Winkel berechnen

Aufgabe 2

Gegeben ist folgendes Dreieck:

Abbildung 3: Winkelsumme im Dreieck

In diesem Dreieck sind die Winkel $\alpha =35°$ und $\beta =75°$ bereits gegeben. Berechne den fehlenden Winkel $\gamma$ mit der Winkelinnensumme!

Lösung:

1. Schritt: Formel aufstellen

Damit Du auch auf das richtige Ergebnis kommst, solltest Du erst die Formel umstellen. In diesem Fall bedeutet das, dass Du den Winkel $\gamma$ allein auf eine Seite bringen musst und den Rest auf die andere:

$\begin{array}{rcl}\alpha +\beta +\gamma & =& 180° \overline{)-\alpha -\beta }\\ & \Rightarrow & \gamma =180°-\alpha -\beta \\ & & \end{array}$

2. Schritt: Werte einsetzten und ausrechnen:

$\begin{array}{rcl}\gamma & =& 180°-\alpha -\beta \\ \gamma & =& 180°-35°-75°\\ \gamma & =& 70°\end{array}$

Und damit hast Du Deinen fehlenden Winkel erfolgreich berechnet!

Aufgabe 3

Gegeben ist folgendes Viereck:

Abbildung 4: Winkelinnensumme im Viereck

In diesem Viereck sind die Winkel $\alpha =77°$, $\beta =76°$ und $\gamma =89°$ gegeben, berechne den Winkel $\delta$ mit der Winkelinnensumme!

Lösung:

1. Schritt: Formel aufstellen

Stelle jetzt wieder die Formel auf, diesmal indem Du nach $\delta$ auflöst:

$\begin{array}{rcl}\alpha +\beta +\gamma +\delta & =& 360° \overline{)-\alpha -\beta -}\gamma \\ & \Rightarrow & \delta =360°-\alpha -\beta -\gamma \end{array}$

2. Schritt: Werte einsetzten und ausrechnen

$\begin{array}{rcl}\delta & =& 360°-\alpha -\beta -\gamma \\ \delta & =& 360°-77°-76°-89°\\ \delta & =& 118°\end{array}$

Aufgabe 4

Berechne den Winkel $\beta$ im folgenden rechtwinkligen Dreieck mithilfe des Sinus!

Abbildung 6: Sinus im rechtwinkligen Dreieck

Lösung

Dieses Dreieck hat alle Seitenlängen gegeben, Du kannst also den Sinus anwenden:

$\begin{array}{rcl}\sin \left(\beta \right)& =& \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}=\frac{b}{a}\end{array}$

1. Schritt: Werte einsetzten

Erstmal ist es nicht nötig, die Formel umzustellen. Du kannst deshalb direkt Deine Werte einsetzen und berechnen:

$\begin{array}{rcl}\sin \left(\beta \right)& =& \frac{b}{a}\\ \sin \left(\beta \right)& =& \frac{8}{13,6}\\ \sin \left(\beta \right)& \approx & 0,588\end{array}$

2. Schritt: Winkel berechnen

Bisher hast Du nur den Sinus von Deinem gesuchten Winkel ausgerechnet. Um $\beta$ auszurechnen, musst Du noch den ${\sin }^{-1}\left(x\right)$anwenden:

$$\begin{gathered} \beta ={\sin }^{-1}\left(0,588\right) \\ \beta =36,0° \end{gathered}$$

Und das ist auch schon Dein Ergebnis für den Winkel!

Aufgabe 5

Berechne den Winkel $\beta$ mithilfe des Kosinus!

Abbildung 7: Cosinus im rechtwinkligen Dreieck

Lösung

Der Ablauf der Rechnung ist jetzt fast genauso wie im ersten Beispiel, nur wirst Du jetzt den Cosinus von $\beta$ statt den Sinus berechnen:

$\begin{array}{rcl}\cos \left(\beta \right)& =& \frac{Ankathete}{Hypotenuse}=\frac{c}{a}\end{array}$

1. Schritt: Werte einsetzten

Setzte jetzt wieder Deine Werte ein – aber Achtung – beim Cosinus verwendest Du andere Seitenlängen als beim Sinus.

$\begin{array}{rcl}\cos \left(\beta \right)& =& \frac{c}{a}\\ \cos \left(\beta \right)& =& \frac{11}{13,6}\\ \cos \left(\beta \right)& \approx & 0,809\end{array}$

2. Schritt: Winkel berechnen

Wende jetzt statt des ${\sin }^{-1}\left(x\right)$ den ${\cos }^{-1}\left(x\right)$ an:

$$\begin{gathered} \beta ={\cos }^{-1}\left(0,809\right) \\ \beta =36,0° \end{gathered}$$

Dass Du alles richtig gemacht hast, erkennst Du daran, dass für den Winkel $\beta$ das Gleiche rauskommt, wie im Beispiel mit dem Sinus. Denn obwohl Du den Winkel mit verschiedenen Methoden berechnest, bleibt die eigentliche Größe des Winkels gleich.

Aufgabe 6

Berechne den Winkel $\beta$ mithilfe des Tangens!

Abbildung 8: Tangens im rechtwinkligen Dreieck

Lösung

Zum Abschluss machst Du das ganze noch einmal mit dem Tangens:

$\begin{array}{rcl}\tan \left(\beta \right)& =& \frac{Gegenkathete}{Ankathete}=\frac{b}{c}\end{array}$

1. Schritt: Werte einsetzen

$\begin{array}{rcl}\tan \left(\beta \right)& =& \frac{b}{c}\\ \tan \left(\beta \right)& =& \frac{8}{11}\\ \tan \left(\beta \right)& \approx & 0,722\end{array}$

2. Schritt: Winkel berechnen

$$\begin{gathered} \beta ={\tan }^{-1}\left(0,722\right) \\ \beta =36,0° \end{gathered}$$

Und wieder hast Du den gleichen Winkel herausbekommen!

Aufgabe 7

Berechne den fehlenden Winkel $\beta$ mit der Winkelinnensumme!

Abbildung 7: Winkelinnensumme im Dreieck

Lösung

1. Schritt: Formel aufstellen

$\begin{array}{rcl}\alpha +\beta +\gamma & =& 180° \overline{)-\alpha -\gamma }\\ & \Rightarrow & \beta =180°-\alpha -\gamma \\ & & \end{array}$

2. Schritt: Werte einsetzten und berechnen:

$\begin{array}{rcl}\beta & =& 180°-\alpha -\gamma \\ \beta & =& 180°-39°-72°\\ \beta & =& 69°\end{array}$

Aufgabe 8

Berechne den Winkel $\epsilon$ mithilfe der Winkelinnensumme!

Abbildung 8: Winkelinnensumme im Fünfeck

Lösung

1. Schritt: Formel für die Winkelinnensumme aufstellen

$\begin{array}{rcl}\mathrm{X}& =& \left(\mathrm{N}-2\right)·180°\\ & =& \left(5-2\right)·180°\\ & =& 3·180°\\ & =& 540°\\ & \Rightarrow & 540°=\alpha +\beta +\gamma +\delta +\epsilon \end{array}$

2. Schritt: Formel für fehlenden Winkel aufstellen

$\begin{array}{rcl}\alpha +\beta +\gamma +\delta +\epsilon & =& 540° \overline{)-\alpha -\beta -\gamma -\delta }\\ \epsilon & =& 540°-\alpha -\beta -\gamma -\delta \\ & & \\ & & \end{array}$

3. Schritt: Werte einsetzten und berechnen

$\begin{array}{rcl}\epsilon & =& 540°-\alpha -\beta -\gamma -\delta \\ \epsilon & =& 540°-75°-101°-105°-132°\\ \epsilon & =& 127°\end{array}$

Aufgabe 9

Berechne den fehlenden Winkel $\alpha$ im folgenden Dreieck mit dem passenden Winkelsatz!

Abbildung 9: Cosinus im rechtwinkligen Dreieck

Lösung

1. Schritt: Passende Winkelfunktion ermitteln

In diesem Beispiel sind nur zwei Seiten im Dreieck gegeben. Die längere Seite ist automatisch die Hypotenuse, da sie gegenüber vom rechten Winkel steht. Die andere Seite liegt direkt am gesuchten Winkel an, das heißt, sie ist die Ankathete. Es sind also die Hypotenuse und die Ankathete gegeben, weshalb hier der Cosinus verwendet werden muss:

$\begin{array}{rcl}\cos \left(\alpha \right)& =& \frac{Ankathete}{Hypotenuse}\end{array}$

2. Schritt: Werte einsetzten

$\begin{array}{rcl}\cos \left(\alpha \right)& =& \frac{Ankathete}{Hypotenuse}\\ \cos \left(\alpha \right)& =& \frac{6}{8,5}\\ \cos \left(\alpha \right)& \approx & 0,824\end{array}$

3. Schritt: Winkel berechnen

$$\begin{gathered} \alpha ={\cos }^{-1}\left(0,824\right) \\ \alpha =45° \end{gathered}$$