Winkel

Winkel – Definition

Dein Schulbus fährt an mehreren Haltestellen vorbei. An Bushaltestelle $A$ steigt eine Freundin von Dir ein, dann wirst Du an Bushaltestelle $S$ direkt vor Deinem Haus aufgesammelt. Anschließend muss der Bus abbiegen und fährt dann noch Bushaltestelle $B$ an. So ist ein Winkel entstanden.

Abbildung 1: Winkel Anwendungsbeispiel

Dieser Sachverhalt kann aber auch mathematisch ausgedrückt werden.

Der Weg von Dir zur Bushaltestelle $A$ ist der 1. Schenkel, während der Weg zur Bushaltestelle $B$ der 2. Schenkel ist. Der Scheitel $S$ ist dann die Bushaltestelle vor Deinem Haus.

Die Schenkel werden auch immer so nummeriert, wie eine Drehung des Strahls um den Scheitel $S$ entgegen dem Uhrzeigersinn.

Abb. 2 - Winkel Bezeichnung.

Winkel – Darstellung

Dementsprechend wird ein Winkel auch mit ebendieser Drehung, nämlich einem Kreisbogen, der den Scheitelpunkt als Mittelpunkt und die Schenkel als Begrenzung hat, gekennzeichnet.

Abb. 3 - Kreisbogen Winkel.

Die Länge des gemalten Kreisbogens gibt auch noch die Größe des Winkels an. Ein sogenannter Vollwinkel entspricht dabei einer ganzen Umdrehung, also einem ganzen Kreis. Wenn Du diesen Kreis dann beispielsweise in 4 gleich große Teile aufteilst, dann entspricht die Größe eines Winkels $\alpha =\frac{1}{4}\text{Umdrehung}$.

Abb. 4 - Kreis in Sektoren aufteilen.

Diese Schreibweise ist jedoch sehr kompliziert. Deshalb wird der Kreis in $360$ Stücke aufgeteilt, die alle sogenannte $1^{\circ }$ groß sind.

Abb. 5 - Kreis in Sektoren mit Grad.

Winkel – Benennung

Der Winkel muss nun auch noch benannt werden. Dafür gibt es grundsätzlich drei verschiedene Optionen:

Winkel – verschiedene Winkel: Übersicht

Jetzt weißt Du schon, was ein Winkel ist und kennst die verschiedenen Arten, wie Du ihn benennen kannst. Ein Winkel ist jedoch nicht immer gleich ein Winkel. Je nach Größe des Winkels haben diese jedoch noch einen speziellen Namen. Des Weiteren gibt es verschiedene Arten von Winkeln an zwei Geraden.

Winkelarten

Winkel bekommen je nach ihrer Größe noch einen speziellen Namen. Im Folgenden findest Du eine Tabelle mit einer Übersicht der verschiedenen Winkelarten.

Winkel zwischen Geraden

Wenn sich zwei oder drei Geraden schneiden, so entstehen vier bis acht Winkel. Nun gibt es einige Zusammenhänge zwischen den entstehenden Winkeln. Diese Zusammenhänge kannst Du in der folgenden Tabelle finden.

Winkel – messen

Zum Messen von Winkeln benötigst Du nur ein Geodreieck. Dann kannst Du die folgenden Schritte schon befolgen:

Winkel – zeichnen

Um einen Winkel zu zeichnen, brauchst Du ebenfalls nur ein Geodreieck. Dann musst Du folgende Schritte befolgen:

Winkel – Rechnen

Du kannst Winkel jedoch nicht nur messen und zeichnen, Du kannst mit ihnen auch rechnen. So können Winkel genauso addiert und subtrahiert werden, wie eine Zahl ohne Einheit. Das Grad-Zeichen wird zwar immer dazu geschrieben, ändert aber nichts an der Rechnung.

Abgesehen von der Addition und Subtraktion mit den spezifischen Werten, kannst Du Winkel auch graphisch addieren und subtrahieren.

Winkel – berechnen

Grundsätzlich kannst Du nicht nur mit Winkeln rechnen, sondern auch die Winkel selbst berechnen. Dafür gibt es zwei verschiedene Optionen: Die Innenwinkelsumme und die Winkelfunktionen.

Winkel mithilfe der Innenwinkelsumme berechnen

Rechnen kannst Du mit Winkeln, insbesondere über die Innenwinkelsummen von geometrischen Formen.

Die meist genutzten geometrischen Figuren sind jedoch das Dreieck und das Viereck. Nach dieser Formel hat ein Dreieck eine Innenwinkelsumme von ${180}^{\circ }$ und ein Viereck eine Innenwinkelsumme von ${360}^{\circ }$.

Mithilfe dieser Formeln kannst Du dann beispielsweise den Winkel einer Ecke berechnen, wenn die Winkel der anderen Ecken gegeben sind.

Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen

In einem rechtwinkligen Dreieck kannst Du, über die Winkelsumme hinaus, auch noch die Winkel über die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens berechnen. Mit jeweils zwei gegebenen Seiten kannst Du so einen spezifischen Winkel berechnen.

Je nach Dreieck können diese Formeln dann angepasst und angewendet werden.