das Kugelvolumendata-custom-editor="chemistry" $V_{K u g e l} = 2 \cdot V_{H a l b k u g e l} = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot r^{3} \cdot π = \frac{4}{3} r^{3} \cdot π$

Diese Tabelle musst du dir eventuell mehrmals durchlesen, bis dir das Prinzip klar wird. Aber es lohnt sich! Außerdem ist es doch auch nicht schlecht, bei einer Formel, die man auswendig lernen muss, zu wissen, wo sie herkommt.

Da jetzt klar ist, wo die Formel herkommt, machen wir uns an die Berechnung des Volumens!

Volumen Kugel Berechnung

Aus der Herleitung oben ergibt sich also die Formel für das Kugelvolumen.

Das Volumen einer Kugel mit Radius r berechnet sich durch:

$V_{K u g e l} = \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π$

Beachte, dass das Kugelvolumen als Volumeneinheit immer eine Einheit hoch drei, also eine kubische Einheit hat. Mögliche Einheiten von Kugelvolumen sind beispielsweise $c m^{3}$ , $d m^{3}$ oder $m^{3}$ . Man spricht die Einheiten Kubikzentimeter, Kubikdezimeter und Kubikmeter. Falls dein Ergebnis eine falsche Einheit hat, solltest du deine Rechnung noch einmal überprüfen.

Aufgabe 1

Eine Kugel hat den Radius $r = 5 c m$ . Berechne das Volumen der Kugel.

Lösung

Die Formel für das Kugelvolumen lautet

$V_{K u g e l} = \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π$

Für die Berechnung wird der Radius r in die Formel eingesetzt

$V_{K u g e l} = \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π = \frac{4}{3} \cdot {(5 cm)}^{3} \cdot π = \frac{4}{3} \cdot 125 {cm}^{3} \cdot π = 524 {cm}^{3}$

In manchen Aufgaben ist statt dem Radius der Kugel ihr Durchmesser angegeben.

Weil in der Formel für das Kugelvolumen der Radius der Kugel vorkommt, muss aus dem Durchmesser der Kugel der Radius berechnet werden. Dies ist ganz einfach, weil der Radius der Kugel ja dem halben Durchmesser der Kugel entspricht.

Volumen Kugel, Zusammenhang Radius Durchmesser, StudySmarter Abbildung 15: Zusammenhang zwischen Durchmesser d und Radius r einer Kugel

Aufgabe 2

Eine gegebene Kugel hat einen Durchmesser von 4 m. Berechne ihr Volumen.

Lösung

Aus dem Kugeldurchmesser von 4 m folgt, dass die Kugel einen Radius von 2 m hat.

Daher berechnet sich das Kugelvolumen durch

$V_{K u g e l} = \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π = \frac{4}{3} \cdot {(2 m)}^{2} \cdot π = \frac{4}{3} \cdot 8 m^{3} \cdot π = 33, 5 m^{3}$

Volumen Kugel – Aufgaben

Über die obigen Standardaufgaben hinaus gibt es noch weitere, wichtige Übungsaufgaben zu dem Thema Volumen einer Kugel.

Berechnung des Radius mithilfe des Volumens

Bei manchen Aufgaben ist bei gegebenem Kugelvolumen nach dem Radius der Kugel gefragt. Dazu muss die Volumenformel passend umgestellt werden:

$V_{K u g e l} = \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π = \frac{4 \cdot π}{3} \cdot r^{3} \Rightarrow r^{3} = V_{Kugel} \cdot \frac{3}{4 \cdot π} = \frac{3 \cdot V_{Kugel}}{4 \cdot π} \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot V_{K u g e l}}{4 \cdot π}}$

Um einen Bruch auf die andere Seite einer Gleichung zu bringen, multiplizierst du die gesamte Gleichung mit dem Kehrbruch.In der obigen Gleichung wird mit dem Kehrbruch von $\frac{4 \cdot π}{3}$ , also mit $\frac{3}{4 \cdot π}$ , multipliziert.

Mit Variablen sieht eine Rechnung oft komplizierter aus als sie ist, deswegen auch hierzu ein kurzes Beispiel.

Aufgabe 3

Von einer Kugel ist bekannt, dass ihr Volumen $4, 2 m^{3}$ beträgt. Welchen Radius hat die Kugel?

Lösung

Für diese Rechnung muss die Volumenformel entsprechend nach dem Radius umgestellt werden.

Nun kann in diese Formel, das gegebene Volumen eingesetzt werden.

$r = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot V_{K u g e l}}{4 \cdot π}} = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 4, 2 m^{3}}{4 \cdot π}} = \sqrt[3]{\frac{12, 6 m^{3}}{4 \cdot π}} = 1, 0 m$

Der Radius der Kugel mit dem Volumen von 4,2 $m^{3}$ beträgt damit 1 m.

Berechnung von flüssigem Volumen

Manchmal wird Volumen auch in l oder ml angegeben. Hier siehst du eine hilfreiche Tabelle zur Orientierung und zur Umrechnung von klassischen Volumeneinheiten in Milliliter und Liter.

Volumen (in $m^{3}$ etc.)	Volumen (in l etc.)
1 $d m^{3}$	1 l
1 $c m^{3}$	1 ml

Mit diesem neuen Wissen kehren wir jetzt zurück zur Einstiegsfrage mit dem Volleyball.

Aufgabe 4

Ein klassischer Beachvolleyball hat einen Durchmesser von 20 cm. Wie viel Luft passt in einen Volleyball? Gib das Volumen in Litern oder Millilitern an.

Volumen Kugel, Beachvolleyball, StudySmarter Abbildung 16: BeachvolleyballQuelle: pixabay.com

Lösung

Da nur der Durchmesser des Volleyballs angegeben ist, muss zunächst der Radius bestimmt werden.

$r = \frac{d}{2} = \frac{20 c m}{2} = 10 c m$

Anschließend kann mit der klassischen Formel das Volumen des Volleyballs berechnet werden.

$V_{V o l l e y b a l l} = \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π = \frac{4}{3} \cdot {(10 cm)}^{3} \cdot π = \frac{4}{3} \cdot 1000 {cm}^{3} \cdot π = 4188, 8 {cm}^{3} = 4, 2 d m^{3}$

Wie der obigen Tabelle entnommen werden kann, entspricht $1 d m^{3}$ einem Liter. Daher kann das Volumen des Volleyballs alternativ mit 4,2 l angegeben werden.

Rechnungen mit der Dichte

Im Zusammenhang mit dem Volumen von Körpern wird auch oft von der Dichte gesprochen.

Die physikalische Dichte beschreibt den Zusammenhang von Volumen und Gewicht eines Körpers. Je höher die Dichte, desto schwerer ist ein Körper pro Volumeneinheit.

Die Dichte $ρ$ eines Objektes mit Masse m und Volumen V berechnet sich durch:

$ρ = \frac{m}{V}$

Die Aufgaben zur Dichte sind nicht sonderlich kompliziert. Meistens muss zunächst das Volumen eines Körpers berechnet werden. Mithilfe der angegebenen Dichte des Körpers wird anschließend sein Gewicht berechnet.

Für die Berechnung der Masse bei gegebenem Volumen und Dichte muss die Formel entsprechend umgestellt werden.

$ρ = \frac{m}{V} \Rightarrow m = ρ \cdot V$

Aufgabe 5

Für eine Kugel soll überprüft werden, ob sie tatsächlich aus Silber ist. Sie hat einen Radius von 1 cm. Von Silber weiß man, dass es eine Dichte von $10, 49 \frac{g}{c m^{3}}$ hat. Wie schwer müsste die Kugel sein, wenn sie aus echtem Silber ist?

Volumen Kugel Kugel aus Silber StudySmarter Abbildung 17: Kugel aus SilberQuelle: pixabay.com

Lösung

Zunächst berechnest du wie üblich das Volumen der Kugel.

$V_{K u g e l} = \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π = \frac{4}{3} \cdot {(1 cm)}^{3} \cdot π = \frac{4}{3} {cm}^{3} \cdot π = 4, 2 {cm}^{3}$

Für die Berechnung der Masse wird nun die Formel der Dichte benötigt, die du noch passend nach der Masse umstellen musst.

$ρ = \frac{m}{V} \Rightarrow m = ρ \cdot V$

Einsetzen der gegebenen Werte liefert nun:

$m = ρ \cdot V = 10, 49 \frac{g}{c m^{3}} \cdot 4, 2 c m^{3} = 44, 1 g$

Wenn die Kugel aus Silber ist, müsste sie also 44,1 g wiegen.

Veränderung des Kugelradius

Viele klassische Übungsaufgaben beinhalten die Fragestellung, wie sich eine Änderung des Radius der Kugel auf das Volumen der Kugel auswirkt.

Aufgabe 6

Eine Kugel hat den Radius $r = 1 m$ . Nun wird der Radius der Kugel verdoppelt. Wie verändert sich daraufhin das Volumen der Kugel?

Lösung

Berechne zunächst das Volumen der ursprünglichen Kugel.

$V_{1 . K u g e l} = \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π = \frac{4}{3} \cdot {(1 m)}^{3} \cdot π = \frac{4}{3} \cdot π m^{3}$

Durch die Verdoppelung des Kugelradius hat die zweite Kugel einen Radius von 2 m. Berechne nun das Volumen der zweiten Kugel.

$V_{2 . K u g e l} = \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π = \frac{4}{3} \cdot {(2 m)}^{3} \cdot π = \frac{4}{3} \cdot 8 m^{3} \cdot π = 8 \cdot \frac{4}{3} \cdot π m^{3}$

Gerade bei Aufgaben dieser Art, aber generell im Zusammenhang mit der Kreiszahl π, ist es sinnvoll, das π zunächst stehenzulassen und nicht direkt mit 3,14 etc. zu ersetzen. Hier kürzt sich das π durch die anschließende Division weg. Wird vorher gerundet, wird das Ergebnis weniger genau und es können Rundungsfehler entstehen.

Um die Veränderung des Volumens zu berechnen, müssen die beiden Volumen dividiert werden.

$\frac{V_{2 . K u g e l}}{V_{1 . K u g e l}} = \frac{8 \cdot \frac{4}{3} \cdot π m^{3}}{\frac{4}{3} \cdot π m^{3}} = 8$

Dies bedeutet, dass sich durch die Verdoppelung des Radius das Volumen der Kugel verachtfacht hat.

Die Aufgabe 6 gibt es auch in einer allgemeineren Form. Die Rechnung wird dadurch ein wenig komplexer, aber die Aufgabe ist super für das tiefe Verständnis des Themas!

Aufgabe 7

Wie wirkt sich eine Ver-x-fachung des Kugelradius auf das Volumen der Kugel aus?

Lösung

Wie in Aufgabe 4 wird zunächst das Volumen der ersten Kugel (Kugel mit Radius r) berechnet. Da der Radius nicht gegeben ist, wird er variabel mit r bezeichnet.

$V_{K u g e l m i t R a d i u s r} = \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π$

Nun wird der Radius der Kugel ver-x-facht. Mathematisch ausgedrückt bedeutet das, dass der Radius der zweiten Kugel $x \cdot r$ beträgt.

Das Kugelvolumen berechnet sich entsprechend durch:

$V_{K u g e l m i t v e r - x - f a c h t e m R a d i u s} = \frac{4}{3} \cdot {(x \cdot r)}^{3} \cdot π = \frac{4}{3} \cdot x^{3} \cdot r^{3} \cdot π$

Um die Veränderung des Volumens zu berechnen, wird wieder dividiert:

$\frac{V_{K u g e l m i t v e r - x - f a c h t e m R a d i u s}}{V_{K u g e l m i t R a d i u s r}} = \frac{\frac{4}{3} \cdot x^{3} \cdot r^{3} \cdot π}{\frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π} = x^{3}$

Dies zeigt, dass eine Ver-x-fachung des Radius dazu führt, dass sich das Volumen der Kugel ver- $x^{3}$ -facht.

Volumen Kugel - Das Wichtigste

Eine Kugel ist das dreidimensionale Pendant zum Kreis
Das Volumen einer Kugel berechnet sich durch $V_{K u g e l} = \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π$
Die Einheit des Kugelvolumens ist immer in der Form: $L ä n g e n e i n h e i t^{3}$
Über ein gegebenes Kugelvolumen kann durch Umstellen der Formel auch der Radius der Kugel berechnet werden
Eine Ver-x-fachung des Radius ergibt eine Ver- $x^{3}$ -fachung des Kugelvolumens

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Volumen Kugel

Wie berechnet man das Volumen einer Kugel?

Das Volumen einer Kugel berechnet man, indem man die entsprechende Formel verwendet. Dabei wird der Radius der Kugel hoch drei genommen und anschließend mit 4/3 und der Kreiszahl π multipliziert.

Wie kommt man vom Volumen einer Kugel auf den Radius?

Um vom Volumen einer Kugel auf den Radius zu kommen, muss die Formel für das Kugelvolumen entsprechend umgestellt werden. Dabei wird zunächst auf beiden Seiten der Gleichung mit dem Kehrbruch multipliziert und dann die dritte Wurzel gezogen.

Wie berechnet man das Volumen einer halben Kugel?

Das Volumen einer halben Kugel berechnet man, indem man zunächst das Volumen der Kugel berechnet und anschließend halbiert. Dies funktioniert, weil das Volumen der halben Kugel genau dem halben Volumen der ganzen Kugel entspricht.Alternativ kann auch direkt der Radius der Kugel hoch drei genommen und mit 2/3 und der Kreiszahl π multipliziert werden.

Wie verändert sich das Volumen einer Kugel, wenn man den Radius halbiert?

Wenn man den Radius einer Kugel halbiert, muss statt dem ursprünglichen Radius der halbierte Radius in die Formel eingesetzt werden. Eine kurze Rechnung ergibt, dass durch die Halbierung des Radius das Volumen einer Kugel nur noch 1/8 des ursprünglichen Volumens beträgt. Die 1/8 ergibt sich dabei dadurch, dass 1/2 hoch drei genommen wird.

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