Hypothesentest

Hypothesentest Statistik

Hypothesentests sind ein Mittel der beurteilenden Statistik. Das heißt, ein Hypothesentest wird angewendet, um die Ergebnisse einer Stichprobe zu beurteilen. Hypothesentests werden manchmal auch als Signifikanztests genannt.

Die Grundlage für einen jeden Hypothesentest sind zwei Hypothesen: die Nullhypothese und die Alternativhypothese.

Mit dem Hypothesentest soll entschieden werden, ob die Nullhypothese aufgrund der Ergebnisse der Stichprobe angenommen oder abgelehnt werden sollte. Dazu wird ein Annahme- und ein Ablehnungsbereich der Hypothese bestimmt.

In dieser Erklärung findest Du einen Überblick über Hypothesentests und deren Hypothesen. In den Erklärungen einseitiger Hypothesentest, zweiseitiger Hypothesentest, Nullhypothese, Fehler Hypothesentest und Irrtumswahrscheinlichkeit findest Du tiefgehendere Erläuterungen mit weiteren Beispielen.

Arten von Hypothesentests

Es gibt verschieden Arten von Hypothesentests: einseitige Hypothesentests, beidseitige Hypothesentests und Alternativtests. Sie unterscheiden sich hauptsächlich in der Formulierung Alternativhypothese.

Einseitiger Hypothesentest – gerichtete Hypothese

Bei einem einseitigen Hypothesentest wird in der Alternativhypothese davon ausgegangen, dass die Wahrscheinlichkeit aus der Nullhypothese entweder größer oder kleiner ist. Die Alternativhypothese ist gerichtet, da sie eine "Richtung" angibt, in der die Wahrscheinlichkeit abweicht.

Vermutest Du, dass die Wahrscheinlichkeit kleiner ist, handelt es sich um einen linksseitigen Hypothesentest.

Bei einem linksseitigen Hypothesentest liegt der Ablehnungsbereich für die Nullhypothese nur auf der linken Seite des Erwartungswertes. Nur diese Seite ist für die Untersuchung der Hypothese von Bedeutung.

Es ist natürlich aber auch möglich, dass in der Alternativhypothese von einer größeren Wahrscheinlichkeit ausgegangen wird. Dann wird ein rechtsseitiger Hypothesentest durchgeführt.

Links- und rechtsseitige Hypothesentests erkennst Du stets daran, dass in der Alternativhypothese die Wahrscheinlichkeit kleiner oder größer als die Wahrscheinlichkeit in der Nullhypothese sein soll.

Sowohl beim linksseitigen als auch beim rechtsseitigen Hypothesentest wird keine konkrete Wahrscheinlichkeit in der Alternativhypothese angegeben. Es wird aber immer in der Alternativhypothese genannt, ob die alternative Wahrscheinlichkeit kleiner (linksseitig) oder größer (rechtsseitig) ist. Ein einseitiger Hypothesentest ist ein spezifischer Hypothesentest, da die Alternativhypothese eine Aussage über die Größe der Wahrscheinlichkeit enthält.

Zweiseitiger Hypothesentest – ungerichtete Hypothese

Es ist bei einem Hypothesentest auch möglich, dass in der Alternativhypothese die Wahrscheinlichkeit aus der Nullhypothese nur verneint und nicht angegeben wird, ob sie größer oder kleiner ist. Dann handelt es sich um einen zweiseitigen Hypothesentest. Die Hypothese wird auch ungerichtete Hypothese genannt, da sie keine Richtung der Wahrscheinlichkeit angibt.

Sowohl die Seite links vom Erwartungswert als auch die Seite rechts vom Erwartungswert sind hier für die Beurteilung der Nullhypothese von Bedeutung.

Ein zweiseitiger Hypothesentest ist ein unspezifischer Hypothesentest, da die Alternativhypothese keine spezifische Aussage über die Wahrscheinlichkeit trifft.

Wenn Du mehr über zweiseitige Hypothesentests wissen möchtest, sieh Dir die Erklärung "zweiseitiger Hypothesentest" an.

Alternativtest

Manchmal enthalten beide Hypothesen konkrete Wahrscheinlichkeiten, insbesondere also auch die Alternativhypothese. Dann handelt es sich um einen Alternativtest.

Einen Alternativtest erkennst Du also stets daran, dass zwei unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten in den Hypothesen angegeben werden.

Eine Besonderheit des Alternativtests ist, dass hier die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art bestimmt werden kann.

Mehr über Fehler 1. und 2. Art erfährst Du in der Erklärung "Fehler Hypothesentest" oder hier weiter unten.

Hypothesentest berechnen und durchführen

Aber wie wird ein Hypothesentest denn eigentlich ausgeführt?

Um einen Hypothesentest durchzuführen, kannst Du immer nach demselben Schema vorgehen.

Zur Erinnerung: Grundlage eines Hypothesentests ist eine Stichprobe. Du benötigst sie, um zu entscheiden, ob die Nullhypothese angenommen oder abgelehnt werden sollte.

Hypothesen aufstellen

Zu Beginn eines jeden Hypothesentests stellst Du die Nullhypothese und die Alternativhypothese auf. Wie genau Du die Nullhypothese bestimmst, erfährst Du in der Erklärung "Nullhypothese".

Je nachdem, ob Du einen ein- oder zweiseitigen Hypothesentest oder einen Alternativtest durchführen willst, stellst Du dann die Alternativhypothese unterschiedlich auf.

Stichprobenumfang und Signifikanzniveau

Wenn die Stichprobe bereits durchgeführt wurde, notiere Dir den Stichprobenumfang \(n\). Ansonsten legst Du ihn fest. Der Stichprobenumfang gibt an, wie häufig das Zufallsexperiment durchgeführt wurde. Das kann zum Beispiel sein, wie viele Leute befragt oder wie viele Gegenstände untersucht wurden.

Die Stichprobe ist immer eine Bernoulli-Kette. Du beobachtest das Eintreten eines Ereignisses. Die Anzahl der "Treffer" wird als Testgröße bezeichnet und häufig mit \(X\) abgekürzt. Die Testgröße \(X\) ist dann binomialverteilt.

Um im nächsten Schritt den Annahme- und den Ablehnungsbereich der Hypothese bestimmen zu können, legst Du das Signifikanzniveau fest. Es ist auch möglich, dass das Signifikanzniveau bereits vorgegeben ist.

Je kleiner das Signifikanzniveau ist, desto unwahrscheinlicher ist es, die Nullhypothese abzulehnen, obwohl sie richtig ist.

Ein häufiger Wert für das Signifikanzniveau ist zum Beispiel \(\alpha=0,05\).

Entscheidungsregel: Annahme- und Ablehnungsbereich bestimmen

Um schlussendlich zu entscheiden, ob die Nullhypothese angenommen oder abgelehnt wird, benötigst Du einen Annahme- und einen Ablehnungsbereich.

Den Annahme- sowie Ablehnungsbereich der Hypothese kannst Du mit der Tabelle für kumulierte Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Je nach Stichprobenumfang \(n\) und Wahrscheinlichkeit \(p_0\) aus der Nullhypothese, wählst Du die geeignete Tabelle. Dann unterscheidest Du, ob es sich um einen linksseitigen, rechtsseitigen oder zweiseitigen Hypothesentest handelt.

Ist es ein linksseitiger Hypothesentest, suchst Du den letzten Wert \(k\), dessen Wahrscheinlichkeit \(P(X\leq k)\) gerade eben noch kleiner als das Signifikanzniveau ist. Dein Ablehnungsbereich ist dann

$$\overline{A}=\{0,\dots,k\}$$

und der Annahmebereich beginnt bei \(k+1\):

$$A=\{k+1,\dots,n\}$$

Führst Du hingegen einen rechtsseitigen Hypothesentest durch, formst Du um, um den kritischen Wert aus der Tabelle ablesen zu können. Gesucht ist \(k\), sodass \(P(X\geq k)\leq \alpha\) ist. Umformen ergibt:

\begin{align}P(X\geq k)&\leq\alpha \\ 1-P(X\leq k-1)&\leq \alpha \\P(X\leq k-1)&\geq 1-\alpha\end{align}

Du suchst also den ersten Wert \(k-1\), dessen Wahrscheinlichkeit gerade eben größer ist als \(1-\alpha\). Um den Ablehnungsbereich zu bestimmen, rechnest Du dann plus Eins.

$$\overline{A}=\{k,\dots,n\}$$

Der Annahmebereich ist

$$A=\{0,\dots,k-1\}$$

Soll ein zweiseitiger Hypothesentest durchgeführt werden, gehst Du fast so vor, wie für einen links- und einen rechtsseitigen Test zusammen. Einziger Unterschied ist, dass Du sowohl auf der linken Seite als auch auf der rechten Seite \(\frac{\alpha}{2}\) als Grenze für die Wahrscheinlichkeit nimmst. Das Signifikanzniveau wird auf beide Seiten aufgeteilt.

Nullhypothese annehmen oder ablehnen

Im letzten Schritt prüfst Du, ob das Ergebnis der Stichprobe im Annahme- oder im Ablehnungsbereich der Hypothese liegt. Je nachdem nimmst Du die Nullhypothese an oder lehnst sie ab. Wenn Du die Nullhypothese ablehnst, nimmst Du die Alternativhypothese an.

Hypothesentest – Binomialverteilung Näherung als Normalverteilung

Du kannst den Annahme- und Ablehnungsbereich einer Hypothese auch über die Näherung als Normalverteilung bestimmen, wenn Du einen großen Stichprobenumfang hast.

Voraussetzung für die Näherung als Normalverteilung ist, dass die Binomialverteilung eine Standardabweichung \(\sigma\) größer als 3 hat: \(\sigma>3\)

Sigma-Regel

Ist dies der Fall, kannst Du die Sigma-Regeln verwenden, um den Annahme- sowie den Ablehnungsbereich zu bestimmen.

Du weißt also dank der Sigma-Regel zum Beispiel, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 ein Wert im Intervall \( [\mu-1,64\sigma;\mu+1,64\sigma]\) eintritt. Bestimmst Du nun den Erwartungswert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\) für die Binomialverteilung mit der Wahrscheinlichkeit \(p_0\) und setzt die Werte in das Intervall ein, so erhältst Du einen Annahmebereich.

Fehler 1. und 2. Art (alpha-Fehler und beta-Fehler)

Bei einem Hypothesentest können Fehler auftreten. So kann die Nullhypothese abgelehnt werden, obwohl sie richtig ist. Dieser Fehler wird Fehler 1. Art oder auch alpha-Fehler genannt.

Die Nullhypothese kann aber auch angenommen werden, obwohl sie falsch ist. Dann handelt es sich um einen Fehler 2. Art, auch beta-Fehler genannt.

Hypothesentest – Aufgaben & Beispiele

Hier findest Du einige grundlegende Aufgaben zum Hypothesentest und dem Aufstellen von Hypothesen. In den einzelnen vernetzten Erklärung findest Du tiefergehende Aufgaben.