Bernoulli Experiment

Schau Dir dazu Josh's Dreh am Glücksrad an. Josh möchte natürlich den Hauptgewinn drehen. Wenn das Glücksrad also bei dem Feld mit den 30 % anhält, dann hat Josh gewonnen. Dieses Ergebnis wäre der "Treffer". Wenn das Glücksrad jedoch auf den 7 anderen Felder stehen bleibt, dann würde Josh den Hauptgewinn nicht erhalten. Das wäre dann die "Niete".

Abbildung 2: Treffer und Nieten

Das Glücksrad hat insgesamt 8 gleich große Felder. Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit, dass das Glücksrad auf genau einem bestimmten Feld landet, beträgt $\frac{1}{8}$. Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass Josh den Hauptgewinn (Treffer) dreht folgende:

$p=\frac{1}{8}$

Die Gegenwahrscheinlichkeit (Niete) erhältst Du, indem Du $p$ von 1 abziehst:

$\begin{array}{rcl}q& =& 1-p=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Josh nicht gewinnt, liegt bei $q=\frac{7}{8}$. Diese Werte kannst Du auch in Prozent umrechnen, um die Wahrscheinlichkeiten besser zu veranschaulichen.

$$\begin{gathered} p=\frac{1}{8}=0,125\Rightarrow 12,5\% \\ q=\frac{7}{8}=0,875\Rightarrow 87,5\% \end{gathered}$$

Josh dreht den Hauptgewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von$12,5\%$.

Aufgabe 2

Emma möchte bei einem Wurf von zwei Würfeln genau die Augensumme 9 werfen. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, Gegenwahrscheinlichkeit und den Erwartungswert.

Lösung

Strukturiere das Experiment in Treffer und Niete. Der Treffer ist in diesem Fall, wenn Emma mit zwei Würfeln genau die Augensumme 9 würfelt. Die Nieten sind hier alle Augensummen, die nicht 9 ergeben. Und welche Augenzahlen müssen die beiden Würfel haben, dass insgesamt 9 rauskommt?

Abbildung 4: Augensumme 9

Abbildung 5: Augensumme 9

Das bedeutet, Emma muss entweder eine 6 und eine 3 würfeln oder eine 5 und eine 4. Eine bestimmte Augenzahl zu werfen, hat allgemein die Wahrscheinlichkeit von $p=\frac{1}{6}$. Weil Emma in beiden Fällen zwei bestimmte Augenzahlen werfen muss, um auf die Augensumme 9 zu kommen, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine 6 und eine 3 oder eine 4 und eine 5 zu werfen $\frac{1}{6}·\frac{1}{6}+\frac{1}{6}·\frac{1}{6}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$. Dabei ist dann aber noch zu beachten, dass Emma auch eine 3 und eine 6 oder eine 5 und eine 4 werfen könnte, also $\frac{1}{6}·\frac{1}{6}+\frac{1}{6}·\frac{1}{6}=\frac{1}{18}$.

Das bedeutet, es gibt jeweils zwei Reihenfolgen, in denen diese Augenzahlen geworfen werden können. Das beziehst Du dann so in die Rechnung ein:

$\begin{array}{rcl}p& =& 2·\left(\frac{1}{6}·\frac{1}{6}\right)+2·\left(\frac{1}{6}·\frac{1}{6}\right)\\ & & \\ & =& 2·\frac{1}{36}+2·\frac{1}{36}\\ & & \\ & =& \frac{1}{18}+\frac{1}{18}\\ & & \\ & =& \frac{1}{9}\approx 0,1111\end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme genau 9 ergibt, ist $p=0,1111$ oder $11,11\%$.

Um die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen, ziehst Du die Wahrscheinlichkeit von 1 ab.

id="3051596" role="math" $\begin{array}{rcl}q& =& 1-p=1-0,1111=0,8889\end{array}$

Die Gegenwahrscheinlichkeit beträgt $q=0,8889$ oder $88,89\%$.

Weil der Erwartungswert der Wahrscheinlichkeit entspricht, musst Du das gar nicht berechnen.

$E\left(X\right)=0,1111$

Der Erwartungswert beträgt $E\left(X\right)=0,1111$.

Aufgabe 3

Josh und Emma spielen eine Runde Roulette. Das Rouletterad besteht aus 37 Feldern. Die Felder 1-36 sind abwechselnd schwarz und rot und das Feld 0 ist grün. Beim Roulette kann auf bestimmte Chancen gesetzt werden.

1. Josh und Emma setzten 20 € auf die Farbe Rot. Landet die Kugel auf dem roten Feld, verdoppelt sich der Einsatz. Gebe die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer an.
2. Die beiden setzen 5 € auf ein "Dutzend", und zwar auf die Zahlen 13-24. Gib die Wahrscheinlichkeit für eine Niete an.

Lösung

1. Es gibt insgesamt 37 Felder. Davon sind 18 Felder rot. Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer beträgt:

$p=\frac{18}{37}\approx 0,49$

Josh und Emma verdoppeln ihren Einsatz also zu $49\%$.

2. Die Zahlen 13-24 nehmen insgesamt 12 Felder ein. Die Wahrscheinlichkeit für eine Niete ist:

$\begin{array}{rcl}q& =& 1-p\\ & & \\ & =& 1-\frac{12}{37}\\ & & \\ & =& \frac{25}{37}\approx 0,68\end{array}$

Josh und Emma verlieren ihren Einsatz also zu $68\%$.