Volumen Prisma: Übersicht, Formel & Berechnen

Q: Wie berechnet man das Volumen eines Prismas?

Das Volumen eines Prismas wird berechnet, indem die Grundfläche G mit der Höhe h multipliziert wird. Die Grundfläche G kann bei einem Prisma sehr unterschiedliche Formen annehmen wie zum Beispiel Dreieck , Trapez , Quadrat oder Rechteck . Mit der Höhe h eines Prismas wird der Abstand der beiden Ebenen bezeichnet, in denen die Grund- und die Deckfläche liegen.

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Wiederholung – Prisma

Ein Prisma entsteht, wenn ein n-Eck entlang einer geraden Linie verschoben wird.

Volumen Prisma Grundbegriffe am Prisma StudySmarter Abbildung 1: Grundbegriffe am Prisma

Die Fläche, auf der das Prisma steht, wird Grundfläche genannt. Die Fläche, die das Prisma nach oben hin begrenzt, heißt Deckfläche. Unter dem Mantel eines Prismas versteht man die n Seitenflächen.

Manchmal werden Prismen auch so abgebildet, dass sie nicht auf ihrer Grundfläche stehen, sondern auf einer ihrer Seitenflächen.

Die Seiten der Grundfläche und der Deckfläche werden Grundkanten genannt. Die Strecken, die jeweils zwei zusammen gehörige Eckpunkte von Grund- und Deckfläche verbinden, werden Mantellinien genannt. Alle Mantellinien sind gleich lang und parallel zueinander.

Ein Prisma ist ein geometrischer Körper, der sich aus einer Grundfläche, einer Deckfläche und einem Mantel zusammensetzt.

Die Grundfläche und die Deckfläche bestehen aus Vielecken, die kongruent und parallel zueinander sind.
Der Mantel besteht aus Parallelogrammen.

Formel zur Volumenberechnung eines Prismas

Diese allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens eines Prismas gilt für gerade, schiefe, regelmäßige und nicht regelmäßige Prismen.

Das Volumen eines Prismas wird berechnet, indem die Grundfläche G mit der Höhe h multipliziert wird:

$V_{P r i s m a} = G \cdot h$ .

Die Grundfläche G kann bei einem Prisma unterschiedliche Formen annehmen, wie zum Beispiel Dreieck, Trapez, Quadrat oder Rechteck. Deswegen musst Du immer darauf achten, die richtige Grundflächenformel einzusetzen.

Mit der Höhe h eines Prismas wird der Abstand zwischen Grund- und die Deckfläche bezeichnet.

Volumen Prisma Höhe eines Prismas StudySmarter Abbildung 2: Höhe eines geraden und eines schiefen Prismas

Dies trifft auf gerade Prismen zu (links in Abbildung 2). Die Höhe h entspricht gleichzeitig der Mantellänge.

Bei einem schiefen Prisma (rechts in Abbildung 2) hingegen entspricht die Höhe des Prismas dem Abstand der Deckfläche zur Ebene der Grundfläche.

Die beiden Prismen in Abbildung 2 haben das gleiche Volumen. Dies kann mit dem Prinzip von Cavalieri begründet werden.

Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper mit gleicher Höhe das gleiche Volumen haben, wenn jede zur Grundebene parallel verlaufende Ebene beide Körper in gleich großen Flächen schneidet.

Das Volumen von zwei Prismen ist also gleich, wenn ihre Grundflächen gleich groß sind und wenn sie gleich hoch sind.

Beispielaufgaben zur Volumenberechnung eines Prismas

In diesem Abschnitt findest Du verschiedene Beispielaufgaben, in denen das Volumen unterschiedlicher Prismen berechnet wird.

Volumen eines dreiseitigen Prismas

Im ersten Beispiel wird das Volumen eines Prismas berechnet, das ein Dreieck als Grundfläche hat.

Aufgabe

Gegeben ist ein gerades Prisma mit dem Dreieck ABC als Grundfläche und der Höhe $h = 7 c m$ . Das Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen $a = 3 c m$ , $b = 4 c m$ und $c = 5 c m$ .

Volumen Prisma Aufgabe StudySmarter Abbildung 3: Volumen eines dreiseitigen Prismas berechnen

Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung

Um das Volumen zu berechnen, muss die Grundfläche mit der Höhe multipliziert werden. In diesem Fall ist die Grundfläche das rechtwinklige Dreieck ABC.

Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks ist:

$\begin{array}{rcl} A_{D r e i e c k} & = & (\frac{1}{2} \cdot a \cdot b) \\ = & (\frac{1}{2} \cdot 3 c m \cdot 4 c m) \\ = & 6 c m^{2} \end{array}$

Bei einem nicht rechtwinkligen Dreieck musst Du die Formel $A_{D r e i e c k} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ verwenden.

Damit ergibt sich das Volumen des Prismas:

$\begin{array}{rcl} V_{P r i s m a} & = & G \cdot h \\ = & A_{D r e i e c k} \cdot h \\ = & 6 c m^{2} \cdot 7 c m \\ = & 42 c m^{3} \end{array}$

Das Volumen des Prismas beträgt 42 cm³.

Volumen eines vierseitigen Prismas

Vierseitige Prismen können zum Beispiel ein Parallelogramm, ein Rechteck oder ein Quadrat als Grundfläche haben. Im nächsten Beispiel hat das Prisma ein Parallelogramm als Grundfläche.

Aufgabe

Gegeben ist ein schiefes Prisma mit dem Parallelogramm ABCD als Grundfläche und der Höhe $h = 6 c m$ . Alle weiteren Daten, die Du brauchst, kannst Du aus der Zeichnung ablesen. Ein Kästchen steht jeweils für einen Zentimeter.

Volumen Prisma Übung StudySmarter Abbildung 4: Volumen eines vierseitigen Prismas mit einem Parallelogramm als Grundfläche

Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung

Um das Volumen zu berechnen, muss die Grundfläche mit der Höhe multipliziert werden. In diesem Fall ist die Grundfläche ein Parallelogramm.

Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist:

$\begin{array}{rcl} A_{P a r a l l e \log r a m m} & = & g \cdot h_{P a r a l l e \log r a m m} \\ = & 4 c m \cdot 3 c m \\ = & 12 c m^{2} \end{array}$

Damit ergibt sich das Volumen des Prismas:

$\begin{array}{rcl} V_{P r i s m a} & = & G \cdot h \\ = & A_{P a r a l l e \log r a m m} \cdot h \\ = & 12 c m^{2} \cdot 6 c m \\ = & 72 c m^{3} \end{array}$

Das Volumen des Prismas beträgt 72 cm³.

In der nächsten Aufgabe wird das Volumen eines Prismas berechnet, dessen Grundfläche ein Rechteck ist.

Aufgabe

Gegeben ist ein gerades Prisma, dessen Grundfläche ein Rechteck ist. Die Höhe des Prismas beträgt $h = 8 c m$ .

Die Seitenlängen des Rechtecks sind $a = 4 c m$ und $b = 3 c m$ .

Volumen Prisma Volumen berechnen StudySmarter Abbildung 5: Volumen eines vierseitigen Prismas mit einem Rechteck als Grundfläche

Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung

Um das Volumen zu berechnen, muss die Grundfläche mit der Höhe multipliziert werden. In diesem Fall ist die Grundfläche ein Rechteck.

Dies ist ein Sonderfall, da es sich bei diesem Prisma um einen Quader handelt. Das Volumen dieses Prismas kann daher auch mit der Volumenformel des Quaders berechnet werden:

$V_{Q u a d e r} = a \cdot b \cdot c$ .

In diesem Fall wird die Seitenlänge c des Quaders als Höhe h des Prismas bezeichnet. Damit ergibt sich Folgendes für das Volumen des Prismas:

$V_{P r i s m a} = V_{Q u a d e r} = a \cdot b \cdot h = 4 c m \cdot 3 c m \cdot 8 c m = 96 c m^{3}$

Das Volumen des Prismas beträgt 96 cm³.

Das nächste vierseitige Prisma hat ein Quadrat als Grundfläche.

Aufgabe

Gegeben ist ein quadratisches Prisma. Die Seitenlänge des Quadrats ist $a = 3 c m$ . Die Höhe des Prismas ist $h = 6 c m$ .

Volumen Prisma quadratisches Prisma berechnen StudySmarter Abbildung 6: Volumen eines vierseitigen Prismas mit Quadrat als Grundfläche berechnen

Berechne das Volumen des quadratischen Prismas.

Lösung

Um das Volumen zu berechnen, muss die Grundfläche mit der Höhe multipliziert werden. In diesem Fall ist die Grundfläche ein Quadrat.

Auch hier handelt es sich wieder um einen Spezialfall, da es sich bei diesem Prisma um einen Quader handelt. Das Volumen dieses speziellen Prismas kann also auch mit der Volumenformel des Quaders berechnet werden.

Für das Volumen des Prismas ergibt sich Folgendes:

$V_{Q u a d e r} = V_{P r i s m a} = a \cdot a \cdot h = 3 c m \cdot 3 c m \cdot 6 c m = 54 c m^{3}$

Das Volumen des Prismas beträgt 54 cm³.

Ein weiterer Spezialfall wäre es, wenn die Höhe eines quadratischen Prismas den Seitenlängen des Quadrats entspricht $a = h_{P r i s m a}$ .

Dann ist das Prisma ein Würfel:

Volumen Prisma Spezielfall Würfel StudySmarter Abbildung 7: Würfel als Spezialfall des Prismas

Volumen eines sechsseitigen Prismas (Sechseck)

Im letzten Beispiel wird ein sechsseitiges reguläres Prisma betrachtet.

Ein reguläres Prisma ist ein gerades Prisma, das ein regelmäßiges Vieleck als Grundfläche hat.

Ein regelmäßiges Vieleck ist ein Vieleck, bei dem alle Seitenlängen gleich lang sind und alle Innenwinkel gleich groß.

Aufgabe

Gegeben ist ein sechsseitiges reguläres Prisma. Die Seitenlänge des regelmäßigen Sechsecks beträgt $a = 2 c m$ . Die Höhe des Prismas ist $h = 10 c m$ .

Volumen Prisma Sechseck Volumen StudySmarter Abbildung 8: Volumen eines sechseckigen Prismas

Berechne das Volumen des sechseckigen Prismas.

Lösung

Um das Volumen zu berechnen, muss die Grundfläche mit der Höhe multipliziert werden. In diesem Fall ist die Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck.

Der Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks berechnet sich durch:

$\begin{array}{rcl} A_{S e c h s e c k} & = & \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot a^{2} \\ = & \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot {(2 c m)}^{2} = 6 \sqrt{3} \approx 10, 4 c m^{2} \end{array}$

Daraus ergibt sich das Volumen des Prismas:

$\begin{array}{rcl} V_{P r i s m a} & = & G \cdot h \\ = & A_{S e c h s e c k} \cdot h \\ = & 10, 4 c m^{2} \cdot 10 c m \\ = & 104 c m^{3} \end{array}$

Das Volumen des Prismas beträgt ca. 104 cm³.

Volumen von Prismen — Das Wichtigste

Definition eines Prismas: Ein Prisma ist ein geometrischer Körper, der sich aus einer Grundfläche, einer Deckfläche und einem Mantel zusammensetzt.
- Die Grundfläche und die Deckfläche bestehen aus Vielecken, die kongruent und parallel zueinander sind.
- Der Mantel besteht aus Parallelogrammen.
Formel für die Volumenberechnung: VPrisma=G·h
- Die Grundfläche G kann bei einem Prisma sehr unterschiedliche Formen annehmen, wie zum Beispiel Dreieck, Trapez, Quadrat oder Rechteck.
- Mit der Höhe h eines Prismas wird der Abstand der beiden Ebenen bezeichnet, in denen die Grund- und die Deckfläche liegen.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Volumen Prisma

Wie berechnet man das Volumen eines dreiseitigen Prismas?

Das Volumen eines dreiseitigen Prismas wird berechnet, indem man die Fläche des Dreiecks mit der Höhe des Prismas multipliziert.

Wie berechnet man das Volumen eines trapezförmigen Prismas?

Das Volumen eines trapezförmigen Prismas wird berechnet, indem die Fläche des Trapezes mit der Höhe des Prismas multipliziert wird.

Wie berechnet man das Volumen eines Prismas?

Das Volumen eines Prismas wird berechnet, indem die Grundfläche G mit der Höhe h multipliziert wird. Die Grundfläche G kann bei einem Prisma sehr unterschiedliche Formen annehmen wie zum Beispiel Dreieck, Trapez, Quadrat oder Rechteck. Mit der Höhe h eines Prismas wird der Abstand der beiden Ebenen bezeichnet, in denen die Grund- und die Deckfläche liegen.

Wie berechne ich die Grundfläche eines Prismas?

Die Grundfläche eines Prismas berechnest du, indem du die zur Form der Grundfläche passende Flächenformel verwendest. Die Grundfläche kann bei einem Prisma sehr unterschiedliche Formen annehmen wie zum Beispiel Dreieck, Trapez, Quadrat oder Rechteck. Deswegen musst du immer darauf achten, dass du die richtige Grundflächenformel einsetzt.

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