Ereignis

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Vielleicht hast Du schon einmal das Würfelspiel Kniffel gespielt. Dabei kannst Du mit fünf Würfeln verschiedene Kombinationen "erwürfeln", vom Einser und Sechser bis hin zum Full House oder Kniffel. Alle diese Kombinationen kann man als sogenanntes Ereignis eines Zufallsexperiments bezeichnen.

Ereignis Ereignis von Zahlen StudySmarter

Für eine Straße gilt zum Beispiel, dass die Kombinationen 1-2-3-4-5 oder auch 2-3-4-5-6 möglich sind. Dabei stellt das Ereignis ein wichtiges Konstrukt aus der Stochastik dar, mit dem Du dann auch Wahrscheinlichkeiten berechnen kannst.

Ereignis – Grundlagenwissen Zufallsexperiment

Was genau ist mit dem Begriff „Zufallsexperiment“ eigentlich gemeint ist und in welcher Verbindung steht es zum Ereignis?

Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, der unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholt werden kann und mindestens zwei zufällige, einander ausschließende Ausgänge hat. Die Ausgänge werden in der Ergebnismenge $Ω$ bzw. dem Ergebnisraum $Ω$ dargestellt.

Ein Beispiel für so ein Zufallsexperiment wäre ein Münzwurf.

Stell Dir vor, Du wirfst eine Münze, die zwei verschiedene Motive auf den jeweiligen Seiten hat. Oft werden sie beispielsweise als Kopf oder Zahl bezeichnet. Welche Seite wird nach dem Wurf oben liegen?

Ereignis Münze StudySmarter

Da die Münze nur zwei Seiten (Kopf oder Zahl) besitzt, sind nur diese beiden Ausgänge möglich. Es kann demnach die Ergebnismenge $Ω$ definiert werden mit:

$Ω = \{K o p f; Z a h l\}$

Welcher dieser beiden Ausgänge eintritt, ist jedoch nicht klar. Es ist auch unwichtig, wie oft Du die Münze nach oben wirfst: Der Ausgang ist immer zufällig. Sowohl Kopf als auch Zahl sind möglich.

Möchtest Du noch mehr über Zufallsexperimente erfahren? Dann sieh Dir gerne den Artikel Zufallsexperiment an. Nähere Informationen zu den Mengen allgemein findest Du unter Mengenalgebra und zu Wahrscheinlichkeiten und wie Du sie konkret berechnest, kannst Du bei Regeln Wahrscheinlichkeitsrechnung vorbeisehen.

Ereignis Eigenschaften

Zahlen oder auch das Beispiel eines Würfels eignen sich hervorragend, um sich Konzepte aus der Stochastik bildlich zu überlegen. Nach der kurzen Wiederholung wirst Du auch den Unterschied zwischen Ereignis und Ergebnis lernen.

Ereignis Definition

In der Stochastik und dem zugehörigen Teilbereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung, wird der Begriff Ereignis dazu verwendet, einen oder mehrere Ausgänge eines Zufallsexperiments zu beschreiben.

Bei einem Zufallsexperiment wird eine Teilmenge A des gesamten Ergebnisraums $Ω$ eines Zufallsexperiments als Ereignis bezeichnet.

Ein Ereignis gibt eine vorher festgelegte Möglichkeit an, wie das Zufallsexperiment ausgehen könnte. Am besten lässt sich dies an einem Beispiel zeigen.

Es soll ein Zufallsexperiment mit einem Spielwürfel durchgeführt werden. Dabei wird die nach dem Wurf oben liegende Zahl betrachtet. Welche Ausgänge können in dem Zufallsexperiment „Würfeln einer Zahl“ auftreten?

Ereignis Ereignis und Ergebnis Würfel StudySmarter

Beim Würfeln handelt es sich konkret um ein Laplace-Experiment, da jedes Ergebnis der Ergebnismenge $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ gleich wahrscheinlich ist. Sie dazu gerne bei der Erklärung Laplace Experiment vorbei.

Du kannst nun Teilmengen der Ergebnismenge bilden, um ein gewünschtes Ergebnis festzulegen. Diese Teilmengen werden Ereignis genannt.

Die Teilmenge A etwa gibt das Ereignis "Würfeln einer geraden Zahl" an:

$A = \{2; 4; 6\}$

Ein weiteres Ereignis B könnte beispielsweise das „Würfeln der Zahl 5“ sein. Dies würde dann als Teilmenge B wie folgt dargestellt werden:

$B = \{5\}$

Das Zufallsexperiment wird nun auf das Ereignis untersucht. Wird eine gerade Zahl (A) beziehungsweise die Zahl 5 (B) geworfen, tritt das Ereignis ein.

Ist dies nicht der Fall, tritt das gewünschte Ereignis nicht ein.

Unterschied Ergebnis & Ereignis

Das Ergebnis ist ein möglicher Ausgang eines Zufallsexperimentes. Alle Ergebnisse zusammen werden in der Ergebnismenge $Ω$ zusammengefasst.

Ein Ereignis ist dabei eine vorher festgelegte Teilmenge dieser Ergebnismenge. Das bedeutet also, dass nur Teile dieses Ergebnisraumes tatsächlich betrachtet werden.

Sieh Dir dazu erneut das Beispiel eines Würfels an. Du kannst dabei alle Zahlen zwischen eins bis sechs würfeln.

Die Ergebnismenge lautet also $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , mit den möglichen Ergebnissen $ω = 1$ oder $ω = 2$ oder $ω = 3$ und so weiter (je nachdem, was dann tatsächlich gewürfelt wird)

Ein Ereignis kann zum Beispiel sein, dass eine gerade Zahl geworfen werden soll. Dieses Ereignis A würde also lauten:

$A = {2, 4, 6}$

Das Ereignis kann allerdings auch alle Zahlen beinhalten.

Ein weiteres Beispiel ist Dir im Folgenden für das Ziehen aus einer Urne gegeben, um den Unterschied zu erklären.

Eine Urne ist mit 3 roten Kugeln und 2 türkisen Kugeln gefüllt. Ohne diese zu sehen, ziehst Du zufällig eine davon.

Die Ergebnismenge sieht demnach wie folgt aus:

$Ω = {r K, r K, r K, t K, t K}$

Ein Ereignis könnte sein:

Ereignis A: "Ziehe eine rote oder eine türkise Kugel"

Ereignis Urne mit verschiedenfarbigen Kugeln StudySmarter Abbildung 1: Urne mit verschiedenfarbigen Kugeln

Der komplette Ergebnisraum des Zufallsexperiments ist hiermit beschrieben:

$\begin{array}{rcl} r K & = & r o t e K u g e l \\ t K & = & t ü r k i s e K u g e l \\ Ω & = & {r K; r K; r K; t K; t K} \end{array}$

Unabhängig davon, was Du ziehst, kann es nur eine rote oder eine türkise Kugel sein, also tritt das Ereignis auf jeden Fall ein.

$E r g e b n i s A = {t K}$

Du hast als Ergebnis eine blaue Kugel gezogen. Das gewünschte Ereignis ist demnach eingetroffen.

Wie Du in den unterschiedlichen Beispielen gesehen hast, gibt es also Ereignisse, die ein oder mehrere Ausgänge enthalten und auch welche, die wahrscheinlicher eintreten als andere.

Es gibt also unterschiedliche Arten von Ereignissen, diese verschiedenen Arten wirst Du im nachfolgenden Kapitel kennenlernen.

Ereignisse Arten & Unterscheidung

Du findest hier zu den verschiedenen Arten von Ereignissen einen Abschnitt mit wichtigen Informationen, damit Du diese unterscheiden kannst.

Elementarereignis

Der Ausdruck Elementarereignis ist ein Synonym für den Ausdruck Ergebnis. Du kannst also beide Begriffe verwenden, da hinter ihnen die gleiche Bedeutung steht.

Ein Elementarereignis $ω$ ist ein Ereignis, welches genau ein Element aus der Ergebnismenge $Ω$ enthält.

Das mathematische Symbol für ein Elementarereignis/ein Ergebnis ist der griechische Buchstabe "Klein-Omega" $ω$ .

Ein Elementarereignis beschreibt den Ausgang eines Zufallsexperiments und enthält dabei genau ein Ergebnis.

Du bist mit Deiner Familie auf einem Volksfest an einem Stand stehen geblieben, an dem Du an einem Glücksrad drehen kannst. Für die unterschiedlichen Segmente gibt es jedes Mal einen anderen Preis.

Ereignis Glücksrad StudySmarter

Die unterschiedlichen Segmente auf dem Glücksrad bilden zusammen die Ergebnismenge Ω.

Du siehst hier auf dem Glücksrad 8 Segmente, ausgeschrieben würde das so aussehen:

$Ω = {S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}, S_{5}, S_{6}, S_{7}, S_{8}}$ $Z u r b e s s e r e n L e s b a r k e i t : S e g m e n t = S Ω = {S_{1}; S_{2}; S_{3}; S_{4}; S_{5}; S_{6}; S_{7}; S_{8}}$

Jedes dieser Segmente steht für einen anderen Preis, also ein anderes Elementarereignis, wenn der Zeiger nach dem Drehen darauf stehen bleibt.

Du drehst das Rad und der Zeiger bleibt auf Segment 3 stehen. Demnach kannst Du folgendes notieren:

$ω = S_{3}$

Das Elementarereignis ist in diesem Fall das Stehenbleiben des Zeigers auf Segment 3 des Glücksrades.

Falls Du gerne wissen würdest, wie wahrscheinlich es ist, dass der Zeiger auf einem bestimmten Segment stehen bleibt, kannst Du dies auch berechnen.

Bei einem Zufallsexperiment mit endlichen und gleich wahrscheinlichen Ausgängen, (z.B. beim Drehen am Glücksrad mit acht gleichen Segmenten), lässt sich für das Eintreten eines jeden Ereignisses die Wahrscheinlichkeit berechnen.

Dazu wird die Anzahl der günstigen Fälle durch die Anzahl der möglichen Fälle geteilt.

Die Wahrscheinlichkeit p für ein Ereignis A - mit der Voraussetzung, dass alle Ereignisse gleich wahrscheinlich sind - lässt sich wie folgt definieren:

$p (A) = \frac{A n z a h l E l e m e n t a r e r e i g n i s s e v o n A}{G e s a m t a n z a h l d e r E l e m e n t a r e r e i g n i s s e}$

dabei gilt für jedes Ereignis $0 \leq p (A) \leq 1$ .

So lässt sich beim Drehen unseres Glücksrades die Wahrscheinlichkeit P eines der Felder (S₁) zu erreichen, folgendermaßen berechnen:

$P (S_{1}) = \frac{A n z a h l g ü n s t i g e F ä l l e}{A n z a h l M ö g l i c h k e i t e n} = \frac{1}{8}$

Nähere Informationen dazu findest Du in den Erklärungen Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Wahrscheinlichkeit.

Sicheres Ereignis

Ein sicheres Ereignis ist ein spezielles Ereignis. Es tritt auf jeden Fall ein, mit $100 %$ Wahrscheinlichkeit.

Enthält ein Ereignis $A$ eines Zufallsexperiments alle Ergebnisse $ω$ der Ergebnismenge Ω, so handelt es sich dabei um ein sicheres Ereignis.

Ein sicheres Ereignis $A$ enthält alle Elemente der Menge $Ω$ .

Das schreibst Du in der Mengenlehre so:

$A = Ω$

Du hast oben im Beispiel schon gesehen, dass die Ergebnismenge, also alle möglichen Ergebnisse (Elementarereignisse) auch $Ω$ sind. Ein sicheres Ereignis erhältst Du zum Beispiel so:

Ein weiteres Mal wird ein nicht gezinkter Würfel geworfen.

Ereignis Würfel StudySmarter

Ereignis A: "Würfle eine Zahl von $1 - 6$ "

Das Ereignis ist also:

$A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}$

Das sind alle Elemente der Ergebnismenge (des Ergebnisraums) $Ω$ eines Würfels mit sechs Seiten (und den Zahlen von $1 - 6$ ).

Demnach wirst Du auf jeden Fall eine dieser Zahlen würfeln, es handelt sich also um ein sicheres Ereignis.

Ereignis B: "Würfle eine Zahl kleiner 7"

Das Ereignis ist auch hier:

$B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}$

Es entsprechen alle möglichen Ergebnisse dem Ereignis, dass jede Zahl kleiner sieben ist.

Du bekommst also auch hier ein sicheres Ereignis.

Es gibt allerdings nicht nur die Möglichkeit, dass ein Ereignis auf jeden Fall eintritt. Stattdessen ist es nämlich genauso gut möglich, dass ein Ereignis auf keinen Fall möglich ist.

Unmögliches Ereignis

Ein unmögliches Ereignis ist ein Ereignis, das niemals eintreten kann.

Enthält ein Ereignis $A$ kein Element der Menge $Ω$ , so kann es unmöglich eintreten. Dies wird auch als leere Menge bezeichnet. Die leere Menge kann mit zwei unterschiedlichen Schreibweisen definiert werden, sie bedeuten beide dasselbe:

$\emptyset = {}$

Damit Du Dir genauer vorstellen kannst, was mit einem unmöglichen Ereignis gemeint ist, sieh Dir die folgenden Beispiele an:

Vor Dir liegt wieder der sechsseitige Würfel, welchen Du nun würfelst.

Ereignis Würfel StudySmarter

Die Ergebnismenge des sechsseitigen Würfels lautet:

$Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}$

Das Ereignis A lautet: "Würfle eine $7$ "

$A = {7}$

Du siehst also, dass keine Zahl aus der Ergebnismenge dem gewünschten Ereignis A entspricht. Deshalb ist es unmöglich, dass dieses Ereignis jemals eintritt. Es handelt sich um ein unmögliches Ereignis.

Ein Ereignis, welches keine Elemente der Ergebnismenge Ω enthält, heißt unmögliches Ereignis.

Verknüpfung von Ereignissen

Ereignisse können auch in Bezug zueinander betrachtet werden. Sie können miteinander verknüpft sein oder anders miteinander in Beziehung stehen, wie etwa beim Gegenereignis.

Gegenereignis

Eine der Mengenverknüpfungen stellt das Gegenereignis dar, das bereits durch seinen Namen beschrieben wird: Es stellt jeweils das Gegenteil eines bestimmten Ereignisses dar.

Stell Dir noch einmal vor, dass Du aus der Urne mit den 5 Kugeln eine Kugel ziehen kannst.

Ereignis Urne mit verschiedenfarbigen Kugeln StudySmarter Abbildung 2: Urne mit verschiedenfarbigen Kugeln

Das gewünschte Ereignis A lautet: "Ziehe eine türkise Kugel"

Wenn Du nun eine rote Kugel ziehst, ist dies das Gegenereignis $\bar{A}$ .

Ereignis Ereignis Gegenereignis in blau StudySmarter Abbildung 3: Gegenereignis

Gegenereignis:

$\bar{A} = Ω \ A$

Alle Elemente der Menge A und des Gegenereignisses $\bar{A}$ entsprechen also dem sogenannten Universum $Ω$ .

Allerdings kommt es auch vor, dass sich Elemente in beiden Mengen befinden und somit eine Schnitt- oder Vereinigungsmenge entsteht.

Schnitt- und Vereinigungsmenge

Wenn es um das Thema Ereignisse in der Mathematik geht, kann es Dir helfen vorher einige Schreibweisen mathematischer Ausdrücke aus der Mengenlehre anzusehen.

Diese ist ein Teilgebiet der Mathematik und beschäftigt sich mit der Zusammenfassung von Objekten. Sie ermöglicht es, Beziehungen und Verknüpfungen zwischen Objekten darzustellen.

So können zum Beispiel die Wörter mit dem Anfangsbuchstaben A in die Menge der Wörter mit dem Anfangsbuchstaben A gegeben werden. Wie in einem Wörterbuch.

Verknüpfung	Bezeichnung	Symbolische Schreibweise	Bedeutung
Abbildung 4: Schnittmenge in violett	Schnittmenge	$A \cap B$	Alle Elemente aus $Ω$ , die sowohl zu Ereignis A als auch zu Ereignis B gehören.
Abbildung 5: Gegenereignis der Schnittmenge in blau	Gegenereignis zur Schnittmenge	$\bar{A} \cup \bar{B} = \bar{A \cap B}$	Alle Elemente der Menge Ω, die nicht gleichzeitig zu A und B gehören.
Abbildung 6: Vereinigungsmenge in blau	Vereinigungsmenge	$A \cup B$	Alle Elemente der Menge Ω, die zu A oder B oder beiden gehören.
Abbildung 7: Gegenereignis der Vereinigungsmenge in blau	Gegenereignis zur Vereinigungsmenge	$\bar{A} \cap \bar{B} = \bar{A \cup B}$	Alle Elemente der Menge Ω, die weder zu A oder B gehören.
Abbildung 8: Differenzmenge in blau	Differenzmenge	$A \ B = A \cap \bar{B}$	Alle Elemente der Menge Ω, die zu A aber nicht zu B gehören.
Abbildung 9: Symmetrische Differenz in blau	Symmetrische Differenz	$(A \ B) \cup (B \ A)$	Alle Elemente der Menge Ω, die entweder zu A oder B gehören.

Bei einem Zufallsexperiment treten verschiedene Ergebnisse ein. Alle möglichen Ergebnisse werden in der Ergebnismenge zusammengefasst.

Ein Teil dieser Ergebnismenge ist das Ereignis. Tritt dieses Ereignis nicht ein, tritt das sogenannte Gegenereignis ein.

Disjunkte Ereignisse

Als disjunkte Ereignisse werden Ereignisse bezeichnet, welche sich gegenseitig ausschließen. Diese können also nicht gleichzeitig eintreten. Einfacher ausgedrückt bedeutet das: bei einem Versuch tritt als Ereignis entweder A oder B ein.

Es gelten zwei Ereignisse als disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben. Es gilt:

$P (A \cap B) = 0$

Bildlich vorstellen kannst Du Dir das folgendermaßen:

Dieses Beispiel zeigt die Ereignisse A und B.

Die Ereignisse haben keine gemeinsamen Elemente, daher sind sie disjunkt.

Ereignis disjunkte Ereignisse StudySmarter Abbildung 10: Disjunkte Ereignisse

Ereignis A: Beim Wurf eines Würfels wird eine ungerade Zahl geworfen.

$A = {1; 3; 5}$

Ereignis B: Beim Wurf eines Würfels wird eine gerade Zahl geworfen.

$B = {2; 4; 6}$

Hierbei ist zu sehen, dass beide Ereignisse unterschiedliche Elemente in ihren Teilmengen besitzen. Daher gilt:

$A \cap B = \emptyset$

Ereignis Baumdiagramm

Ein Baumdiagramm ist eine grafische Darstellung, mit der sich einzelne Elemente und deren Beziehung zueinander gut visualisieren lassen. Die Verästelungen zwischen den Elementen sind namensgebend für diese Art Diagramm.

Hast Du nun ein Zufallsexperiment mit mehreren Durchgängen, handelt es sich um ein sogenanntes mehrstufiges Zufallsexperiment.

Hier eignet sich die Darstellung mittels Baumdiagramm besonders, weil sich die verschiedenen Ausgänge so sehr übersichtlich darstellen lassen.

Wenn Du beispielsweise zweimal den Würfel aus dem bereits weiter oben angesprochenen Beispiel wirfst, kannst Du die beiden Durchgänge anhand eines Baumdiagramms darstellen.

Damit kannst Du direkt die Ereignisse und deren Gegenereignisse ablesen.

Im ersten Durchgang ist das gewünschte Ereignis A: "Werfe eine 6".

$\begin{array}{rcl} E r e i g n i s A & = & {6} \\ G e g e n e r e i g n i s \bar{A} & = & {1; 2; 3; 4; 5} \end{array}$

Gegenereignis von $A$ sind dabei alle anderen Zahlen $1 - 5$ und werden hier als $\bar{A}$ dargestellt.

Im zweiten Durchgang will man, dass Ereignis B: "Werfe eine 1", eintritt.

$\begin{array}{rcl} E r e i g n i s B & = & {1} \\ G e g e n e r e i g n i s \bar{B} & = & {2; 3; 4; 5; 6} \end{array}$

Gegenereignis von Ereignis $B$ wäre $\bar{B}$ , also die Zahlen $2 - 6$ zu werfen.

So kannst Du nun die Ereignisse in ein zweistufiges Baumdiagramm einzeichnen.

Ereignis Baumdiagramm für zwei Ereignisse StudySmarter Abbildung 11: Baumdiagramm für zwei Ereignisse

Du kannst Dir also merken, dass das Gegenereignis $\bar{A}$ zu einem Ereignis $A$ alle Ergebnisse enthält, die $A$ nicht enthält.

Ereignis Aufgaben

Nun kannst Du Dein Wissen praktisch auf die Probe stellen.

Aufgabe

Vor Dir steht eine Urne gefüllt mit 5 roten Kugeln. Das Ereignis B lautet: Ziehe 1 türkise Kugel.

Ermittle dieses Ereignis B.

Ereignis Urne mit einfarbigen Kugeln StudySmarter Abbildung 12: Urne mit einfarbigen Kugeln

Da es in der Ergebnismenge keine blauen Kugeln gibt, sondern nur grüne, ist es unmögliche eine blaue Kugel zu ziehen. Somit handelt es sich bei dem Ereignis B um eine leere Menge { }.

$\begin{array}{rcl} r K & = & r o t e K u g e l \\ Ω & = & {r K; r K; r K; r K; r K} \end{array}$

Ereignis – Das Wichtigste

Ergebnis/Elementarereignis: Ausgang $ω$ eines Zufallsexperiments.
Ergebnismenge: Menge $Ω$ aller möglichen Ergebnisse.
Teilmenge: Auswahl von Elementen aus einer Gesamtmenge von Elementen.
Ereignis: Teilmenge A einer Ergebnismenge $Ω$ .
Sicheres Ereignis: Ereignis, welches bei jedem Ergebnis eintritt.
Unmögliches Ereignis: Ereignis, welches bei keinem Ergebnis eintritt.
Baumdiagramm/Ereignisbaum: grafische Darstellungsform mit Verästelungen zwischen Elementen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Ereignis

Bei einem Ereignis handelt es sich in der Mathematik um einen Teil der Ergebnismenge eines Zufallsexperiments. Dabei kann das Werfen eines Würfels das Ereignis A = 1 beinhalten, was bedeutet, dass das Ereignis dafür steht, dass eine 1 gewürfelt wird. Es können auch alle Elemente der Ergebnismenge als Ereignis bezeichnet werden.

Ein Ereignis B ist disjunkt, sobald Ereignis A eingetreten ist und sich beide gegenseitig ausschließen, weil sie keine gemeinsamen Elemente besitzen. Das ist beim Werfen eines Würfels der Fall, wenn A die Augenzahlen kleiner gleich 3 und B die Augenzahlen größer gleich 4 beschreibt. Es gibt dabei keine gemeinsamen Elemente.

Ein unmögliches Ereignis tritt bei keinem Ergebnis eines Zufallsexperiments ein, da es keine Elemente der Ergebnismenge enthält. So kann beim Werfen eines Würfels die Zahl 0 niemals geworfen werden oder Paris kann nicht Teil von Deutschland sein.

Tritt bei einem Zufallsexperiment ein Ereignis nicht ein, tritt das Gegenereignis ein. Werden beim Würfeln anstatt des Ereignisses 1 eine andere Zahl gewürfelt, handelt es sich um ein Gegenereignis.

Karteikarten in Ereignis5 Lerne jetzt

Erläutere den Unterschied zwischen einem sicheren und einem unmöglichen Ereignis.

Ein sicheres Ereignis tritt auf jeden Fall ein, da es alle Elemente der Ergebnismenge beinhaltet.

Ein unmögliches Ereignis kann nicht eintreten, da es kein Ergebnis der Ergebnismenge beinhaltet.

Nenne 3 spezielle Ereignisse.

sicheres Ereignis
unmögliches Ereignis
Gegenereignis

Erkläre, was "disjunktes Ereignis" bedeutet.

Zwei disjunkte Ereignisse schließen sich gegenseitig aus, das heißt sie können niemals gleichzeitig eintreten.

Erläutere den Zusammenhang von Ereignis und Gegenereignis.

Ein Ereignis ist ein Teilergebnis einer Ergebismenge. Tritt dieses Ereignis nicht ein, handelt es sich um ein Gegenereignis.

Wähle das Synonym für Elementarereignis aus.

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