Hannes liest in einer Zeitschrift die Behauptung: "15 Prozent aller Kinder und Jugendliche spielen Handball." Das verwundert ihn, denn er kennt kaum jemanden, der Handball spielt. Deswegen überlegt Hannes, wie er diese Behauptung überprüfen kann und entscheidet sich, eine Stichprobe durchzuführen.
Und hier kommt der Hypothesentest ins Spiel. Mithilfe des Hypothesentests kann Hannes entscheiden, bei welchen Ergebnissen der Stichprobe er die Behauptung annimmt und wann er sie ablehnt.
Hypothesentest Statistik
Hypothesentests sind ein Mittel der beurteilenden Statistik. Das heißt, ein Hypothesentest wird angewendet, um die Ergebnisse einer Stichprobe zu beurteilen. Hypothesentests werden manchmal auch als Signifikanztests genannt.
Die Grundlage für einen jeden Hypothesentest sind zwei Hypothesen: die Nullhypothese und die Alternativhypothese.
Eine Hypothese ist eine Behauptung, deren Gültigkeit durch statistische Verfahren überprüft wird. Um einen Hypothesentest durchführen zu können, werden zunächst zwei grundlegende Hypothesen formuliert:
Die Nullhypothese \(H_0\) und die Alternativhypothese \(H_1\).
Mit dem Hypothesentest soll entschieden werden, ob die Nullhypothese aufgrund der Ergebnisse der Stichprobe angenommen oder abgelehnt werden sollte. Dazu wird ein Annahme- und ein Ablehnungsbereich der Hypothese bestimmt.
In dieser Erklärung findest Du einen Überblick über Hypothesentests und deren Hypothesen. In den Erklärungen einseitiger Hypothesentest, zweiseitiger Hypothesentest, Nullhypothese, Fehler Hypothesentest und Irrtumswahrscheinlichkeit findest Du tiefgehendere Erläuterungen mit weiteren Beispielen.
Arten von Hypothesentests
Es gibt verschieden Arten von Hypothesentests: einseitige Hypothesentests, beidseitige Hypothesentests und Alternativtests. Sie unterscheiden sich hauptsächlich in der Formulierung Alternativhypothese.
Einseitiger Hypothesentest – gerichtete Hypothese
Bei einem einseitigen Hypothesentest wird in der Alternativhypothese davon ausgegangen, dass die Wahrscheinlichkeit aus der Nullhypothese entweder größer oder kleiner ist. Die Alternativhypothese ist gerichtet, da sie eine "Richtung" angibt, in der die Wahrscheinlichkeit abweicht.
Vermutest Du, dass die Wahrscheinlichkeit kleiner ist, handelt es sich um einen linksseitigen Hypothesentest.
Die Nullhypothese \(H_0\) geht von einer bekannten Wahrscheinlichkeit \(p_0\) aus. In der Alternativhypothese \(H_1\) wird davon ausgegangen, dass die Wahrscheinlichkeit kleiner ist: \(p<p_0\)
Es handelt sich um einen linksseitigen Hypothesentest, da besonders kleine Werte links vom Erwartungswert \(\mu\) gegen die Nullhypothese sprechen.
Bei einem linksseitigen Hypothesentest liegt der Ablehnungsbereich für die Nullhypothese nur auf der linken Seite des Erwartungswertes. Nur diese Seite ist für die Untersuchung der Hypothese von Bedeutung.
Es ist natürlich aber auch möglich, dass in der Alternativhypothese von einer größeren Wahrscheinlichkeit ausgegangen wird. Dann wird ein rechtsseitiger Hypothesentest durchgeführt.
Die Nullhypothese \(H_0\) geht von einer bekannten Wahrscheinlichkeit \(p_0\) aus. In der Alternativhypothese \(H_1\) wird davon ausgegangen, dass die Wahrscheinlichkeit größer ist: \(p>p_0\)
Es handelt sich um einen linksseitigen Hypothesentest, da besonders kleine Werte links vom Erwartungswert \(\mu\) gegen die Nullhypothese sprechen.
Links- und rechtsseitige Hypothesentests erkennst Du stets daran, dass in der Alternativhypothese die Wahrscheinlichkeit kleiner oder größer als die Wahrscheinlichkeit in der Nullhypothese sein soll.
Betrachte das Beispiel aus dem Einstieg: "15 Prozent aller Kinder und Jugendliche spielen Handball."
Hannes führt eine Stichprobe mit Hypothesentest durch. Die Nullhypothese lautet:
$$H_0:\text{Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind Handball spielt, ist }p=0,15$$
Hannes vermutete weniger Handballspieler*innen. Deswegen ist ein linksseitiger Hypothesentest sinnvoll. Die Alternativhypothese ist dann:
$$H_1:\text{Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind Handball spielt, ist }p<0,15$$
Lisa hingegen kennt sehr viele Kinder, die Handball spielen. Sie vermutet, dass es sogar mehr als 15 Prozent sind. Würde Lisa einen Hypothesentest durchführen, wäre es ein rechtsseitiger Hypothesentest mit Alternativhypothese:
$$H_1:\text{Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind Handball spielt, ist }p>0,15$$
Sowohl beim linksseitigen als auch beim rechtsseitigen Hypothesentest wird keine konkrete Wahrscheinlichkeit in der Alternativhypothese angegeben. Es wird aber immer in der Alternativhypothese genannt, ob die alternative Wahrscheinlichkeit kleiner (linksseitig) oder größer (rechtsseitig) ist. Ein einseitiger Hypothesentest ist ein spezifischer Hypothesentest, da die Alternativhypothese eine Aussage über die Größe der Wahrscheinlichkeit enthält.
In der Erklärung "einseitiger Hypothesentest" kannst Du mehr zu diesem Thema erfahren.
Zweiseitiger Hypothesentest – ungerichtete Hypothese
Es ist bei einem Hypothesentest auch möglich, dass in der Alternativhypothese die Wahrscheinlichkeit aus der Nullhypothese nur verneint und nicht angegeben wird, ob sie größer oder kleiner ist. Dann handelt es sich um einen zweiseitigen Hypothesentest. Die Hypothese wird auch ungerichtete Hypothese genannt, da sie keine Richtung der Wahrscheinlichkeit angibt.
Die Nullhypothese \(H_0\) geht von einer bekannten Wahrscheinlichkeit \(p_0\) aus. In der Alternativhypothese \(H_1\) wird davon ausgegangen, dass die Wahrscheinlichkeit nicht stimmt: \(p\neq p_0\)
Es handelt sich um einen zweiseitgen Hypothesentest, da besonders kleine Werte links vom Erwartungswert \(\mu\) und besonders große Werte rechts vom Erwartungswert \(\mu\) gegen die Nullhypothese sprechen.
Sowohl die Seite links vom Erwartungswert als auch die Seite rechts vom Erwartungswert sind hier für die Beurteilung der Nullhypothese von Bedeutung.
Emma glaubt auch nicht, dass 15 Prozent der Kinder Handball spielen. Sie hat aber auch keine Vermutung, ob es mehr oder weniger sind.
Die Nullhypothese lautet weiterhin:
$$H_0:\text{Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind Handball spielt, ist }p=0,15$$
Die Alternativhypothese ist jetzt:
$$H_1:\text{Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind Handball spielt, ist }p\neq0,15$$
Ein zweiseitiger Hypothesentest ist ein unspezifischer Hypothesentest, da die Alternativhypothese keine spezifische Aussage über die Wahrscheinlichkeit trifft.
Wenn Du mehr über zweiseitige Hypothesentests wissen möchtest, sieh Dir die Erklärung "zweiseitiger Hypothesentest" an.
Alternativtest
Manchmal enthalten beide Hypothesen konkrete Wahrscheinlichkeiten, insbesondere also auch die Alternativhypothese. Dann handelt es sich um einen Alternativtest.
Die Nullhypothese \(H_0\) geht von einer bekannten Wahrscheinlichkeit \(p_0\) aus. Die Alternativhypothese \(H_1\) geht von einer konkreten Wahrscheinlichkeit \(p_1\) aus.
Es handelt sich um einen Alternativtest, da zwei konkrete Wahrscheinlichkeiten benannt werden.
Einen Alternativtest erkennst Du also stets daran, dass zwei unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten in den Hypothesen angegeben werden.
Pawel hat in einer anderen Zeitschrift gelesen, dass 8 Prozent der Kinder und Jugendlichen Handball spielen.
Die Nullhypothese lautet nun weiterhin:
$$H_0:\text{Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind Handball spielt, ist }p=0,15$$
Die Alternativhypothese ist jetzt:
$$H_0:\text{Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind Handball spielt, ist }p=0,08$$
Es wird ein Alternativtest durchgeführt.
Eine Besonderheit des Alternativtests ist, dass hier die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art bestimmt werden kann.
Mehr über Fehler 1. und 2. Art erfährst Du in der Erklärung "Fehler Hypothesentest" oder hier weiter unten.
Hypothesentest berechnen und durchführen
Aber wie wird ein Hypothesentest denn eigentlich ausgeführt?
Um einen Hypothesentest durchzuführen, kannst Du immer nach demselben Schema vorgehen.
Zur Erinnerung: Grundlage eines Hypothesentests ist eine Stichprobe. Du benötigst sie, um zu entscheiden, ob die Nullhypothese angenommen oder abgelehnt werden sollte.
Hypothesen aufstellen
Zu Beginn eines jeden Hypothesentests stellst Du die Nullhypothese und die Alternativhypothese auf. Wie genau Du die Nullhypothese bestimmst, erfährst Du in der Erklärung "Nullhypothese".
Je nachdem, ob Du einen ein- oder zweiseitigen Hypothesentest oder einen Alternativtest durchführen willst, stellst Du dann die Alternativhypothese unterschiedlich auf.
Stichprobenumfang und Signifikanzniveau
Wenn die Stichprobe bereits durchgeführt wurde, notiere Dir den Stichprobenumfang \(n\). Ansonsten legst Du ihn fest. Der Stichprobenumfang gibt an, wie häufig das Zufallsexperiment durchgeführt wurde. Das kann zum Beispiel sein, wie viele Leute befragt oder wie viele Gegenstände untersucht wurden.
Die Stichprobe ist immer eine Bernoulli-Kette. Du beobachtest das Eintreten eines Ereignisses. Die Anzahl der "Treffer" wird als Testgröße bezeichnet und häufig mit \(X\) abgekürzt. Die Testgröße \(X\) ist dann binomialverteilt.
Um im nächsten Schritt den Annahme- und den Ablehnungsbereich der Hypothese bestimmen zu können, legst Du das Signifikanzniveau fest. Es ist auch möglich, dass das Signifikanzniveau bereits vorgegeben ist.
Je kleiner das Signifikanzniveau ist, desto unwahrscheinlicher ist es, die Nullhypothese abzulehnen, obwohl sie richtig ist.
Ein häufiger Wert für das Signifikanzniveau ist zum Beispiel \(\alpha=0,05\).
Entscheidungsregel: Annahme- und Ablehnungsbereich bestimmen
Um schlussendlich zu entscheiden, ob die Nullhypothese angenommen oder abgelehnt wird, benötigst Du einen Annahme- und einen Ablehnungsbereich.
Der Ablehnungsbereich \(\overline{A}\) beinhaltet alle Werte, bei dessen Eintreten als Stichprobenergebnis die Nullhypothese abgelehnt wird. Er wird auch kritischer Bereich genannt.
Der Annahmebereich \(A\) beinhaltet alle Werte, bei dessen Eintreten als Stichprobenergebnis die Nullhypothese angenommen wird.
Den Annahme- sowie Ablehnungsbereich der Hypothese kannst Du mit der Tabelle für kumulierte Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Je nach Stichprobenumfang \(n\) und Wahrscheinlichkeit \(p_0\) aus der Nullhypothese, wählst Du die geeignete Tabelle. Dann unterscheidest Du, ob es sich um einen linksseitigen, rechtsseitigen oder zweiseitigen Hypothesentest handelt.
Ist es ein linksseitiger Hypothesentest, suchst Du den letzten Wert \(k\), dessen Wahrscheinlichkeit \(P(X\leq k)\) gerade eben noch kleiner als das Signifikanzniveau ist. Dein Ablehnungsbereich ist dann
$$\overline{A}=\{0,\dots,k\}$$
und der Annahmebereich beginnt bei \(k+1\):
$$A=\{k+1,\dots,n\}$$
Führst Du hingegen einen rechtsseitigen Hypothesentest durch, formst Du um, um den kritischen Wert aus der Tabelle ablesen zu können. Gesucht ist \(k\), sodass \(P(X\geq k)\leq \alpha\) ist. Umformen ergibt:
\begin{align}P(X\geq k)&\leq\alpha \\ 1-P(X\leq k-1)&\leq \alpha \\P(X\leq k-1)&\geq 1-\alpha\end{align}
In der Erklärung "kumulierte Binomialverteilung" kannst Du mehr über das Umformen erfahren.
Du suchst also den ersten Wert \(k-1\), dessen Wahrscheinlichkeit gerade eben größer ist als \(1-\alpha\). Um den Ablehnungsbereich zu bestimmen, rechnest Du dann plus Eins.
$$\overline{A}=\{k,\dots,n\}$$
Der Annahmebereich ist
$$A=\{0,\dots,k-1\}$$
In der Erklärung "einseitiger Hypothesentest" findest Du eine ausführlichere Erklärung zum links- und rechtsseitigen Hypothesentest sowie Beispiele.
Soll ein zweiseitiger Hypothesentest durchgeführt werden, gehst Du fast so vor, wie für einen links- und einen rechtsseitigen Test zusammen. Einziger Unterschied ist, dass Du sowohl auf der linken Seite als auch auf der rechten Seite \(\frac{\alpha}{2}\) als Grenze für die Wahrscheinlichkeit nimmst. Das Signifikanzniveau wird auf beide Seiten aufgeteilt.
Eine genaue Erklärung hierfür mit Beispielen findest Du unter "zweiseitiger Hypothesentest".
Nullhypothese annehmen oder ablehnen
Im letzten Schritt prüfst Du, ob das Ergebnis der Stichprobe im Annahme- oder im Ablehnungsbereich der Hypothese liegt. Je nachdem nimmst Du die Nullhypothese an oder lehnst sie ab. Wenn Du die Nullhypothese ablehnst, nimmst Du die Alternativhypothese an.
Hypothesentest – Binomialverteilung Näherung als Normalverteilung
Du kannst den Annahme- und Ablehnungsbereich einer Hypothese auch über die Näherung als Normalverteilung bestimmen, wenn Du einen großen Stichprobenumfang hast.
Voraussetzung für die Näherung als Normalverteilung ist, dass die Binomialverteilung eine Standardabweichung \(\sigma\) größer als 3 hat: \(\sigma>3\)
Sigma-Regel
Ist dies der Fall, kannst Du die Sigma-Regeln verwenden, um den Annahme- sowie den Ablehnungsbereich zu bestimmen.
Für eine normalverteilte Zufallsgröße \(Z\) ist die Wahrscheinlichkeit \(P\), dass ein Wert aus dem Intervall \(I\) eintritt, mit den Werten für \(P\text{ und }I\) aus der Tabelle:
| Intervall \(I\) | \(P(Z\in I)\) |
| \( [\mu-1,64\sigma;\mu+1,64\sigma]\) | \(\approx0,90\) |
| \([\mu-1,96\sigma;\mu+1,96\sigma ]\) | \(\approx0,95\) |
| \( [\mu-2,58\sigma;\mu+2,58\sigma\)] | \(\approx0,99\) |
Du weißt also dank der Sigma-Regel zum Beispiel, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 ein Wert im Intervall \( [\mu-1,64\sigma;\mu+1,64\sigma]\) eintritt. Bestimmst Du nun den Erwartungswert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\) für die Binomialverteilung mit der Wahrscheinlichkeit \(p_0\) und setzt die Werte in das Intervall ein, so erhältst Du einen Annahmebereich.
Möchtest Du mehr über die Sigma-Regeln wissen, dann sieh Dir die Erklärung "Sigma Regeln" an und in der Erklärung "Näherungsformel" findest Du weitere Informationen über die Näherung der Binomialverteilung als Normalverteilung.
Fehler 1. und 2. Art (alpha-Fehler und beta-Fehler)
Bei einem Hypothesentest können Fehler auftreten. So kann die Nullhypothese abgelehnt werden, obwohl sie richtig ist. Dieser Fehler wird Fehler 1. Art oder auch alpha-Fehler genannt.
Die Nullhypothese kann aber auch angenommen werden, obwohl sie falsch ist. Dann handelt es sich um einen Fehler 2. Art, auch beta-Fehler genannt.
| Nullhypothese \(H_0\) ist wahr | Nullhypothese \(H_0\) ist falsch |
| Nullhypothese \(H_0\) wird angenommen | richtige Entscheidung | falsche EntscheidungFehler 2. Art |
| Nullhypothese \(H_0\) wird abgelehnt | falsche EntscheidungFehler 1. Art | richtige Entscheidung |
Hypothesentest – Aufgaben & Beispiele
Hier findest Du einige grundlegende Aufgaben zum Hypothesentest und dem Aufstellen von Hypothesen. In den einzelnen vernetzten Erklärung findest Du tiefergehende Aufgaben.
Aufgabe 1
Die Produktion von Armbanduhren in einer Fabrik wird auf Fehler untersucht. Die Nullhypothese eines Hypothesentests lautet:
$$H_0: \text{Die Wahrscheinlichkeit für eine defekte Uhr ist }p=0,1$$
Stelle die Alternativhypothese auf für einen
a) linksseitigen Hypothesentest
b) rechtsseitigen Hypothesentest
c) zweiseitigen Hypothesentest
Lösung
a)
Bei einem linksseitigen Hypothesentest geht die Alternativhypothese von weniger fehlerhaften Uhren aus.
$$H_1: \text{Die Wahrscheinlichkeit für eine defekte Uhr ist }p<0,1$$
b)
Handelt es sich um einen rechtsseitigen Hypothesentest, werden mehr fehlerhafte Uhren in der Alternativhypothese vermutet.
$$H_1: \text{Die Wahrscheinlichkeit für eine defekte Uhr ist }p>0,1$$
c)
Bei einem zweiseitigen Hypothesentest wird in der Alternativhypothese die Nullhypothese verneint.
$$H_1: \text{Die Wahrscheinlichkeit für eine defekte Uhr ist }p\neq0,1$$
Aufgabe 2Bestimme den Annahmebereich eines zweiseitigen Hypothesentests mit der Sigma-Regel für \(n=1000\) und \(p=0,2\) und dem Signifikanzniveau \(\alpha=0,05\)
LösungZuerst überprüfst Du, ob die Binomialverteilung wirklich durch eine Normalverteilung angenähert werden kann. Dafür muss die Standardabweichung größer als 3 sein:\begin{align}\sigma&=\sqrt{n·p·(1-p)} \\ &=\sqrt{1000·0,2·0,8} \\ &\approx 12,65 >3\end{align}Die Sigma-Regel darf angewandt werden. Da das Signifikanzniveau \(\alpha=0,05\) ist, wird das Intervall \([\mu-1,96\sigma;\mu+1,96\sigma ]\) bestimmt. Der
Erwartungswert ist\begin{align} \mu &=n·p\\&=1000·0,2 \\ &=200\end{align} Es ist \begin{align} \mu-1,96·\sigma &= 200-1,96·12,65 \\ &=175,206 \\ \mu+1,96·\sigma &= 200+1,96·12,65 \\ &=224,794\end{align} Bei einem zweiseitigen Hypothesentest werden die Grenzen immer nach innen gerundet. Der Annahmebereich ist $$A=\{176,\dots,224\}$$
Hypothesentest - Das Wichtigste
- Jeder Hypothesentest hat eine Nullhypothese und eine Alternativhypothese.
- Auf Grundlage einer Stichprobe soll entschieden werden, ob die Nullhypothese angenommen oder abgelehnt wird.
- Es wird ein Annahme- und ein Ablehnungsbereich der Nullhypothese bestimmt.
- Es gibt verschieden Arten von Hypothesentests:
- einseitiger Hypothesentest
- linksseitiger Hypothesentest
- rechtsseitiger Hypothesentest
- zweiseitiger Hypothesentest
- Alternativtest
- Vorgehensweise bei einem Hypothesentest
- Hypothesen aufstellen
- Stichprobenumfang und Signifikanzniveau festlegen
- Entscheidungsregel aufstellen: Annahme- und Ablehnungsbereich
Nachweise
- Hartmann; Lois (2015). Hypothesentest. In: Hypothesen Testen. essentials. Springer Gabler.
- Baum et al. (2009). Lambacher Schweizer 11/12, Mathematik für Gymnasien, Gesamtband Oberstufe Niedersachsen. Ernst Klett Verlag.
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