Zusammengesetzte Körper

Abbildung 9: TurmAbbildug 10: PfeilAbbildung 11: Quader und HalbkugelAbbildung 12: Eis in der Waffel

Aufgabe 1

Berechne das Volumen von Sofias Geburtstagstorte. Die Maße der Torte sind folgende:

Abbildung 13: Sofias Torte

Lösung

Die Torte besteht aus zwei Stöcken. Im unteren Stock ist ein Kuchen in Form von einem Zylinder und im oberen Stock ein Kuchen in Form eines Würfels. Diesen Gesamtkörper kannst Du jetzt zerlegen und das Volumen der jeweiligen Körper berechnen.

Beginne mit dem Würfel.

Abbildung 14: Würfel

Wenn Du einen Blick in die Formeln zur Berechnung von Körpern wirfst, siehst Du, dass die Formel für einen Würfel $V=a^3$ lautet. Setze den gegebenen Wert ein, um das Volumen dieses Würfels zu berechnen.

id="3038842" role="math" $\begin{array}{rcl}{V}_1& =& {(10cm)}^3=1000c{m}^3\end{array}$

Danach kannst Du das Volumen des unteren Stocks, also des Zylinders, berechnen. Die Formel lautet $V=\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\mathrm{h}$. Setze die gegebenen Werte ein, um das Volumen des Zylinders zu berechnen.

Abbildung 15: Zylinder

id="3038841" role="math" $\begin{array}{rcl}{V}_2& =& \mathrm{\pi }·{(13\mathrm{cm})}^2·14\mathrm{cm}=\\ & & \\ & =& \mathrm{\pi }·169c{m}^2·14cm=\\ & & \\ & =& \mathrm{\pi }·2366{\mathrm{cm}}^3\approx 7433{\mathrm{cm}}^3\end{array}$

Das Gesamtvolumen berechnest Du dann, indem Du die beiden Volumen der Teilkörper zusammenrechnest:

id="3038844" role="math" $\begin{array}{rcl}V& =& V_1+V_2=1000c{m}^3+7433c{m}^3=84333c{m}^3\end{array}$

Das Volumen von Sofias Geburtstagstorte beträgt $84333c{m}^3$.

Aufgabe 2

Der Kuchen wird jetzt für das Design noch mit Fondant überzogen. Berechne, wie viel Fläche von dem Fondant überzogen werden muss.

Abbildung 17: Sofias Torte

Lösung

Um den Oberflächeninhalt dieses zusammengesetzten Körpers zu berechnen, werden – wie beim Volumen – zuerst jeweils beide Oberflächen berechnet. Danach wird die Fläche abgezogen, an der sich die beiden Körper berühren.

In diesem Fall besteht der Gesamtkörper aus einem Zylinder und einem Würfel. Die Fläche, die abgezogen werden muss, ist in diesem Fall die Grundfläche G des Würfels. Beachte dabei, dass die Grundfläche des Würfels zweimal abgezogen werden muss, da der Fondant nur die sichtbaren Flächen bedecken wird. Also einmal die Grundfläche des Würfels und einmal den quadratischen Ausschnitt des Zylinders, auf dem der Würfel steht. Du gehst also so vor:

$O=O_{Zylinder}+O_{Würfel}-2·G_{Würfel}$

Beginne mit der Berechnung des Oberflächeninhalts des Zylinders.

id="3038839" role="math" $\begin{array}{rcl}{O}_{Zylinder}& =& 2·\mathrm{\pi }·\mathrm{r}·(\mathrm{r}+\mathrm{h})=\\ & & \\ & =& 2·\mathrm{\pi }·13\mathrm{cm}·(13\mathrm{cm}+14\mathrm{cm})=\\ & & \\ & =& 2·\mathrm{\pi }·13cm·27cm=\\ & & \\ & =& 2·\mathrm{\pi }·351{\mathrm{cm}}^2=\\ & & \\ & =& 602c{m}^2·\mathrm{\pi }\approx 2205,4c{m}^2\end{array}$

Der Oberflächeninhalt des Zylinders beträgt $2205,4c{m}^2$.

Danach berechnest Du den Oberflächeninhalt des Würfels:

id="3038837" role="math" $\begin{array}{rcl}{O}_{Würfel}& =& 6·a^2=6·{(10cm)}^2=6·100{\mathrm{cm}}^2\approx 600{\mathrm{cm}}^2\end{array}$

Um den gesamten Oberflächeninhalt zu berechnen, wird der Flächeninhalt von $G_{Würfel}$ berechnet.

id="3038835" role="math" $\begin{array}{rcl}{G}_{Würfel}& =& a^2={(10cm)}^2=100{\mathrm{cm}}^2\end{array}$

Zuletzt setzt Du die Werte in die oben aufgestellte Formel ein.

id="3038827" role="math" $\begin{array}{rcl}O& =& 2205,4c{m}^2+600c{m}^2-2·(100c{m}^2)=2605,4c{m}^2\end{array}$

Der Oberflächeninhalt des zusammengesetzten Körpers beträgt $O=2605,4c{m}^2$.

Aufgabe 3

Berechne das Volumen und den Oberflächeninhalt dieses zusammengesetzten Körpers:

Abbildung 19: Würfel und Pyramide

Lösung

Der zusammengesetzte Körper besteht aus einem Würfel und einer Pyramide. Die Pyramide wird dadurch zu einer quadratischen Pyramide. Beginne die Berechnung des zusammengesetzten Körpers mit dem Volumen. Da die Pyramide quadratisch ist, ist die Formel für das Volumen $V_{Pyramide}=\frac{1}{3}·a^2·h$.

id="3038825" role="math" $\begin{array}{rcl}V& =& V_{Würfel}+V_{Pyramide}\\ & & \\ V& =& a^3+\frac{1}{3}·a^2·h=\\ & & \\ & =& 3^3+\frac{1}{3}·3^2·2=\\ & & \\ & =& 27+\frac{1}{3}·9·2=\\ & & \\ & =& 27+6=33\end{array}$

Das Volumen des Gesamtkörpers ist $V=33$.

Um den Oberflächeninhalt zu berechnen, kannst Du wieder eine Formel aufstellen, in der deutlich wird, dass die Berührungsfläche, an denen sich die beiden Körper berühren, nicht dazugehört:

$O=O_{Würfel}+O_{Pyramide}-G_{Pyramide}-G_{Würfel}$

In diesem Fall entspricht die Grundfläche der Pyramide der des Würfels.

In diese Formel kannst Du jetzt einsetzen und den Gesamtoberflächeninhalt berechnen. Weil die Pyramide eine quadratische Grundfläche hat, lautet die Formel für den Oberflächeninhalt $O_{Pyramide}=2·a·h_a+a^2$.

id="3038823" role="math" $\begin{array}{rcl}O& =& 6·a^2+2·a·h_a+a^2-2·a^2=\\ & & \\ & =& 6·3^2+2·3·2,5+3^2-2·3^2=\\ & & \\ & =& 6·9+2·3·2,5-3^2=\\ & & \\ & =& 54+15-9=60\end{array}$

Der Oberflächeninhalt beträgt $O=60$.

Aufgabe 4

Klara arbeitet bei einer Automobilfirma. Ihre Firma hat sie damit beauftragt, ein neues Industriegebäude zu planen. Dabei hat sie diese Vorgaben:

• Die quaderförmige Industriehalle soll 50 m lang, 30 m breit und 20 m hoch sein
• Es werden zwei zylinderförmige Schornsteine mit einer Höhe von 20 m und einem Durchmesser von 0,6 m benötigt

Klara macht sich eine Planskizze:

Abbildung 20: Planskizze

1. Berechne das Volumen des geplanten Industriegebäudes.
2. Berechne den Oberflächeninhalt des Gebäudes.

Lösung

1. Stelle zuerst eine Formel auf, die den Sachverhalt schildert.

$V=V_{Quader}+2·V_{Zylinder}$

In diese Formel kannst Du dann die vorgegebenen Werte einsetzen, um das Gesamtvolumen zu berechnen.

id="3038820" role="math" $\begin{array}{rcl}V& =& a·b·c+2·(\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\mathrm{h})=\\ & & \\ & =& 50\mathrm{m}·30\mathrm{m}·20\mathrm{m}+2·(\mathrm{\pi }·{(0,3\mathrm{m})}^2·20\mathrm{m})=\\ & & \\ & =& 30000{\mathrm{m}}^3+2·(\mathrm{\pi }·0,09{\mathrm{m}}^2·20\mathrm{m})\approx \\ & & \\ & \approx & 30000{\mathrm{m}}^3+2·5,7{\mathrm{m}}^3=\\ & & \\ & =& 30000{\mathrm{m}}^3+11,3{\mathrm{m}}^3=30011,3{\mathrm{m}}^3\end{array}$

Das Volumen der gesamten Fabrik beträgt $V=30011,3m^3$.

2. Um den Oberflächeninhalt zu berechnen, kannst Du ebenfalls erst mal eine Formel aufstellen. Bedenke dabei, dass die Berührungsflächen zwischen Schornstein und Gebäude nicht zum Oberflächeninhalt gehören.

$O=O_{Quader}+2·O_{Zylinder}-4·G_{Zylinder}$

Jetzt kannst Du die Werte in die Formel einsetzen und den Oberflächeninhalt berechnen.

id="3038812" role="math" $\begin{array}{rcl}O& =& (2·(a·b+a·c+b·c\left)\right)+(2·(2·\mathrm{\pi }·\mathrm{r}·(\mathrm{r}+\mathrm{h}))-(4·(\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2))=\\ & & \\ & =& (2·(50m·30m+50m·20m+30m·20m\left)\right)+(2·(2·\mathrm{\pi }·0,3\mathrm{m}·(0,3\mathrm{m}+20\mathrm{m}))-(4·(\mathrm{\pi }·{(0,3m)}^2))=\\ & & \\ & =& (2·(1500m^2+1000m^2+600m^2\left)\right)+(2·(2·\mathrm{\pi }·0,3\mathrm{m}·20,3\mathrm{m})-(4·(\mathrm{\pi }·0,09{\mathrm{m}}^2))=\\ & & \\ & \approx & (2·3100{\mathrm{m}}^2)+(2·38,3{\mathrm{m}}^2)-(4·0,3{\mathrm{m}}^2)=\\ & & \\ & =& 6200{\mathrm{m}}^2+76,6{\mathrm{m}}^2-1,2{\mathrm{m}}^2=6275,4{\mathrm{m}}^2\end{array}$

Der Oberflächeninhalt des Gebäudes beträgt $O=6275,4m^2$.