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In diesem Artikel erfährst du, was der Erwartungswert ist und was du bei der Berechnung des Erwartungswertes bei verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen beachten solltest.
Abschließend kannst du in den beiden Übungsaufgaben am Ende dieses Artikels überprüfen, ob du alles zum Thema Erwartungswert verstanden hast.
Die grundlegende Idee des Erwartungswerts
Der Erwartungswert ist eine Größe in der Stochastik und kann für nahezu jede Wahrscheinlichkeitsverteilung angegeben werden. Der Erwartungswert wird in der Mathematik auch als E(X) oder mit dem griechischen Buchstaben
bezeichnet.
Die Idee des Erwartungswertes ist folgende: Der Erwartungswert 
ist der Wert der Zufallsvariablen X , den man im Durchschnitt erwarten kann, wenn man das Zufallsexperiment über eine lange Zeit hinweg andauernd wiederholt. Wenn du zum Beispiel unzählige Male mit einem Spielwürfel würfelst, dir dabei jedes Mal die gewürfelte Augenzahl notierst und anschließend den Mittelwert der dadurch erstellten Zahlenreihe ermittelst, erhältst du den Erwartungswert 
dieses Zufallsexperimentes.
Es ist wichtig, dass du den Erwartungswert 
nicht mit dem arithmetischen Mittel 
einer Zufallsgröße X verwechselst. Das arithmetische Mittel gibt an, welcher Wert der Durchschnittswert einer Datenreihe ist. Der Erwartungswert hingegen gibt an, welcher Wert auf lange Sicht im Durchschnitt für die Ausprägung der Zufallsvariablen X zu erwarten ist.
Stell dir vor, du hast drei Mal mit einem sechsseitigen Spielwürfel gewürfelt. Du hast je ein Mal eine "Eins", eine "Zwei" und eine "Drei" gewürfelt.
Anschließend berechnest du das arithmetische Mittel deiner drei Würfe: 
Das arithmetische Mittel 
beträgt demnach 2.
Der Erwartungswert 
beim Würfeln mit einem sechsseitigen Spielwürfel beträgt 3,5. Warum das so ist, erfährst du im weiteren Verlauf dieses Artikels.
Wie du siehst, kann es sein, dass der Wert für das arithmetische Mittel 
und den Erwartungswert 
stark voneinander abweichen.
Man kann den Erwartungswert für diskrete und stetige Zufallsvariablen berechnen. Wie sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Erwartungswertes bei diskreten und stetigen Zufallsvariablen unterscheidet, lernst du im weiteren Verlauf dieses Artikels.
Der Erwartungswert kann dazu genutzt werden, um zu prüfen, ob es sich bei einem Spiel um ein faires Spiel handelt. Ist ein Spiel fair, so gilt für jeden Spieler im Bezug auf den Erwartungswert des Gewinns: 
Erwartungswert - Definition
Nachdem du im letzten Abschnitt die grundlegende Idee des Erwartungswertes E(X) kennengelernt hast, erfährst du nun, wie der Erwartungswert formal definiert wird.
Gegeben sei eine Zufallsgröße X, die die Werte
, 
bis 
annehmen kann.
Bei der reellen Zahl E(X) mit 
handelt es sich um den Erwartungswert der Zufallsgröße X.
Man schreibt auch: 
Erwartungswert berechnen
In diesem Abschnitt lernst du, wie man den Erwartungswert 
einer Zufallsvariablen X berechnen kann. Dabei wird zuerst der Erwartungswert bei diskreten Zufallsvariablen und danach bei stetigen Zufallsvariablen im Detail betrachtet.
Zur Erinnerung: Eine Zufallsvariable X ist eine Funktion, die jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsexperimentes eine Zahl zuordnet. Es gibt stetige und diskrete Zufallsvariablen.
Wenn du mehr über Zufallsgrößen im Allgemeinen wissen möchtest, solltest du dir unbedingt auch den Artikel zum Thema Zufallsgrößen anschauen.
Erwartungswert bei diskreten Zufallsvariablen
Um die Idee des Erwartungswertes einer diskreten Zufallsvariablen zu verstehen, solltest du dich zunächst nochmal daran erinnern, was eine diskrete Zufallsvariable überhaupt ist.
Eine Zufallsgröße ist diskret, wenn sie eine endliche Anzahl oder eine unendliche Reihenfolge von abzählbar vielen Werten annehmen kann.
Vereinfacht gesagt: Wenn die Zufallsgröße abzählbar ist, ist sie diskret.
Du möchtest mehr über den Unterschied zwischen diskreten und stetigen Zufallsgrößen wissen? Dann schau dir doch als Nächstes den Artikel zum Unterschied zwischen stetigen und diskreten Zufallsgrößen an!
Der Erwartungswert 
einer diskreten Zufallsvariablen X mit den Werten 
bis 
und den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten 
bis 
wird folgendermaßen berechnet:
In Worten ausgedrückt:
Um den Erwartungswert 
einer diskreten Zufallsvariablen X zu berechnen, multipliziert man jeden einzelnen Wert der Zufallsvariablen X mit seiner Auftretenswahrscheinlichkeit. Anschließend bildet man die Summe dieser Produkte und erhält somit den Erwartungswert 
.
Du möchtest den Erwartungswert 
für das einmalige Würfeln mit einem normalen Spielwürfel mit sechs Seiten berechnen. Dabei gehst du wie folgt vor:
Da der Würfel sechs Seiten hat, gilt: 
Die Augenzahlen auf dem Würfel betragen 1 bis 6. Deshalb gilt für die Werte 
bis 
der Zufallsvariablen X: 
,
, 
, 
, 
und 
Außerdem folgen die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der Augenzahlen 1 bis 6 der Gleichverteilung. Daher gilt für die Wahrscheinlichkeit für jedes der sechs möglichen Ergebnisse:
Mit diesem Wissen kannst du nun den Erwartungswert 
berechnen:
Der Erwartungswert 
beim einmaligen Werfen eines normalen Spielwürfels beträgt demnach 3,5.
Das bedeutet, dass man, wenn man ganz häufig mit diesem Würfel würfelt, die Augensumme im Durchschnitt 3,5 beträgt.
Erwartungswert - stetige Zufallsvariable
Nachdem du im letzten Abschnitt gelernt hast, was der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen ist und wie man ihn berechnet, erfährst du nun mehr über den Erwartungswert bei stetigen Zufallsvariablen.
Dazu muss zunächst geklärt werden, was eine stetige Zufallsvariable überhaupt ist.
Eine Zufallsgröße ist stetig, wenn sie jeden beliebigen numerischen Wert in einem Intervall oder eine überabzählbar viele Werte annehmen kann.
Vereinfacht gesagt: Wenn du die Zufallsgröße nicht abzählen kannst, ist sie stetig.
Der Erwartungswert 
einer stetigen Zufallsvariablen X im Intervall von a bis b wird mit folgender Formel berechnet:
Dabei hängen die Werte der Variablen a und b vom inhaltlichen Kontext ab.
In Worten ausgedrückt:
Um den Erwartungswert 
einer stetigen Zufallsvariablen X zu berechnen, bildet man das Integral der mit der Variablen x multiplizierten Funktion f(x) im Intervall von a bis b.
Stell dir vor, du stehst am Bahnhof und wartest auf einen Zug, der alle 30 Minuten fährt. Du weißt allerdings weder wann der letzte Zug gekommen ist, noch wann der nächste Zug fahren wird.
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Zuges in der nächsten halben Stunde ist zu jedem Zeitpunkt gleich groß und ist demnach gleichverteilt. Es handelt sich um eine stetige Zufallsgröße.
Die Funktion f(x) lautet: 
Nun möchtest du den Erwartungswert 
für das Eintreffen des nächsten Zugs berechnen.
Für die Grenzen a und b gilt: 
und 
Das liegt darin begründet, dass der Zug bereits im nächsten Moment, aber spätestens in 30 Minuten einfahren kann.
Um den Erwartungswert 
zu berechnen, gehst du so vor:
Der Erwartungswert 
beträgt 15 Minuten. Das bedeutet, dass man, wenn diese Situation häufig auftritt, im Schnitt 15 Minuten auf die Ankunft des nächsten Zugs warten muss.
Erwartungswert bei besonderen Verteilungen
Bei einigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen kannst du den Erwartungswert 
einfacher berechnen als im letzten Abschnitt erläutert. Bei manchen Verteilungen kann der Erwartungswert sogar einfach abgelesen werden.
In diesem Abschnitt lernst die Besonderheiten des Erwartungswertes bei der Bernoulli Verteilung, der Binomialverteilung, der Normalverteilung und der Exponentialverteilung kennen.
Da der Fokus dieses Artikels auf dem Erwartungswert liegt, werden die vier Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht im Detail erläutert, sondern hauptsächlich unter dem Aspekt des Erwartungswertes betrachtet. Wenn du zu einer der thematisierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen mehr wissen möchtest, findest du auf unserer Plattform zu jeder dieser Verteilungen einen gesonderten Artikel.
Erwartungswert - Bernoulli Verteilung
Die Bernoulli Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung mit nur zwei möglichen Ergebnissen: Erfolg oder Misserfolg. Die Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt den Wert p. Die Wahrscheinlichkeit für Misserfolg q lässt sich als Gegenwahrscheinlichkeit zur Erfolgswahrscheinlichkeit p berechnen. Die Formel dafür lautet: 
Um den Erwartungswert einer Zufallsgröße X zu ermitteln, die der Bernoulli-Verteilung folgt, benötigst du keine komplizierte Formel: Merke dir einfach nur, dass der Erwartungswert 
bei der Bernoulli-Verteilung der Erfolgswahrscheinlichkeit p entspricht.
Bei der Bernoulli Verteilung gilt also für den Erwartungswert 
: 
Erwartungswert - Binomialverteilung
Die Binomialverteilung ist ebenfalls eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung und baut auf der Idee der Bernoulli Verteilung auf. Während bei der Bernoulli Verteilung die Wahrscheinlichkeiten für das einmalige Durchführen des Zufallsexperimentes betrachtet werden, gibt die Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X an, wenn das Experiment n mal wiederholt wird.
Um den Erwartungswert einer Zufallsgröße X zu berechnen, die binomialverteilt ist, multiplizierst du die Anzahl der Versuche n mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p des Zufallsexperimentes.
Bei der Binomialverteilung gilt also für den Erwartungswert 
: 
Erwartungswert - Normalverteilung
Die Normalverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Viele Eigenschaften, die du in der Natur beobachten kannst, sind normalverteilt. Dazu gehört zum Beispiel die Körpergröße von Menschen.
Das kannst du dir so vorstellen: Es gibt viele Männer, die etwa 1,80m groß sind. Männer, die unter 1,70m groß oder über 1,90m sind, gibt es hingegen seltener.
In der folgenden Abbildung siehst du, wie man die Verteilung der Körpergröße bei Männern mithilfe der Normalverteilung grafisch darstellen kann:
Die Dichtefunktion folgt immer dem gleichen Schema, nur der Wert für den Erwartungswert 
und der Wert für die Standardabweichung 
variieren je nach Kontext.
Wie du siehst, kannst du aus der Formel der Dichtefunktion einer Normalverteilung den Wert des Erwartungswertes 
ablesen. Dafür schaust du einfach, welche Zahl in der Dichtefunktion der dir vorliegenden Verteilung von x subtrahiert wird. Bei dieser Zahl handelt es sich um den Erwartungswert 
.
Bestimme den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsgröße mit der folgenden Dichtefunktion:
Für den Erwartungswert 
gilt 
.
Alternativ kannst du dir auch die graphische Darstellung der Funktion zur Hilfe nehmen, um den Erwartungswert 
einer Normalverteilung zu bestimmen. Dafür ermittelst du den Hochpunkt der Funktion f(x).
Du möchtest den Erwartungswert 
der folgenden Normalverteilung bestimmen. Leider liegt dir nur eine graphische Darstellung der Funktion f(x) und keine Funktionsgleichung vor.
Der Hochpunkt der Funktion f(x) liegt bei 
. Deshalb gilt für den Erwartungswert 
der Funktion f(x): 
Eine besondere Normalverteilung ist die Standardnormalverteilung. Bei der Standardnormalverteilung gilt für die Parameter 
und 
: 
und 
.
Der Funktionsverlauf der Standardnormalverteilung mit 
sieht folgendermaßen aus:
Erwartungswert - Exponentialverteilung
Die Exponentialverteilung ist ebenfalls eine stetige Verteilung. Mithilfe der Exponentialverteilung kann die Dauer zufälliger Zeitintervalle, wie zum Beispiel die Lebensdauer eines Handyakkus, bestimmt werden.
Die Dichtefunktion der Exponentialverteilung enthält den Parameter 
. Welchen Wert dieser Parameter einnimmt, ist abhängig vom Kontext, es muss sich dabei allerdings immer um eine positive reelle Zahl handeln.
Eine Besonderheit der Exponentialverteilung ist, dass die Dichtefunktion davon abhängig ist, ob x kleiner, größer oder gleich 0 ist.
Bei 
gilt:
Bei 
gilt: 
Wie eine Exponentialverteilung mit dem Parameter 
grafisch dargestellt aussieht, siehst du hier:
Abbildung 4: ExponentialverteilungDen Erwartungswert einer Zufallsgröße X, die der Exponentialverteilung folgt, berechnest du, indem du die Zahl eins durch den Parameter 
der Verteilung teilst.
Bei der Exponentialverteilung gilt also für den Erwartungswert 
: 
Erwartungswert - Faires Spiel
Der Erwartungswert kann auch dazu genutzt werden, zu beurteilen, ob es sich bei einem Spiel um ein faires Spiel handelt. Was ein faires Spiel ist und welche Bedeutung dem Erwartungswert bei einem fairen Spiel zukommt, erfährst du in diesem Abschnitt.
Wann ist ein Spiel fair?
Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert 
für einen Gewinn für alle Spieler den Wert 0 hat.
Ist der Erwartungswert 
allerdings größer oder kleiner als 0, dann handelt es sich bei dem Spiel um ein unfaires Spiel. Ein unfaires Spiel begünstigt einen der Spieler und benachteiligt gleichzeitig die Gegenspieler.
Merke dir:
Ein Spiel ist fair, wenn: 
Ein Spiel ist unfair, wenn: 
Erwartungswert bei einem fairen Spiel – Beispiel
Stell dir vor, du verbringst die Schulpause mit einem Freund. Er hat eine Dose mitgebracht, in der insgesamt 15 Kugeln liegen. Fünf der Kugeln sind rot, die restlichen Kugeln sind schwarz. Dein Freund bietet dir folgendes Spiel an: "Du darfst eine Kugel aus der Dose ziehen. Wenn es eine rote Kugel ist, gebe ich dir fünf Euro. Ist es aber eine schwarze Kugel, dann gehst du leer aus. Der Einsatz beträgt zwei Euro. Möchtest du mitspielen?"
Ermittle, ob es sich bei dem Spiel deines Freundes um ein faires Spiel handelt.
Du weißt, dass sich 15 Kugeln in der Dose befinden. Davon sind fünf Kugeln rot und zehn Kugeln schwarz. Das bedeutet für die Wahrscheinlichkeiten 
und 
:
Du verlierst bei jeder schwarzen Kugel, die du aus der Dose ziehst, zwei Euro. Das liegt daran, dass der Einsatz, um am Spiel teilnehmen zu dürfen, zwei Euro beträgt und du keinen Gewinn für das Ziehen einer schwarzen Kugel erhältst.
Bei jeder gezogenen roten Kugel gewinnst du drei Euro. Das resultiert daraus, dass dein Freund dir beim Ziehen einer roten Kugel fünf Euro gibt, du ihm aber zu Beginn bereits zwei Euro als Spieleinsatz zahlen musstest.
Daraus resultiert für den Erwartungswert 
: 
Da der Erwartungswert 
kleiner als 0 ist, solltest du an dem Spiel nicht teilnehmen, wenn du keine Verluste machen möchtest. In diesem Spiel macht mit hoher Wahrscheinlichkeit dein Freund eher einen Gewinn als du.
Es handelt sich also um ein unfaires Spiel.
Erwartungswert - Aufgaben
Nachdem du nun einiges zum Erwartungswert gelernt hast, hast du abschließend für dieses Thema die Möglichkeit dein Wissen anhand der folgenden beiden Übungsaufgaben zu überprüfen.
Aufgabe 1
Stell dir vor, vor dir liegt ein Spielwürfel, der bis auf abgeänderte Augenzahlen einem normalen sechsseitigen Spielwürfel gleicht. Dieser Würfel hat je zwei Seiten mit der Augenzahl "eins" und "drei" und je eine Seite mit der Augenzahl "zwei" und "vier".
Berechne den Erwartungswert 
.
Lösung:
Lege zunächst eine Tabelle an, die die Werte der Zufallsvariablen X und deren Auftretenswahrscheinlichkeit übersichtlich darstellt.
| X=x | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P(X=x) | 2/6 | 1/6 | 2/6 | 1/6 |
Als nächstes berechnest du den Erwartungswert mit der Formel für den Erwartungswert bei diskreten Zufallsvariablen:
Der Erwartungswert dieses Würfels liegt demnach bei 
. Das bedeutet, dass du, wenn du mit diesem Würfel ganz häufig würfelst, die Augensumme im Schnitt etwas über 2 liegt.
Damit liegt der Erwartungswert dieses Würfels deutlich unter dem Erwartungswert eines normalen Spielwürfels.
Aufgabe 2:
Ein Fußballspieler trifft 90% der Elfmeter, die er schießt. Berechne den Erwartungswert 
, wenn er in einem Training zwanzig Elfmeter schießt.
Lösung:
Die Zufallsvariable "Treffer beim Elfmeter" ist binomialverteilt. Es gibt nur zwei mögliche Ausgänge jedes Versuchs: Erfolg oder Misserfolg. Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt 
.
Da der Spieler zwanzig Elfmeter schießt, gilt für n: 
Den Erwartungswert kannst du mit diesen Informationen nun folgendermaßen berechnen:
Der Erwartungswert 
beträgt 18. Wenn der Spieler in vielen Trainings Elfmeterschießen übt, trifft er im Schnitt 18 von 20 Elfmetern.
Erwartungswert - Das Wichtigste auf einen Blick
- Der Erwartungswert ist eine Größe in der Stochastik. Er kann für fast jede Wahrscheinlichkeitsverteilung angegeben werden.
- Er wird als µ oder E(X) bezeichnet.
- Der Erwartungswert gibt an, welchen Wert der Zufallsvariablen X man im Durchschnitt erwarten kann, wenn man das Zufallsexperiment über eine lange Zeit hinweg häufig wiederholt.
- Bei einem fairen Spiel beträgt der Erwartungswert für einen Gewinn für alle Spieler 0.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Erwartungswert
Was sagt uns der Erwartungswert?
Der Erwartungswert sagt uns, welchen Wert der Zufallsvariablen wir im Durchschnitt erwarten können, wenn das Zufallsexperiment sehr häufig durchgeführt wird.
Ist der Erwartungswert gleich dem Mittelwert?
Der Erwartungswert ist nicht unbedingt gleich wie der Mittelwert. Der Mittelwert gibt an, welcher Wert der Durchschnittswert einer Datenreihe ist. Der Erwartungswert hingegen gibt an, welcher Wert auf lange Sicht im Durchschnitt für die Ausprägung der Zufallsvariablen X zu erwarten ist.
Ist µ der Erwartungswert?
Ja, µ ist der Erwartungswert. Eine andere mögliche Bezeichnung für den Erwartungswert ist E(X).
Wann existiert der Erwartungswert nicht?
Der Erwartungswert existiert nicht, wenn die Integralen, die zur Berechnung des Erwartungswertes genutzt werden sollen, unendlich sind. Das ist zum Beispiel bei der Cauchy-Verteilung der Fall. Aber keine Sorge, bei den Verteilungen, die in der Schule behandelt werden, kannst du eigentlich immer einen Erwartungswert berechnen.
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