Ereignis

Stell Dir vor, Du wirfst eine Münze, die zwei verschiedene Motive auf den jeweiligen Seiten hat. Oft werden sie beispielsweise als Kopf oder Zahl bezeichnet. Welche Seite wird nach dem Wurf oben liegen?

Da die Münze nur zwei Seiten (Kopf oder Zahl) besitzt, sind nur diese beiden Ausgänge möglich. Es kann demnach die Ergebnismenge $\Omega$ definiert werden mit:

$\Omega =\left\{Kopf;Zahl\right\}$

Welcher dieser beiden Ausgänge eintritt, ist jedoch nicht klar. Es ist auch unwichtig, wie oft Du die Münze nach oben wirfst: Der Ausgang ist immer zufällig. Sowohl Kopf als auch Zahl sind möglich.

Es soll ein Zufallsexperiment mit einem Spielwürfel durchgeführt werden. Dabei wird die nach dem Wurf oben liegende Zahl betrachtet. Welche Ausgänge können in dem Zufallsexperiment „Würfeln einer Zahl“ auftreten?

Du kannst nun Teilmengen der Ergebnismenge bilden, um ein gewünschtes Ergebnis festzulegen. Diese Teilmengen werden Ereignis genannt.

Die Teilmenge A etwa gibt das Ereignis "Würfeln einer geraden Zahl" an:

$A=\left\{2;4;6\right\}$

Ein weiteres Ereignis B könnte beispielsweise das „Würfeln der Zahl 5“ sein. Dies würde dann als Teilmenge B wie folgt dargestellt werden:

$B=\left\{5\right\}$

Das Zufallsexperiment wird nun auf das Ereignis untersucht. Wird eine gerade Zahl (A) beziehungsweise die Zahl 5 (B) geworfen, tritt das Ereignis ein.

Ist dies nicht der Fall, tritt das gewünschte Ereignis nicht ein.

Sieh Dir dazu erneut das Beispiel eines Würfels an. Du kannst dabei alle Zahlen zwischen eins bis sechs würfeln.

Die Ergebnismenge lautet also $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$, mit den möglichen Ergebnissen $\omega =1$ oder $\omega =2$oder $\omega =3$ und so weiter (je nachdem, was dann tatsächlich gewürfelt wird)

Ein Ereignis kann zum Beispiel sein, dass eine gerade Zahl geworfen werden soll. Dieses Ereignis A würde also lauten:

$A=\{2,4,6\}$

Eine Urne ist mit 3 roten Kugeln und 2 türkisen Kugeln gefüllt. Ohne diese zu sehen, ziehst Du zufällig eine davon.

Die Ergebnismenge sieht demnach wie folgt aus:

$\Omega =\{rK,rK,rK,tK,tK\}$

Ein Ereignis könnte sein:

Ereignis A: "Ziehe eine rote oder eine türkise Kugel"

Abbildung 1: Urne mit verschiedenfarbigen Kugeln

Der komplette Ergebnisraum des Zufallsexperiments ist hiermit beschrieben:

$\begin{array}{rcl}rK& =& roteKugel\\ tK& =& türkiseKugel\\ \Omega & =& \{rK;rK;rK;tK;tK\}\end{array}$

Unabhängig davon, was Du ziehst, kann es nur eine rote oder eine türkise Kugel sein, also tritt das Ereignis auf jeden Fall ein.

$ErgebnisA=\left\{tK\right\}$

Du hast als Ergebnis eine blaue Kugel gezogen. Das gewünschte Ereignis ist demnach eingetroffen.

Du bist mit Deiner Familie auf einem Volksfest an einem Stand stehen geblieben, an dem Du an einem Glücksrad drehen kannst. Für die unterschiedlichen Segmente gibt es jedes Mal einen anderen Preis.

Die unterschiedlichen Segmente auf dem Glücksrad bilden zusammen die Ergebnismenge Ω.

Du siehst hier auf dem Glücksrad 8 Segmente, ausgeschrieben würde das so aussehen:

$\Omega =\{S_1,S_2,S_3,S_4,S_5,S_6,S_7,S_8\}$$ZurbesserenLesbarkeit:Segment=S\Omega =\{S_1;S_2;S_3;S_4;S_5;S_6;S_7;S_8\}$

Jedes dieser Segmente steht für einen anderen Preis, also ein anderes Elementarereignis, wenn der Zeiger nach dem Drehen darauf stehen bleibt.

Du drehst das Rad und der Zeiger bleibt auf Segment 3 stehen. Demnach kannst Du folgendes notieren:

$\omega =S_3$

Das Elementarereignis ist in diesem Fall das Stehenbleiben des Zeigers auf Segment 3 des Glücksrades.

Ein weiteres Mal wird ein nicht gezinkter Würfel geworfen.

Ereignis A: "Würfle eine Zahl von $1-6$"

Das Ereignis ist also:

$A=\hspace{0.17em}\{1;2;3;4;5;6\}$

Das sind alle Elemente der Ergebnismenge (des Ergebnisraums) $\Omega$ eines Würfels mit sechs Seiten (und den Zahlen von $1-6$).

Demnach wirst Du auf jeden Fall eine dieser Zahlen würfeln, es handelt sich also um ein sicheres Ereignis.

Ereignis B: "Würfle eine Zahl kleiner 7"

Das Ereignis ist auch hier:

$B=\hspace{0.17em}\{1;2;3;4;5;6\}$

Es entsprechen alle möglichen Ergebnisse dem Ereignis, dass jede Zahl kleiner sieben ist.

Du bekommst also auch hier ein sicheres Ereignis.

Vor Dir liegt wieder der sechsseitige Würfel, welchen Du nun würfelst.

Die Ergebnismenge des sechsseitigen Würfels lautet:

$\Omega =\{1;2;3;4;5;6\}$

Das Ereignis A lautet: "Würfle eine $7$"

$A=\left\{7\right\}$

Du siehst also, dass keine Zahl aus der Ergebnismenge dem gewünschten Ereignis A entspricht. Deshalb ist es unmöglich, dass dieses Ereignis jemals eintritt. Es handelt sich um ein unmögliches Ereignis.

Stell Dir noch einmal vor, dass Du aus der Urne mit den 5 Kugeln eine Kugel ziehen kannst.

Abbildung 2: Urne mit verschiedenfarbigen Kugeln

Das gewünschte Ereignis A lautet: "Ziehe eine türkise Kugel"

Wenn Du nun eine rote Kugel ziehst, ist dies das Gegenereignis $\overline{A}$.

Abbildung 3: Gegenereignis

Gegenereignis:

$\overline{A}=\Omega \backslash A$

Alle Elemente der Menge A und des Gegenereignisses $\overline{A}$ entsprechen also dem sogenannten Universum $\Omega$.

Dieses Beispiel zeigt die Ereignisse A und B.

Die Ereignisse haben keine gemeinsamen Elemente, daher sind sie disjunkt.

Abbildung 10: Disjunkte Ereignisse

Ereignis A: Beim Wurf eines Würfels wird eine ungerade Zahl geworfen.

$A=\{1;3;5\}$

Ereignis B: Beim Wurf eines Würfels wird eine gerade Zahl geworfen.

$B=\{2;4;6\}$

Hierbei ist zu sehen, dass beide Ereignisse unterschiedliche Elemente in ihren Teilmengen besitzen. Daher gilt:

$A\cap B=\varnothing$

Aufgabe

Vor Dir steht eine Urne gefüllt mit 5 roten Kugeln. Das Ereignis B lautet: Ziehe 1 türkise Kugel.

Ermittle dieses Ereignis B.

Abbildung 12: Urne mit einfarbigen Kugeln

Da es in der Ergebnismenge keine blauen Kugeln gibt, sondern nur grüne, ist es unmögliche eine blaue Kugel zu ziehen. Somit handelt es sich bei dem Ereignis B um eine leere Menge { }.

$\begin{array}{rcl}rK& =& roteKugel\\ \Omega & =& \{rK;rK;rK;rK;rK\}\end{array}$