Lerninhalte finden
Features
Entdecke
Bisher hast Du Winkelberechnungen vielleicht nur zwischen zwei Strecken oder Seiten einer Figur kennengelernt. In der analytischen Geometrie spielt die Winkelberechnung ebenfalls eine Rolle. Schneiden sich nämlich beispielsweise zwei Vektoren, entsteht dabei ein Schnittwinkel, der mit einer Formel berechnet werden kann. Hier erfährst Du, wie Du den Schnittwinkel zweier Geraden, den Winkel zwischen Gerade und Ebene sowie zwischen zwei Ebenen berechnen kannst.
Lerne mit Millionen geteilten Karteikarten
Leg kostenfrei losWofür benötigst Du die Normalenvektoren der Ebenen?
Wie berechnet man den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden?
Was ist ein Schnittwinkel?
Wann schließen zwei Vektoren einen Winkel ein?
Wie lautet die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels zwischen einer Geraden und einer Ebene?
Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit zwei Ebenen einen Winkel einschließen?
Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Gerade und eine Ebene einen Schnittwinkel bilden?
Wie lautet die Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Ebenen?
Welche Schreibweise kann alternativ zu
Welche Formel benutzt man zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren?
Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Gerade und eine Ebene einen Schnittwinkel bilden?
Wie lautet die Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Ebenen?
Welche Schreibweise kann alternativ zu
Welche Formel benutzt man zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren?
Wofür benötigst Du die Normalenvektoren der Ebenen?
Wie berechnet man den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden?
Was ist ein Schnittwinkel?
Wann schließen zwei Vektoren einen Winkel ein?
Wie lautet die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels zwischen einer Geraden und einer Ebene?
Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit zwei Ebenen einen Winkel einschließen?
Schreib bessere Noten mit StudySmarter Premium
Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst
Did you know that StudySmarter supports you beyond learning?
Review generated flashcards
Erstelle unlimitiert Karteikarten auf StudySmarter
Team Winkelberechnung Lehrer
Danke für dein Interesse an Audio-Lernen!
Die Funktion ist noch nicht ganz fertig, aber wir würden gerne wissen, warum du Audio-Lernen bevorzugst.
Warum bevorzugst du Audio-Lernen? (optional)
Feedback sendenVektoren können sowohl zweidimensional als auch dreidimensional vorkommen. In beiden Fällen ist es möglich, dass Winkel zwischen zwei Vektoren eingeschlossen werden.
Zwei Vektoren, egal ob im zweidimensionalen oder dreidimensionalen Raum, können nur dann einen Winkel einschließen, wenn sie sich schneiden. Das heißt insbesondere, dass zwei parallele Vektoren niemals einen Winkel einschließen können.
Abb. 1 - Schnittwinkel zweier Vektoren
Wenn Deine Vektoren diese Voraussetzung erfüllen, dann gilt für zwei Vektoren, in diesem Beispiel definiert mit
Der Winkel
Anstatt
Mehr zu dem Thema findest Du in der Erklärung Winkel zwischen Vektoren. Eine Übungsaufgabe zu diesem Thema findest Du aber auch am Ende dieser Erklärung.
So ähnlich, aber nicht identisch, verhalten sich auch die Schnittwinkel zweier Geraden. Als Ausgangspunkt gelten die beiden Geradengleichung in der Vektorschreibweise.
Zur Erinnerung: Die Vektorschreibweise einer Gerade sieht wie folgt aus:
Abb. 2 - Vektorschreibweise Gerade
Folglich sind immer zwei Vektoren nötig, um eine Gerade aufzustellen.
Ob sich zwei Geraden schneiden oder nicht, hängt vom Richtungsvektor ab. Diese dürfen weder identisch noch ein Vielfaches voneinander sein, damit sie sich schneiden.
Für die Berechnung des Schnittwinkels zweier Geraden musst Du also auch nur die Richtungsvektoren betrachten.
Um den Schnittwinkel
Eine Beispielrechnung findest Du am Ende der Erklärung, ansonsten findest Du mehr zu diesem Thema in der Erklärung Winkel zwischen zwei Geraden.
Schnittwinkel gibt es nicht nur zwischen Gerade und Gerade oder Ebene und Ebene, sondern Du findest auch häufig Winkel zwischen Gerade und Ebene.
Auch hier gilt:
Eine Gerade und eine Ebene besitzen immer dann einen Schnittpunkt, wenn sie nicht echt parallel zueinander sind.
Abb. 3: Schnittwinkel Gerade Ebene
Wenn Du also eine Ebene
Seien eine Ebene mit der Form
, wobei
Ein Rechenbeispiel zu diesem Thema findest Du am Ende dieser Erklärung, wenn Du aber mehr über dieses Thema erfahren möchtest, dann kannst Du Dir die Erklärung Winkel zwischen Gerade und Ebene anschauen.
Zu guter Letzt existiert auch noch der Winkel zwischen zwei Ebenen. Das Prinzip unterscheidet sich auch hier nicht groß von den bisherigen Rechnungen.
Zwei Ebenen können nur dann einen Winkel einschließen, wenn sie nicht echt parallel zueinander sind.
Abb. 4: Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen
In dem Fall, dass Du den Winkel zwischen zwei Ebenen berechnen sollst, braucht Du nur die beiden Normalenvektoren der Ebenen.
Seien zwei Ebenen gegeben mit den jeweiligen Normalenvektoren
Im nächsten Abschnitt findest Du Übungsaufgaben zu diesem Thema, wenn Du Dich mit dem Thema aber tiefer auseinandersetzten willst, dann schau in der Erklärung Winkel zwischen Ebenen vorbei.
In diesem Abschnitt hast Du noch einmal die Möglichkeit, zu jedem Thema ein paar Aufgaben durchzurechnen.
Aufgabe 1
Berechne den Schnittwinkel
Lösung
1. Schritt:
Setzte die Vektoren in die Formel ein:
2. Schritt:
Führe jetzt die Skalarmultiplikation durch und bilde die Beträge der Vektoren.
Wenn Du nicht mehr weißt, wie Du zwei Vektoren Skalar multiplizierst, dann schau Dir doch die Erklärung Skalarmultiplikation an.
3. Schritt
Im letzten Schritt kannst Du jetzt aus diesem Term Deinen Winkel berechnen:
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren beträgt also
Aufgabe 2
Berechne den Schnittwinkel der folgenden zwei Geraden:
Lösung
1. Schritt:
Setzte die Richtungsvektoren in die Gleichung ein:
2. Schritt:
Führe jetzt wieder die skalare Multiplikation durch und berechne die Beträge:
3. Schritt:
Als Letztes brauchst Du nur noch den Term auszurechnen und Du hast Dein Ergebnis:
Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden beträgt also
Aufgabe 3
Berechne den Schnittwinkel zwischen der Gerade
Lösung
1. Schritt:
Stelle den Normalenvektor der Ebene auf.
Die Vorfaktoren der Koordinatenform lauten 0, -3 und 2. Wenn Du das in einen Vektor schreibst, erhältst Du für den Normalenvektor:
2. Schritt:
Setzte jetzt die gegebenen Vektoren in die Formel ein:
3. Schritt:
Berechne den Term jetzt wieder wie in den vorherigen Beispielen.
Der Winkel zwischen der Gerade und der Ebene beträgt also
Aufgabe 4
Berechne den Schnittwinkel zwischen den Ebenen
Lösung
1. Schritt:
Bilde die Normalenvektoren
Setze die Normalenvektoren in die Formel ein:
2. Schritt:
Berechne jetzt wieder den Term:
Der Winkel zwischen den beiden Ebenen beträgt also
Um den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden zu berechnen, verwendest Du die jeweiligen Ortsvektoren und setzt diese in die Formel ein, die bei den Vektoren verwendet wurde.
Eine Gerade und eine Ebene können nur dann einen Schnittpunkt besitzen, wenn sie nicht echt parallel zueinander sind.
Seien eine Ebene mit der Form
Zwei Ebenen können nur dann einen Winkel einschließen, wenn sie nicht echt parallel zueinander sind.
Seien zwei Ebenen gegeben mit den jeweiligen Normalenvektoren
Melde dich kostenlos an, um Zugriff auf all unsere Karteikarten zu erhalten.
Was ist der Schnittwinkel zweier Geraden?
Der Schnittwinkel zweier Geraden entspricht dem Schnittwinkel zwischen den beiden Richtungsvektoren der Geraden. Er wird berechnet durch den Arcuscosinus von dem Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren der Geraden durch das Produkt der jeweiligen Beträge.
Wie rechnet man den Schnittwinkel aus?
Den Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren berechnest Du, indem Du den Arcuscosinus von dem Skalarprodukt der beiden Vektoren durch das Produkt der jeweiligen Beträge teilst.
Wie berechnet man den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene?
Den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene berechnest Du, indem Du den Arcuscosinus von dem Skalarprodukt von dem Richtungsvektor und dem Normalenvektor durch das Produkt der jeweiligen Beträge teilst.
Unter welchem Winkel schneiden sich f und g?
Die Geraden f und g schneiden sich unter dem Winkel, der herauskommt, wenn Du den Arcuscosinus von dem Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren der Geraden durch das Produkt der jeweiligen Beträge teilst.
Bei StudySmarter haben wir eine Lernplattform geschaffen, die Millionen von Studierende unterstützt. Lerne die Menschen kennen, die hart daran arbeiten, Fakten basierten Content zu liefern und sicherzustellen, dass er überprüft wird.
Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
Lerne Lily kennen
Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
Lerne Gabriel kennen
StudySmarter ist ein weltweit anerkanntes Bildungstechnologie-Unternehmen, das eine ganzheitliche Lernplattform für Schüler und Studenten aller Altersstufen und Bildungsniveaus bietet. Unsere Plattform unterstützt das Lernen in einer breiten Palette von Fächern, einschließlich MINT, Sozialwissenschaften und Sprachen, und hilft den Schülern auch, weltweit verschiedene Tests und Prüfungen wie GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur und mehr erfolgreich zu meistern. Wir bieten eine umfangreiche Bibliothek von Lernmaterialien, einschließlich interaktiver Karteikarten, umfassender Lehrbuchlösungen und detaillierter Erklärungen. Die fortschrittliche Technologie und Werkzeuge, die wir zur Verfügung stellen, helfen Schülern, ihre eigenen Lernmaterialien zu erstellen. Die Inhalte von StudySmarter sind nicht nur von Experten geprüft, sondern werden auch regelmäßig aktualisiert, um Genauigkeit und Relevanz zu gewährleisten.
Erfahre mehrSpeichere Erklärungen in deinem persönlichen Bereich und greife jederzeit und überall auf sie zu!
Durch deine Registrierung stimmst du den AGBs und der Datenschutzerklärung von StudySmarter zu.
Du hast schon einen Account? Anmelden
Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.
Die erste Lern-App, die wirklich alles bietet, was du brauchst, um deine Prüfungen an einem Ort zu meistern.
Die erste Lern-App, die wirklich alles bietet, was du brauchst, um deine Prüfungen an einem Ort zu meistern.
Schule 
Studium 
Ausbildung 
Karteikarten 
StudySmarter AI 
Notizen 
Lernplan 
Spaced Repetition 
Lernsets 
Finde einen Job 
Studentenrabatte 
Ausbildungen 
Magazine 
Mobile App 
Für Unternehmen 
