Winkel abtragen

Grundlagen zu Winkeln

Ein Winkel besteht also aus zwei Halbgeraden, die in einem gemeinsamen Punkt übereinstimmen. Die Halbgeraden sind die Schenkel des Winkels, sie begrenzen den Winkel, und der gemeinsame Punkt der Schenkel ist der Scheitelpunkt.

Winkel werden mit Bögen markiert und werden meistens mit griechischen Buchstaben bezeichnet. ($\alpha ,\beta ,\gamma ,...$)

Abbildung 1: Winkel

Winkel werden in Grad gemessen. Die Größe eines Winkels kannst du mit deinem Geodreieck messen. Dafür legst du dein Geodreieck an den unteren Schenkel deines Winkels an, sodass die 0 auf dem Scheitelpunkt aufliegt. Der andere Schenkel sollte die Gradskala auf deinem Geodreieck treffen.

Ein Geodreieck besitzt zwei Skalen, eine innere und eine äußere.

Die innere Skala verwendest du, wenn du Winkel im Uhrzeigersinn misst. Das ist der Fall, wenn Winkel größer als 180° sind.

Die äußere Skala verwendest du, wenn du Winkel gegen den Uhrzeigersinn misst. Das ist der Fall, wenn ein Winkel kleiner als 180° ist. In der Regel misst du Winkel gegen den Uhrzeigersinn. Das bedeutet, dass du meistens die äußere Skala verwendest.

Es gibt unterschiedliche Winkelarten, die du unterscheiden können musst.

Der Nullwinkel ist ein Winkel, der einen Wert von 0° besitzt.

Abbildung 2: Nullwinkel

Ein spitzer Winkel ist ein Winkel mit einem Wert zwischen 0° und 90°.

Abbildung 3: Spitzer Winkel

Ein rechter Winkel hat immer 90°. Der rechte Winkel wird mit einem Punkt gekennzeichnet.

Abbildung 4: Rechter Winkel

Ein stumpfer Winkel hat einen Wert zwischen 90° und 180°.

Abbildung 5: Stumpfer Winkel

Ein Winkel mit 180° wird gestreckter Winkel genannt.

Abbildung 6: Gestreckter Winkel

Ein überstumpfer Winkel hat einen Wert zwischen 180° und 360°.

Abbildung 7: Überstumpfer Winkel

Der volle Winkel hat immer 360°.

Abbildung 8: voller Winkel

Winkel abtragen mit einem Zirkel

Zuerst schauen wir uns an, wie man Winkel mit dem Zirkel abträgt. Das ist zwar etwas schwieriger, als mit dem Geodreieck zu arbeiten, dafür aber wesentlich sauberer.

Spitze Winkel abtragen

Du hast einen spitzen Winkel α und einen Punkt C gegeben, der auf der Strecke c liegt. Jetzt soll der Winkel α an c übertragen werden. Die Strecke c soll also ein Schenkel dieses neuen Winkels sein und Punkt C der Scheitelpunkt.

Abbildung 9: Spitzer Winkel und Gerade c

Im ersten Schritt stichst du deinen Zirkel in Punkt S ein und ziehst einen Kreis mit beliebiger Größe um diesen Punkt. Wichtig ist nur, dass der Radius des Kreises nicht größer ist, als die Schenkel des Winkels oder die Strecke c.

Markiere die Schnittpunkte des Kreises mit den Schenkeln des Winkels und nenne sie $S_1$ und $S_2$.

Abbildung 10: Kreis um S

Stich den Zirkel als Nächstes in Punkt C ein und ziehe einen Kreis. Verändere dabei die Einstellung deines Zirkels nicht. Markiere auch hier wieder den Schnittpunkt des Kreises mit dem Schenkel des Winkels und nenne den Schnittpunkt $S_3$.

Abbildung 11: Kreis um Punkt C

Nimm im nächsten Schritt deinen Zirkel und miss den Abstand zwischen $S_1$ und $S_2$. Dazu stichst du zum Beispiel im Punkt $S_1$ ein, und stellst dann die Bleistift-Seite des Zirkels so ein, dass sie genau auf $S_2$ landet.

Ziehe damit einen Kreis um Punkt $S_3$.

Die beiden konstruierten Kreise schneiden sich nun in zwei Punkten. Markiere den oberen Schnittpunkt der beiden Kreise und nenne ihn $S_4$.

Abbildung 12: Kreis um S3

Im letzten Schritt zeichnest du eine weitere Halbgerade von Punkt C durch Punkt $S_4$.

Abbildung 13: Gerade durch C und S4

Die Halbgerade c und die Halbgerade durch Punkt $S_4$ schließen einen Winkel ein, der genauso groß ist, wie α.

Stumpfe Winkel abtragen

Beim Abtragen von stumpfen Winkeln gehst du eigentlich genauso vor wie beim Abtragen von spitzen Winkeln.

Du hast also einen stumpfen Winkel β gegeben und eine Halbgerade d mit Ausgangspunkt D gegeben.

Abbildung 14: Stumpfer Winkel und Gerade d

Im ersten Schritt zeichnest du wieder einen Kreis um den Scheitelpunkt S des Winkels β. Anschließend zeichnest du einen Kreis mit demselben Radius um Punkt D. Markiere wieder alle Schnittpunkte der Kreise mit den Schenkeln der Winkel.

Abbildung 15: Kreis um S und D

Als Nächstes misst du den Abstand zwischen $S_1$ und $S_2$ mit deinem Zirkel. Anschließend ziehst du einen Kreis um Punkt $S_3$.

Die Kreise schneiden sich wieder zweimal. Markiere auch hier wieder den passenden Schnittpunkt.

Abbildung 16: Kreis um S3

Rechte Winkel abtragen

Rechte Winkel kannst du mithilfe des Zirkels genauso abtragen, wie spitze und stumpfe Winkel. Du kannst aber genauso ein Lot konstruieren.

Winkel abtragen mit einem Geodreieck

Um einen Winkel mit dem Geodreieck abzutragen, legst du im ersten Schritt dein Geodreieck an den gegebenen Winkel an und schaust nach, wie groß dieser Winkel ist.

Abbildung 17: Winkel messen

Im nächsten Schritt legst du dein Geodreieck an den Strahl oder die Gerade an, an die du den Winkel abtragen möchtest. Achte darauf, dass sich die 0 des Geodreiecks an der Stelle befindet, an der sich am Ende der Scheitelpunkt deines abgetragenen Winkels befinden soll.

Abbildung 18: Geodreieck anlegen

Jetzt schaust du an der äußeren Zahlenreihe nach, wo sich die Zahl, der Größe deines Winkels befindet und markiere diese Stelle auf deinem Papier mit einem Punkt.

Bei stumpfen Winkeln verwendest du immer die innere Skala auf deinem Geodreieck.

Abbildung 19: Winkel messen

Im letzten Schritt ziehst du eine Linie von dem Scheitelpunkt des neuen Winkels bis zu deiner Markierung.

Abbildung 20: Winkel antragen

Jetzt hast du den Winkel mithilfe deines Geodreiecks abgetragen.

Wenn du einen rechten Winkel abtragen möchtest, findest du in der Mitte deines Geodreiecks eine weitere Hilfslinie. Diese Linie musst du jetzt an die Halbgerade anlegen und kannst deine Gerade ziehen.

Abbildung 20: 90° Winkel einzeichnen

Winkel abtragen: Kongruente Dreiecke

Wenn du Winkel abtragen kannst, hilft dir diese Fertigkeit auch dabei, kongruente Dreiecke zu konstruieren. Wiederholen wir zunächst, was Kongruenz ist.

Dreiecke lassen sich mithilfe der vier Kongruenzsätze auf Kongruenz prüfen.

• Der SSS-Satz ist erfüllt, wenn zwei Dreiecke in allen drei Seitenlängen übereinstimmen.
• Der SWS-Satz besagt, dass zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, kongruent sind.
• Der dritte Kongruenzsatz ist der WSW-Satz. Dieser Satz ist erfüllt, wenn zwei Dreiecke in zwei Winkeln und der eingeschlossenen Seite übereinstimmen.
• Der letzte Kongruenzsatz ist der SsW-Satz. Nach diesem Satz sind zwei Dreiecke kongruent, die in zwei Seitenlängen und dem Winkel, der der längeren der beiden Seiten gegenüber liegt, übereinstimmen.

Durch das Abtragen von Winkeln lassen sich daher kongruente Dreiecke konstruieren, weil sie den SWS-Satz, den WSW-Satz oder den SsW-Satz erfüllen.

Winkel abtragen: Beispiele

Im Folgenden findest du noch ein Anwendungsbeispiel zum Abtragen von Winkeln.