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Abb. 1 - Beispiel eines Spates.
Definition eines Spates
Ein Spat ist ein geometrischer Körper, dessen Grundfläche ein Parallelogramm ist. Genauso sind auch alle andere Seiten des Spates Parallelogramme, weswegen der Spat als Körper schräg ist. Aufgrund dessen sind auch gegenüberliegende Seiten zueinander parallele Ebenen. Außerdem ist ein Spat ein spezieller Fall des Prismas.
Volumen Spat – Formel
Das Volumen eines Spates kannst Du mit zwei Möglichkeiten berechnen. Entweder berechnest Du es mit dem Spatprodukt oder mit der Determinante einer 3x3-Matrix.
Volumen Spat – Spatprodukt
Die erste Option, mit der Du das Volumen eines Spates berechnen kannst, ist das Spatprodukt.
Die Formel des Spatprodukts lautet:
\[\left| \left( \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) \right) \circ \left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ c_3\end{array} \right) \right| \]
Bei diesem Spatprodukt berechnest Du erst das Kreuzprodukt der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\). Anschließend führst Du mit dem Ergebnis des Kreuzproduktes und dem Vektor \(\vec{c}\) das Skalarprodukt aus. Für den Fall, dass Du dabei ein negatives Ergebnis bekommst, schreibst Du Betragsstriche um die gesamte Formel, sodass Dein Ergebnis immer positiv ist.
Wenn das Spatprodukt 0 ist, heißt das, dass die Vektoren linear abhängig voneinander sind.
Wiederholung: Kreuzprodukt
Du hast die Vektoren \(\vec{a} = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 5 \\ 0\end{array} \right)\) und \(\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ 3\end{array} \right)\) gegeben. Berechne nun das Kreuzprodukt der beiden Vektoren.
\[\left( \begin{array}{c} -3\\5\\0\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c}4\\-2\\3\end{array}\right)\]
Als Erstes nimmst Du die zwei oberen Zahlen der jeweiligen Vektoren und schreibst sie unter diese. Anschließend streichst Du die erste Zeile durch.
\begin{align}\left(\begin{array}{c} \cancel{-3}\\5\\0\\-3\\5\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} \cancel4\\-2\\3\\4\\-2\end{array}\right)\end{align}
Als nächsten Schritt multiplizierst Du die oberste nicht durchgestrichene Zahl des linken Vektors mit der schräg darunter liegenden Zahl des rechten Vektors. Von diesem Produkt ziehst Du das Produkt der zweiten Zahl des linken Vektors mal die erste Zahl des rechten Vektors ab. Dieses Schema zieht sich durch den ganzen Vektor.
Die erste Zeile sieht wie folgt aus:
\[\left(\begin{array}{c} \cancel{-3}\\{\color{#1478c8}5}\\{\color{#fa3273}0}\\-3\\5\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} \cancel4\\{\color{#fa3273}-2}\\{\color{#1478c8}3}\\4\\-2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}{\color{#1478c8}5}\cdot{\color{#1478c8}3} - {\color{#fa3273}0}\cdot({\color{#fa3273}-2})\end{array}\right)\]
Wie erwähnt, zieht sich das Schema durch beide Vektoren durch.
\[\left(\begin{array}{c} \cancel{-3}\\5\\{\color{#1478c8}0}\\{\color{#fa3273}-3}\\5\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} \cancel4\\-2\\{\color{#fa3273}3}\\{\color{#1478c8}4}\\-2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}5\cdot3 - 0\cdot(-2) \\ {\color{#1478c8}0}\cdot{\color{#1478c8}4} - ({\color{#fa3273}-3})\cdot{\color{#fa3273}3}\end{array}\right)\]
Als Ergebnis des Kreuzproduktes erhältst Du einen neuen Vektor.
\[\left(\begin{array}{c} \cancel{-3}\\5\\0\\{\color{#1478c8}-3}\\{\color{#fa3273}5}\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} \cancel4\\-2\\3\\{\color{#fa3273}4}\\{\color{#1478c8}-2}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}5\cdot3 - 0\cdot(-2) \\ 0\cdot4 - (-3)\cdot3 \\ {\color{#1478c8}-3}\cdot({\color{#1478c8}-2}) - {\color{#fa3273}5}\cdot{\color{#fa3273}4}\end{array}\right)\]
Als letzten Schritt ermittelst Du noch den Ergebnisvektor und hast erfolgreich das Kreuzprodukt berechnet.
\[\left(\begin{array}{c}5\cdot3 - 0\cdot(-2) \\ 0\cdot4 - (-3)\cdot3 \\ -3\cdot(-2) - 5\cdot4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}15\\9\\-14\end{array}\right)\]
Wende das wiederholte Wissen gleich in einer Aufgabe an.
Aufgabe 1
Ein Spat wird durch die Vektoren \(\vec{a} = \left( \begin{array} {c} -3 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right)\), \(\vec{b} = \left( \begin{array} {c} 1 \\ 0 \\ -2 \end{array} \right)\) und \(\vec{c} = \left( \begin{array} {c} -2 \\ 3 \\ 5 \end{array} \right)\) aufgespannt. Berechne das Volumen des Spates.
Lösung
Der erste Schritt in der Volumenberechnung eines Spates ist das Kreuzprodukt der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\).
\[\left( \begin{array}{c} -3\\1\\2\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c}1\\0\\-2\end{array}\right)\]
\[\left( \begin{array}{c} \cancel{-3}\\1\\2\\-3\\1\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c}\cancel{1}\\0\\-2\\1\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1\cdot(-2) - 2\cdot0 \\ 2\cdot1 - (-3)\cdot(-2) \\ -3\cdot0 - 1\cdot1 \end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{c} 1\cdot(-2) - 2\cdot0 \\ 2\cdot1 - (-3)\cdot(-2) \\ -3\cdot0 - 1\cdot1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-2\\-4\\-1\end{array}\right)\]
Mit diesem Ergebnisvektor des Kreuzproduktes und dem Vektor \(\vec{c}\) führst Du nun das Skalarprodukt durch.
\[\left|\left(\begin{array}{c}-2\\-4\\-1\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c}-2\\3\\5\end{array}\right)\right| = \left|(-2\cdot(-2))+(-4\cdot3)+(-1\cdot5)\right| = \left|4-12-5\right| = \left|-13\right| = 13 \text{VE}\]
Da hier nicht gegeben ist, welche Einheit das Volumen des Spates hat, schreibst Du als Einheit VE, die Abkürzung für Volumeneinheiten.
Somit hast Du das Volumen des Spates als 13 VE berechnet.
Spatprodukt Volumen Pyramide
Mit dem Spatprodukt kannst Du nicht nur das Volumen des Spates berechnen, sondern auch das Volumen einer Pyramide. Hier verändert sich die Formel des Spatprodukts nur um einen Faktor und bleibt sonst identisch. Der Faktor hängt dabei von der Form der Grundseite der Pyramide ab. Eine 4-seitige Pyramide erhält einen zusätzlichen Faktor \(\frac{1}{3}\), eine 3-seitige Pyramide einen Faktor \(\frac{1}{6}\).
Die Formel zur Berechnung des Volumens einer 3-seitigen Pyramide mithilfe des Spatprodukts lautet also:
\[V_{Pyramide} = \frac{1}{6} \cdot \left| \left( \left( \begin{array}{c} a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} b_1\\b_2\\b_3\end{array}\right)\right) \circ \left( \begin{array}{c}c_1\\c_2\\c_3\end{array}\right)\right|\]
Nimm jetzt die Vektoren \(\vec{a} = \left( \begin{array} {c} 5 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right)\), \(\vec{b} = \left( \begin{array} {c} 4 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right)\) und \(\vec{c} = \left( \begin{array} {c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right)\) und berechne mithilfe des Spatprodukts das Volumen der aufgespannten Pyramide.
Setze als Erstes die Vektoren in die Formel ein.
\[V_{Pyramide} = \frac{1}{6} \cdot \left| \left( \left( \begin{array}{c} 5\\-1\\3\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} 4\\-2\\0\end{array}\right)\right) \circ \left( \begin{array}{c}1\\3\\2\end{array}\right)\right|\]
Als zweiten Schritt rechnest Du das Kreuzprodukt der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aus.
\[\left( \begin{array}{c} 5\\-1\\3\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} 4\\-2\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}6\\12\\-6\end{array}\right)\]
Diesen Ergebnisvektor setzt Du nun in das Skalarprodukt mit dem Vektor \(\vec{c}\) ein.
\[\left(\begin{array}{c}6\\12\\-6\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c}1\\3\\2\end{array}\right) = 6\cdot1 + 12\cdot3+(-6)\cdot2 = 6 + 36 - 12 = 30\]
Das Ergebnis des Skalarprodukts nimmst Du als letzten Schritt noch mit dem Faktor \(\frac{1}{6}\) mal und hast das Volumen der Pyramide berechnet.
\[\frac{1}{6} \cdot 30 = \frac{30}{6} = 5 \text{VE}\]
Somit hast Du das Volumen der Pyramide als 5 VE berechnet.
Volumen Spat – 3x3-Matrix
Das Volumen eines Spates kannst Du auch über die Determinante einer 3x3-Matrix berechnen. Dazu stellst Du die 3x3-Matrix auf und ermittelst die Determinante der Matrix. Dabei multiplizierst Du erst die drei Diagonalen von links oben nach rechts unten und addierst diese. Anschließend multiplizierst Du die drei Diagonalen von rechts oben nach links unten und subtrahierst diese vom Rest. Für den Fall, dass das Ergebnis negativ wird, schreibst Du Betragsstriche um die Rechnung.
Hier wird Dir kurz erklärt, wie Du eine 3x3-Matrix aus 3 Vektoren aufstellst und die Determinante berechnest.
Nimm die Vektoren aus Aufgabe 1 und bilde aus ihnen eine 3x3-Matrix. Berechne anschließend die Determinante.
Allgemein kannst Du eine 3x3-Matrix wie folgt schreiben.
\[\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\]
Wenn Du die Vektoren aus Aufgabe 1 einsetzt, kommst Du auf diese Matrix.
\[\begin{vmatrix} -3 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & -2 & 5 \end{vmatrix}\]
Um die Determinante einer 3x3-Matrix berechnen zu können, schreibst Du die ersten 2 Spalten rechts neben die bestehende Matrix.
\[\begin{vmatrix} -3 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & -2 & 5 \end{vmatrix} \begin{array}{c} ~-3~~~\\~1~~~\\~2~~~ \end{array} \begin{array}{c}1\\0\\2\end{array}\]
Mit der Berechnung fängst Du immer bei der Zahl oben links an. Du multiplizierst sie mit den Zahlen, welche auf der diagonalen Linie nach rechts unten liegen. Diesen Schritt wiederholst Du bei den 2 rechten Nachbarzahlen der ersten Zeile der Matrix.
\[\begin{vmatrix} {\color{#1478c8}-3} & {\color{#00dcb4}1} & {\color{#fa3273}-2} \\ 1 & {\color{#1478c8}0} & {\color{#00dcb4}3} \\ 2 & -2 & {\color{#1478c8}5} \end{vmatrix} \begin{array}{c} ~-3~~~\\~{\color{#fa3273}1}~~~\\~{\color{#00dcb4}2}~~~ \end{array} \begin{array}{c}1\\0\\{\color{#fa3273}2}\end{array} = {\color{#1478c8}-3\cdot0\cdot5}+{\color{#00dcb4}1\cdot3\cdot2}+{\color{#fa3273}(-2)\cdot1\cdot2}\]
Der zweite Teil der Berechnung fängt bei der Zahl rechts oben an. Hier multiplizierst Du alle Zahlen zusammen, welche auf der diagonalen Linie nach links unten liegen. Das wiederholst Du auch für die zwei rechten Nachbarzahlen. Diese Zahlen schreibst Du mit einem Minus hinter die bestehende Rechnung.
\[\begin{vmatrix} -3 & 1 & {\color{#1478c8}-2} \\ 1 & {\color{#1478c8}0} & {\color{#00dcb4}3} \\ {\color{#1478c8}2} & {\color{#00dcb4}-2} & {\color{#fa3273}5} \end{vmatrix} \begin{array}{c} ~{\color{#00dcb4}-3}~~~\\~{\color{#fa3273}1}~~~\\~2~~~ \end{array} \begin{array}{c}{\color{#fa3273}1}\\0\\2\end{array} = \]
\[\left|-3\cdot0\cdot5 + 1\cdot3\cdot2 + (-2)\cdot1\cdot2 - {\color{#1478c8}(-2)\cdot0\cdot2} - {\color{#00dcb4}(-3)\cdot3\cdot(-2)} - {\color{#fa3273}1\cdot1\cdot5}\right|\]
Wenn Du das nun ausrechnest, kommst Du auf folgendes Ergebnis:
\[\left|-3\cdot0\cdot5 + 1\cdot3\cdot2 + (-2)\cdot1\cdot2 - (-2)\cdot0\cdot2 - (-3)\cdot3\cdot(-2) - 1\cdot1\cdot5\right| =\] \[\left|0 + 6 + 4 - 0 - 18 - 5\right| = \left|-13\right| = 13\text{VE}\]
Wie Du siehst, kommt das gleiche Ergebnis wie in Aufgabe 1 heraus. Das heißt, dass die Rechnung korrekt ist.
Wende das wiederholte Wissen zur Determinante gleich in einer Aufgabe an.
Aufgabe 2
In einem dreidimensionalen Koordinatensystem wird ein Spat durch die Vektoren \(\vec{a} = \left( \begin{array} {c} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array} \right)\), \(\vec{b} = \left( \begin{array} {c} 5 \\ -2 \\ 8 \end{array} \right)\) und \(\vec{c} = \left( \begin{array} {c} -3 \\ 1 \\ 7 \end{array} \right)\) aufgespannt.
Berechne das Volumen des Spates über die Determinante einer 3x3-Matrix.
Lösung
Als Erstes solltest Du die 3x3-Matrix aufstellen.
\[\begin{vmatrix} 3 & 5 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 4 & 8 & 7 \end{vmatrix}\]
Für die Berechnung der Determinante schreibst Du Dir als Hilfestellung die ersten zwei Zeilen rechts neben die Matrix.
\[\begin{vmatrix} 3 & 5 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 4 & 8 & 7 \end{vmatrix} \begin{array}{c}~3~~~\\~1~~~\\~4~~~\end{array}\begin{array}{c}5\\-2\\8\end{array}\]
Anschließend berechnest Du die Determinante, indem Du die erst die drei Diagonalen beginnend mit der Zahl links oben miteinander multiplizierst und mit einem Pluszeichen verbindest. Weiter geht es mit den drei Diagonalen, welche bei der Zahl rechts oben anfangen. Diese multiplizierst Du ebenso und subtrahierst sie anschließend vom Rest.
\[\begin{vmatrix} 3 & 5 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 4 & 8 & 7 \end{vmatrix} \begin{array}{c}~3~~~\\~1~~~\\~4~~~\end{array}\begin{array}{c}5\\-2\\8\end{array} = \]
\[\left| 3\cdot(-2)\cdot7 + 5\cdot1\cdot4 + (-3)\cdot1\cdot8 - (-3)\cdot(-2)\cdot4 - 3\cdot1\cdot8 - 5\cdot1\cdot7 \right| =\]
\[\left| -42 + 20 -24 - 24 - 24 - 35 \right| = \left| -129 \right| = 129VE\]
Damit hast Du das Volumen des aufgespannten Spates als 129 VE berechnet.
Volumen Spat – Übungsaufgaben
In diesem Abschnitt der Erklärung findest Du Übungsaufgaben, welche Dir bei der Vertiefung des Wissens helfen sollen.
Aufgabe 3
Ein Spat wird durch die Vektoren \(\vec{a} = \left( \begin{array} {c} 6 \\ -1 \\ 5 \end{array} \right)\), \(\vec{b} = \left( \begin{array} {c} 0 \\ 3 \\ 7 \end{array} \right)\) und \(\vec{c} = \left( \begin{array} {c} 8 \\ 1 \\ 4 \end{array} \right)\) aufgespannt. Berechne das Volumen des Spates mithilfe des Spatprodukts.
Lösung
Als ersten Schritt berechnest Du das Kreuzprodukt der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\).
\[\left( \begin{array}{c} 6\\-1\\5\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} 0\\3\\7\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}(-1)\cdot7-5\cdot3\\5\cdot0-6\cdot7\\6\cdot3-(-1)\cdot0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-22\\-42\\18\end{array}\right)\]
Das Ergebnis des Kreuzproduktes setzt Du in das Skalarprodukt mit dem Vektor \(\vec{c}\) ein.
\[\left|\left(\begin{array}{c}-22\\-42\\18\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c}8\\1\\4\end{array}\right)\right| = \left|-22\cdot8 + (-42)\cdot1 + 18\cdot4\right| = \left|-146\right| = 146VE\]
Mit dieser Rechnung hast Du das Volumen des Spates als 146 VE berechnet.
Aufgabe 4
Ein Spat wird durch die Vektoren \(\vec{a} = \left( \begin{array} {c} -4 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right)\), \(\vec{b} = \left( \begin{array} {c} 1 \\ 3 \\ 3 \end{array} \right)\) und \(\vec{c} = \left( \begin{array} {c} 7 \\ 6 \\ 9 \end{array} \right)\) aufgespannt.
Berechne das Volumen des Spates über die Determinante einer 3x3-Matrix.
Lösung
Zuerst solltest Du die 3x3-Matrix aufstellen.
\[\begin{vmatrix} -4 & 1 & 7 \\ 2 & 3 & 6 \\ 0 & 3 & 9 \end{vmatrix}\]
Als nächsten Schritt schreibst Du die ersten zwei Zeilen rechts neben die Matrix.
\[\begin{vmatrix} -4 & 1 & 7 \\ 2 & 3 & 6 \\ 0 & 3 & 9 \end{vmatrix} \begin{array}{c} ~-4~~~\\~2~~~\\~0~~~\end{array}\begin{array}{c}1\\3\\3\end{array}\]
Nun kannst Du die Diagonalen der Matrix multiplizieren und anschließend addieren, bzw. subtrahieren.
\[\begin{vmatrix} -4 & 1 & 7 \\ 2 & 3 & 6 \\ 0 & 3 & 9 \end{vmatrix} \begin{array}{c} ~-4~~~\\~2~~~\\~0~~~\end{array}\begin{array}{c}1\\3\\3\end{array} = \]
\[\left|-4\cdot3\cdot9 + 1\cdot6\cdot0 + 7\cdot2\cdot3 - 7\cdot3\cdot0 - (-4)\cdot6\cdot3 - 1\cdot2\cdot9 \right| =\] \[\left|-108+0+42-0+72-18\right| = \left|-12\right| = 12VE\]
Damit hast Du das Volumen des aufgespannten Spates als 12 VE berechnet.
Volumen Spat – Das Wichtigste
- Ein Spat ist jeder Körper, der keiner vordefinierten Form entspricht und durch 3 voneinander unabhängigen Vektoren aufgespannt wird
- Das Volumen eines Spates kann über das Spatprodukt oder die Determinante einer 3x3-Matrix berechnet werden
- Die Formel für das Spatprodukt lautet: \(\left| \left( \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) \right) \circ \left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ c_3\end{array} \right) \right| \)
- Mithilfe des Spatprodukts kannst Du auch das Volumen einer Pyramide berechnen
- Eine 3x3-Matrix stellst Du auf, indem Du die 3 gegebenen Vektoren nebeneinander in Betragsstrichen schreibst
- Die Determinante einer 3x3-Matrix kannst Du dadurch berechnen, dass Du die Diagonalen der Matrix miteinander multiplizierst und sie anschließend addierst, bzw. subtrahierst
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Volumen Spat
Was berechnet das Spatprodukt?
Das Spatprodukt berechnet das Volumen eines Spates. Es kann auch dazu genutzt werden, um das Volumen einer Pyramide zu berechnen. Dazu benötigt die Formel lediglich noch einen Vorfaktor.
Was ist die Besonderheit, wenn das Spatprodukt 0 ist?
Wenn das Spatprodukt 0 ist, sind die Vektoren, welche den Spat aufspannen, linear abhängig voneinander. Ein Spat wird allerdings nur von Vektoren aufgespannt, die unabhängig voneinander sind.
Was ist ein Spat in der Mathematik?
Ein Spat ist der Körper zum Parallelogramm. Jede Seite des Spates ist ein Parallelogramm.
Wie berechne ich das Volumen eines Spates?
Du hast 2 Möglichkeiten das Volumen eines Spates zu berechnen. Entweder nimmst Du das Spatprodukt und setzt in die Formel die 3 Vektoren ein oder Du berechnest es über die Determinante einer 3x3-Matrix, welche auch aus den Vektoren aufgestellt wird.
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