Zylinder

Definition

Bevor Du dich damit beschäftigen kannst, wie das Volumen oder der Oberflächeninhalt eines Zylinders berechnet werden kann, solltest Du erst einmal den Zylinder selbst ein bisschen näher anschauen.

In einer Abbildung sieht ein Zylinder so aus:

Abbildung 1: Zylinder

Flächen und Netz des Zylinders

Wenn Du einen Zylinder ausrollst, kannst Du ihn in Grund-, Deck- und Mantelfläche zerlegen. Das wird dann das Netz eines Zylinders genannt.

Abbildung 2: Netz eines Zylinders

Arten von Zylindern

Es gibt 4 verschiedene Arten von Zylindern:

1. gerade Zylinder
2. schiefe Zylinder
3. Zylinder ohne Deckfläche
4. Hohlzylinder

1. Gerader Zylinder

Gerade Zylinder sind die "normalen Zylinder", die bisher in diesem Artikel beleuchtet wurden. Die Höhe h steht hier senkrecht auf der Grundfläche G.

Wenn in diesem Artikel von einem Zylinder gesprochen wird, dann ist der gerade Zylinder gemeint.

Abbildung 3: Zylinder mit senkrechter Höhe

2. Schiefer Zylinder

Schiefe Zylinder sind genauso aufgebaut wie gerade Zylinder auch, jedoch besteht deren Mantelfläche aus einem Parallelogramm und keinem Rechteck, wodurch der Zylinder schief ist. Der Mittelpunkt der Deckfläche D steht hier nicht senkrecht auf dem Mittelpunkt der Grundfläche G.

Abbildung 4: Schiefer Zylinder

Der einzige Unterschied zwischen einem geraden Zylinder und einem schiefen Zylinder liegt in der Ermittlung der Höhe. Hier ist die Höhe das Lot, welches den Mittelpunkt der Deckfläche mit der Grundfläche verbindet.

Du kannst Dir das so vorstellen: Jetzt musst Du, um die Höhe zu ermitteln, eine senkrechte Linie vom Mittelpunkt der Deckfläche ziehen. Dann verlängerst du die Grundfläche. Diese beiden Strecken treffen sich dann an einem Punkt in einem 90° Winkel. Die Länge der Strecke zwischen dem Mittelpunkt der Deckfläche und der verlängerten Grundfläche entspricht der Höhe.

Das hört sich komplizierter an, als es ist. In einer Zeichnung verstehst Du schnell, was gemeint ist.

Abbildung 5: Schiefer Zylinder mit Höhe

Unabhängig davon, ob der Zylinder schief ist, kann die Formel zur Berechnung des Volumens V eines geraden Zylinders verwendet werden.

3. Zylinder ohne Deckfläche

Eine weitere Art von Zylinder sind Zylinder ohne Deckfläche. Das bedeutet, dass sie oben sozusagen offen sind.

Abbildung 6: Zylinder ohne Deckfläche

Um den Oberflächeninhalt O eines Zylinders ohne Deckfläche D zu berechnen, muss der Oberflächeninhalt O eines "normalen" Zylinders berechnet werden, aber mit nur einer Kreisfläche, da die andere ja fehlt.

4. Hohlzylinder

Hohlzylinder sind Zylinder, die in der Mitte ein Loch haben. Im Prinzip bestehen sie aus zwei Zylindern: Einer, der außen liegt und gefüllt ist und einer, der innerhalb des anderen Zylinders liegt, mit der gleichen Höhe, aber einem kleineren Radius/Umfang und hohl ist.

Abbildung 7: Hohlzylinder

Aufgrund dessen werden das Volumen V und der Oberflächeninhalt O anders, als bei einem geraden Zylinder berechnet.

Schrägbild eines Zylinders zeichnen

Jetzt weißt Du, was ein Zylinder ist und was ihn ausmacht. Im Folgenden findest Du eine Anleitung, wie Du ihn zeichnen kannst.

Zeichnung	Anleitung
Abbildung 8: Zylinder zeichnen Schritt 1	Zeichne eine waagrechte Linie mit der Länge des Durchmessers. Markiere Dir die Mitte dieser Strecke mit einem Punkt und beschrifte diesen mit (Mittelpunkt der Grundfläche).
Abbildung 9: Zylinder zeichnen Schritt 2	Zeichne jetzt eine senkrechte Linie durch den Mittelpunkt mit der Länge des Radius (Je die Hälfte der Länge des Radius auf jeder Seite).
Abbildung 10: Zylinder zeichnen Schritt 3	Verbinde die vier Enden zu einem verzogenen Kreis beziehungsweise einer Ellipse.
Abbildung 11: Zylinder zeichnen Schritt 4	Am rechten und linken Ende zeichne eine senkrechte Linie nach oben mit der Länge der Höhe des Zylinders ein.
Abbildung 12: Zylinder zeichnen Schritt 5	Verbinde diese beiden Enden oben mit einer waagrechten Linie. Setzte auch hier wieder einen Punkt in der Mitte der Strecke und beschrifte ihn mit (Mittelpunkt der Deckfläche).
Abbildung 13: Zylinder zeichnen Schritt 6	Als Nächstes zeichnest Du wieder eine waagrechte Linie durch den oberen Mittelpunkt mit der Länge des Radius (halber Radius zu jeder Seite).
Abbildung 14: Zylinder zeichnen Schritt 7	Verbinde die vier oberen Enden zu einem Kreis beziehungsweise einer Ellipse.
Abbildung 15: Zylinder zeichnen Schritt 8	Zum Schluss kannst Du alle Linien, die Du nur für das Zeichnen gebraucht hast, wegradieren.

Berechnen des Volumens eines Zylinders

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders setzt sich zusammen aus einer allgemeinen Formel:

In diesem Fall ist die Grundfläche ein Kreis, weshalb G mit dem Flächeninhalt eines Kreises ersetzt werden kann.

Für die Formel brauchst Du den Radius r oder den Durchmesser d, die Höhe h und die Kreiszahl π, welche ungefähr 3,41 beträgt.

Die Mantelfläche eines Zylinders

Wie bereits erwähnt erhältst Du unter anderem die Mantelfläche, wenn Du einen Kegel zerlegst. Diese Mantelfläche kann berechnet werden. Aber schaue Dir erst einmal genauer an, was die Mantelfläche überhaupt ist.

Die Mantelfläche wird in Rechnungen meistens mit dem Großbuchstaben M ausgedrückt. Da sie die Form eines Rechtecks besitzt, kann sie auch wie ein solches berechnet werden.

Abbildung 16: Mantelfläche Zylinder

In diesem Fall entspricht die Seite a dem Umfang U und die Seite b der Höhe h des Zylinders.

Berechnen des Oberflächeninhalts eines Zylinders

Die Formel für den Oberflächeninhalt O setzt sich zusammen aus der Summe der Einzelflächen des Zylinders. Wie Du oben gesehen hast, besteht ein Zylinder aus drei Flächen: der rechteckigen Mantelfläche M, der kreisförmigen Deckfläche D und der gleich großen Grundfläche G. Wenn Du den Flächeninhalt der Flächen addierst, erhältst Du die Formel für den Oberflächeninhalt.

Dabei ist O der Oberflächeninhalt, π die Kreiszahl, r der Radius und h die Höhe eines beliebigen Zylinders.

Formelsammlung zum Zylinder

Zur Übersicht wurden in der folgenden Tabelle alle Formeln, die Du zur Berechnung eines Kegels brauchen könntest, zusammengefasst. Falls Du mal nicht weiterkommst, kannst Du Dich hier orientieren.

Zur Referenz ist hier nochmal ein beschrifteter Zylinder abgebildet, sodass Du sehen kannst, was die einzelnen Größen nochmal bedeuten.

Abbildung 17: beschrifteter Zylinder

Parameter	Formel
Durchmesser d
Umfang U
Grundfläche G/Deckfläche D
Mantelfläche M
Oberflächeninhalt O
Volumen V