Volumen Prisma

Aufgabe

Gegeben ist ein gerades Prisma mit dem Dreieck ABC als Grundfläche und der Höhe $h=7cm$. Das Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen $a=3cm$, $b=4cm$und $c=5cm$.

Abbildung 3: Volumen eines dreiseitigen Prismas berechnen

Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung

Um das Volumen zu berechnen, muss die Grundfläche mit der Höhe multipliziert werden. In diesem Fall ist die Grundfläche das rechtwinklige Dreieck ABC.

Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks ist:

$\begin{array}{rcl}{A}_{Dreieck}& =& (\frac{1}{2}·a·b)\\ & =& (\frac{1}{2}·3cm·4cm)\\ & =& 6c{m}^2\end{array}$

Damit ergibt sich das Volumen des Prismas:

$\begin{array}{rcl}{V}_{Prisma}& =& G·h\\ & =& A_{Dreieck}·h\\ & =& 6c{m}^2·7cm\\ & =& 42c{m}^3\end{array}$

Das Volumen des Prismas beträgt 42 cm³.

Aufgabe

Gegeben ist ein schiefes Prisma mit dem Parallelogramm ABCD als Grundfläche und der Höhe $h=6cm$. Alle weiteren Daten, die Du brauchst, kannst Du aus der Zeichnung ablesen. Ein Kästchen steht jeweils für einen Zentimeter.

Abbildung 4: Volumen eines vierseitigen Prismas mit einem Parallelogramm als Grundfläche

Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung

Um das Volumen zu berechnen, muss die Grundfläche mit der Höhe multipliziert werden. In diesem Fall ist die Grundfläche ein Parallelogramm.

Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist:

$\begin{array}{rcl}{A}_{Paralle\log ramm}& =& g·h_{Paralle\log ramm}\\ & =& 4cm·3cm\\ & =& 12c{m}^2\end{array}$

Damit ergibt sich das Volumen des Prismas:

$\begin{array}{rcl}{V}_{Prisma}& =& G·h\\ & =& A_{Paralle\log ramm}·h\\ & =& 12c{m}^2·6cm\\ & =& 72c{m}^3\end{array}$

Das Volumen des Prismas beträgt 72 cm³.

Aufgabe

Gegeben ist ein gerades Prisma, dessen Grundfläche ein Rechteck ist. Die Höhe des Prismas beträgt $h=8cm$.

Die Seitenlängen des Rechtecks sind $a=4cm$ und $b=3cm$.

Abbildung 5: Volumen eines vierseitigen Prismas mit einem Rechteck als Grundfläche

Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung

Um das Volumen zu berechnen, muss die Grundfläche mit der Höhe multipliziert werden. In diesem Fall ist die Grundfläche ein Rechteck.

Dies ist ein Sonderfall, da es sich bei diesem Prisma um einen Quader handelt. Das Volumen dieses Prismas kann daher auch mit der Volumenformel des Quaders berechnet werden:

$V_{Quader}=a·b·c$.

In diesem Fall wird die Seitenlänge c des Quaders als Höhe h des Prismas bezeichnet. Damit ergibt sich Folgendes für das Volumen des Prismas:

$V_{Prisma}=V_{Quader}=a·b·h=4cm·3cm·8cm=96c{m}^3$

Das Volumen des Prismas beträgt 96 cm³.

Aufgabe

Gegeben ist ein quadratisches Prisma. Die Seitenlänge des Quadrats ist $a=3cm$. Die Höhe des Prismas ist $h=6cm$.

Abbildung 6: Volumen eines vierseitigen Prismas mit Quadrat als Grundfläche berechnen

Berechne das Volumen des quadratischen Prismas.

Lösung

Um das Volumen zu berechnen, muss die Grundfläche mit der Höhe multipliziert werden. In diesem Fall ist die Grundfläche ein Quadrat.

Auch hier handelt es sich wieder um einen Spezialfall, da es sich bei diesem Prisma um einen Quader handelt. Das Volumen dieses speziellen Prismas kann also auch mit der Volumenformel des Quaders berechnet werden.

Für das Volumen des Prismas ergibt sich Folgendes:

$V_{Quader}=V_{Prisma}=a·a·h=3cm·3cm·6cm=54c{m}^3$

Das Volumen des Prismas beträgt 54 cm³.

Aufgabe

Gegeben ist ein sechsseitiges reguläres Prisma. Die Seitenlänge des regelmäßigen Sechsecks beträgt $a=2cm$. Die Höhe des Prismas ist $h=10cm$.

Abbildung 8: Volumen eines sechseckigen Prismas

Berechne das Volumen des sechseckigen Prismas.

Lösung

Um das Volumen zu berechnen, muss die Grundfläche mit der Höhe multipliziert werden. In diesem Fall ist die Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck.

Der Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks berechnet sich durch:

$\begin{array}{rcl}{A}_{Sechseck}& =& \frac{3·\sqrt{3}}{2}·a^2\\ & =& \frac{3·\sqrt{3}}{2}·{(2cm)}^2=6\sqrt{3}\approx 10,4c{m}^2\end{array}$

Daraus ergibt sich das Volumen des Prismas:

$\begin{array}{rcl}{V}_{Prisma}& =& G·h\\ & =& A_{Sechseck}·h\\ & =& 10,4c{m}^2·10cm\\ & =& 104c{m}^3\end{array}$

Das Volumen des Prismas beträgt ca. 104 cm³.