Bernoulli Experiment

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Josh dreht bei einer Aktion eines Bekleidungsgeschäfts einmalig an einem Glücksrad. Das Glücksrad hat 8 Felder mit jeweils gleicher Größe. Auf einem Feld liegt der Hauptgewinn, und zwar ein Rabattcode von 30 % auf alle Waren.

Bernoulli-Experiment Glücksrad Bernoulli-Experiment Beispiele StudySmarter Abbildung 1: Glücksrad

Bei diesem Dreh handelt es sich um ein sogenanntes Bernoulli-Experiment. Was das ist und was es mit Josh's Gewinnchancen zu tun hat, erfährst Du in dieser Erklärung!

Wahrscheinlichkeitsverteilung – Bernoulli-Experiment

Ein Element der Wahrscheinlichkeitsverteilung sind sogenannten Zufälle. So was kennst Du bestimmt auch! Zufälle sind beispielsweise, wenn ein Freund und Du genau das gleiche Shirt anzieht, ohne sich vorher abzusprechen. In der Mathematik werden Zufälle durch Modelle dargestellt. Diese Modelle werden Zufallsexperimente genannt. Ein Element der Wahrscheinlichkeitsverteilung ist das Bernoulli-Experiment.

Falls auf dem Gebiet noch Unklarheiten herrschen, schau doch mal bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung vorbei.

Bernoulli-Experiment – Definition

Und was genau ist ein Bernoulli-Experiment? Bernoulli-Experimente sind unter anderem:

Das Werfen einer Münze mit dem Ziel Kopf/Zahl zu werfen
Das Werfen eines Würfels mit dem Ziel eine bestimmte Ziffer zu würfeln
Das Spielen von Roulette

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, das genau zwei Ereignisse als Ergebnis hat. Diese zwei Ergebnisse werden allgemein als "Treffer" und "Niete" genannt. Die Ergebnismenge sieht also so aus:

$Ω = {A; A} = {T r e f f e r; N i e t e}$

Das gilt also für jedes Zufallsexperiment, das genau zwei mögliche Versuchsausgänge hat.

Bernoulli-Experiment – Merkmale & Bedingungen

Zusammengefasst sind die Bedingungen und Merkmale für ein Bernoulli-Experiment folgende:

Das Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment
Bei einem Bernoulli-Experiment gibt es zwei Ausgänge ("Treffer" oder "Niete")

Das Besondere an einem Bernoulli-Experiment ist also, dass es immer nur zwei Ausgänge für das Experiment gibt.

Schau Dir dazu Josh's Dreh am Glücksrad an. Josh möchte natürlich den Hauptgewinn drehen. Wenn das Glücksrad also bei dem Feld mit den 30 % anhält, dann hat Josh gewonnen. Dieses Ergebnis wäre der "Treffer". Wenn das Glücksrad jedoch auf den 7 anderen Felder stehen bleibt, dann würde Josh den Hauptgewinn nicht erhalten. Das wäre dann die "Niete".

Bernoulli-Experiment Treffer Niete Bernoulli-Experiment Bedingungen Merkmale StudySmarter Abbildung 2: Treffer und Nieten

Sind diese Merkmale und Bedingungen bei einem Zufallsexperiment erfüllt, handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment.

Bernoulli-Experiment – Formel

Wahrscheinlichkeiten können in der Mathematik durch Werte dargestellt werden. Das ist auch bei Bernoulli-Experimenten möglich. Bei einem Bernoulli-Experiment kannst Du die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer und für eine Niete angeben. Die Wahrscheinlichkeit einer Niete wird auch allgemein als Gegenwahrscheinlichkeit bezeichnet.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer wird als $p$ bezeichnet und die Gegenwahrscheinlichkeit als $q = 1 - p$ .

Die Wahrscheinlichkeit variiert je nach Zufallsexperiment. Werden die Wahrscheinlichkeit und Gegenwahrscheinlichkeit addiert, dann ergibt das immer: $p + q = 1$ , denn in der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es nicht mehr als $100 %$ , also ein Ganzes.

Bernoulli-Experiment – Beispiele

Schau Dir diese Wahrscheinlichkeiten gerne anhand des Glücksrads an.

Das Glücksrad hat insgesamt 8 gleich große Felder. Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit, dass das Glücksrad auf genau einem bestimmten Feld landet, beträgt $\frac{1}{8}$ . Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass Josh den Hauptgewinn (Treffer) dreht folgende:

$p = \frac{1}{8}$

Die Gegenwahrscheinlichkeit (Niete) erhältst Du, indem Du $p$ von 1 abziehst:

$\begin{array}{rcl} q & = & 1 - p = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Josh nicht gewinnt, liegt bei $q = \frac{7}{8}$ . Diese Werte kannst Du auch in Prozent umrechnen, um die Wahrscheinlichkeiten besser zu veranschaulichen.

$p = \frac{1}{8} = 0, 125 \Rightarrow 12, 5 % q = \frac{7}{8} = 0, 875 \Rightarrow 87, 5 %$

Josh dreht den Hauptgewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von $12, 5 %$ .

Wird dieses Experiment öfter wiederholt, dann handelt es sich um eine Bernoulli-Kette.

Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

Wenn ein Zufallsexperiment, das den Bedingungen und Merkmalen eines Bernoulli-Experiments entspricht, eine bestimmte Anzahl $n$ wiederholt wird und die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ dabei immer gleich bleibt, handelt es sich um eine Bernoulli-Kette. Die Zufallsvariable $X$ ist binomialverteilt und beschreibt die Anzahl $X$ an Treffern. Die Formel, die eine Bernoulli-Kette beschreibt, lautet so:

$P (X = k) = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}$

Und was bedeuten diese ganzen Variablen?

$X$ ist eine binomialverteilte Zufallsgröße
$k$ beschreibt die Anzahl an Treffern
$n$ beschreibt die Anzahl an Versuchen
$p$ beschreibt die Trefferwahrscheinlichkeit

Möchtest Du Dir die Bernoulli-Kette und die Binomialverteilung genauer anschauen? Dann klick Dich gerne in die Erklärungen "Bernoulli-Kette" und "Binomialverteilung" rein.

Und wie sähe das bei Josh aus?

Aufgabe 1

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Josh von 20 Drehungen am Glücksrad genau 5-mal den Hauptgewinn dreht.

Bernoulli-Experiment Binomialverteilung Bernoulli-Experiment Bedingungen Merkmale StudySmarter Abbildung 3: Josh dreht am Glücksrad

Lösung

Die Anzahl an Versuchen ist in diesem Fall $n = 20$ . Davon soll Josh genau 5-mal einen Treffer erzielen. Das bedeutet $k = 5$ . Die Trefferwahrscheinlichkeit $p = \frac{1}{8}$ und bleibt in jeder Durchführung des Versuchs gleich. Setze die Werte in die Formel ein:

$P (X = 5) = (\begin{matrix} 20 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{5} \cdot {(1 - \frac{1}{8})}^{20 - 5}$

Und löse auf:

$\begin{array}{rcl} P (X & = & 5) = (\begin{matrix} 20 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{8})}^{5} \cdot {(\frac{7}{8})}^{15} \\ \approx & 15504 \cdot 0, 0000305 \cdot 0, 135 \\ \approx & 0, 064 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Josh von 20-mal Drehen genau 5-mal den Hauptgewinn dreht, beträgt $6, 4 %$ .

Bernoulli-Kette mindestens

Bei einer Bernoulli-Kette lässt sich die sogenannte Mindestwahrscheinlichkeit berechnen. Ein Beispiel für die Mindestwahrscheinlichkeit ist die 3-mal mindestens Aufgabe. Schau Dir dazu gerne die Erklärung "Dreimal mindestens Aufgaben" an.

Bernoulli-Experiment – Erwartungswert

Der Erwartungswert gibt allgemein an, welchen Wert die Zufallsvariable $X$ bei mehrfach wiederholten Zufallsexperimenten im Durchschnitt annimmt. Wird das Bernoulli-Experiment jedoch einmalig durchgeführt, dann kann so direkt kein Mittel oder Durchschnitt ermittelt werden.

Der Erwartungswert $E (X)$ eines Bernoulli-Experiments entspricht der Wahrscheinlichkeit $p$ .

$E (X) = p$

Das bedeutet, dass Du den Erwartungswert für ein Bernoulli-Experiment gar nicht erst berechnen musst.

Aufgabe 2

Emma möchte bei einem Wurf von zwei Würfeln genau die Augensumme 9 werfen. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, Gegenwahrscheinlichkeit und den Erwartungswert.

Lösung

Strukturiere das Experiment in Treffer und Niete. Der Treffer ist in diesem Fall, wenn Emma mit zwei Würfeln genau die Augensumme 9 würfelt. Die Nieten sind hier alle Augensummen, die nicht 9 ergeben. Und welche Augenzahlen müssen die beiden Würfel haben, dass insgesamt 9 rauskommt?

Bernoulli-Experiment Würfel Bernoulli-Experiment Erwartungswert StudySmarter Abbildung 4: Augensumme 9

Bernoulli-Experiment Würfel Bernoulli-Experiment Erwartungswert StudySmarter Abbildung 5: Augensumme 9

Das bedeutet, Emma muss entweder eine 6 und eine 3 würfeln oder eine 5 und eine 4. Eine bestimmte Augenzahl zu werfen, hat allgemein die Wahrscheinlichkeit von $p = \frac{1}{6}$ . Weil Emma in beiden Fällen zwei bestimmte Augenzahlen werfen muss, um auf die Augensumme 9 zu kommen, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine 6 und eine 3 oder eine 4 und eine 5 zu werfen $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ . Dabei ist dann aber noch zu beachten, dass Emma auch eine 3 und eine 6 oder eine 5 und eine 4 werfen könnte, also $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{18}$ .

Wie Du darauf kommst, kannst Du in den Artikeln "1. Pfadregel - Das Produkt von Wahrscheinlichkeiten" und "2. Pfadregel - Die Summe von Wahrscheinlichkeiten" nachlesen.

Das bedeutet, es gibt jeweils zwei Reihenfolgen, in denen diese Augenzahlen geworfen werden können. Das beziehst Du dann so in die Rechnung ein:

$\begin{array}{rcl} p & = & 2 \cdot (\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}) + 2 \cdot (\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}) \\ = & 2 \cdot \frac{1}{36} + 2 \cdot \frac{1}{36} \\ = & \frac{1}{18} + \frac{1}{18} \\ = & \frac{1}{9} \approx 0, 1111 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme genau 9 ergibt, ist $p = 0, 1111$ oder $11, 11 %$ .

Um die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen, ziehst Du die Wahrscheinlichkeit von 1 ab.

id="3051596" role="math" $\begin{array}{rcl} q & = & 1 - p = 1 - 0, 1111 = 0, 8889 \end{array}$

Die Gegenwahrscheinlichkeit beträgt $q = 0, 8889$ oder $88, 89 %$ .

Weil der Erwartungswert der Wahrscheinlichkeit entspricht, musst Du das gar nicht berechnen.

$E (X) = 0, 1111$

Der Erwartungswert beträgt $E (X) = 0, 1111$ .

Bernoulli-Experiment – Aufgaben

Jetzt weißt Du, wie Du die einzelnen Elemente von Bernoulli-Experimenten berechnest. Bist Du bereit für ein paar Übungsaufgaben?

Aufgabe 3

Bernoulli-Experiment Roulette Bernoulli-Experiment Aufgaben StudySmarter

Josh und Emma spielen eine Runde Roulette. Das Rouletterad besteht aus 37 Feldern. Die Felder 1-36 sind abwechselnd schwarz und rot und das Feld 0 ist grün. Beim Roulette kann auf bestimmte Chancen gesetzt werden.

Josh und Emma setzten 20 € auf die Farbe Rot. Landet die Kugel auf dem roten Feld, verdoppelt sich der Einsatz. Gebe die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer an.
Die beiden setzen 5 € auf ein "Dutzend", und zwar auf die Zahlen 13-24. Gib die Wahrscheinlichkeit für eine Niete an.

Lösung

1. Es gibt insgesamt 37 Felder. Davon sind 18 Felder rot. Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer beträgt:

$p = \frac{18}{37} \approx 0, 49$

Josh und Emma verdoppeln ihren Einsatz also zu $49 %$ .

2. Die Zahlen 13-24 nehmen insgesamt 12 Felder ein. Die Wahrscheinlichkeit für eine Niete ist:

$\begin{array}{rcl} q & = & 1 - p \\ = & 1 - \frac{12}{37} \\ = & \frac{25}{37} \approx 0, 68 \end{array}$

Josh und Emma verlieren ihren Einsatz also zu $68 %$ .

Bernoulli-Experiment – Das Wichtigste

Das Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment
Es gibt nur zwei mögliche Ausgänge bei einem Bernoulli-Experiment
Diese Ausgänge werden allgemein "Treffer" und "Niete" genannt
Es gibt eine Trefferwahrscheinlichkeit $p$ und die Gegenwahrscheinlichkeit $q = 1 - p$
Werden die Wahrscheinlichkeiten addiert, ist das Ergebnis 1
Wird ein Bernoulli-Experiment n-Mal durchgeführt, wird dies Bernoulli-Kette genannt
Um die Wahrscheinlichkeit der Anzahl an k Treffern in einer Bernoulli-Kette zu berechnen (dieser Sachverhalt wird Binomialverteilung genannt), dient die Formel $P (X = k) = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}$

Nachweise

Dorn et al. (2009). Gymnasium – Tafelwerk. Ernst Klett Verlag.
Becker et al. (2015). Duden – Formeln und Werte. Cornelsen Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Bernoulli Experiment

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, das genau zwei Ergebnisse hat. Diese werden allgemein "Treffer" und "Niete" genannt. Das Bernoulli-Experiment wird einmal durchgeführt.

Eine Bernoulli-Kette ist ein Bernoulli-Experiment, das n-Mal hintereinander durchgeführt wird. Die Wahrscheinlichkeiten der Experimente bleiben gleich und sind voneinander unabhängig.

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, das genau zwei mögliche Ergebnisse hat, und zwar einen "Treffer" oder eine "Niete". Das heißt, die Bedingung ist, dass ein Bernoulli-Experiment nur zwei mögliche Ergebnisse besitzen darf.

Die Binomialverteilung beschreibt, dass das Bernoulli-Experiment n-Mal wiederholt wurde. Das Bernoulli-Experiment allgemein ist ein einstufiges Zufallsexperiment.

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Ist das Bernoulli-Experiment ein Zufallsexperiment?

Ja.

Was sind die Merkmale eines Bernoulli-Experiments?

Es gibt nur zwei mögliche Ergebnisse
Diese werden als "Treffer" und "Niete" bezeichnet

Was ist eine Binominal-Kette?

Eine Anzahl n an Binomial-Experimenten.

Bernoulli-Experiment, oder nicht?

Josh möchte genau die Ziffer 3 würfeln.

Ja.

Ist Folgendes ein Bernoulli-Experiment oder nicht?

Josh würfelt 10-mal und summiert die Augenzahlen.

Nein.

Beim Roulette wird auf ungerade Zahlen gesetzt.

Handelt es sich hier um ein Bernoulli-Experiment oder nicht?

Ja.

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