Konfidenzintervall

95 Konfidenzintervall Formel

Am häufigsten möchte man ein Konfidenzintervall von 95 % um den gesuchten Wert. Wenn man dieses dann wie oben um den Mittelwert bestimmen möchte, ergibt sich für das $z=1,96$ und damit für das gesamte Konfidenzintervall:

Konfidenzintervall Binomialverteilung

Beginnst Du Deine Suche mit einer Verteilung, die nicht (wie eine Normalverteilung) kontinuierlich ist, sondern nur aus einer Menge an einzelnen Bernoulli-Experimenten besteht, ist bei wenigen Stichproben die Rechnung von oben nicht anwendbar.

Bei sehr vielen Stichproben geht die Binomialverteilung in die Normalverteilung über und Du kannst die gleichen Formeln darauf anwenden.

Konfidenzintervall in der Normalverteilung berechnen

In den meisten Fällen, wenn Du ein konkretes Konfidenzintervall bestimmen sollst und Du nicht weißt, in welcher Verteilung die Messwerte gegeben sind, ist die Normalverteilung gemeint.

Als Erstes schaust Du nach, ob Du alle Werte hast, die Du benötigst und welche Du noch bestimmen oder herausfinden musst.

1. Mittelwert
2. Standardabweichung
3. z-Wert aus Konfidenzniveau
4. Konfidenzintervall KI bestimmen

1. Mittelwert ermitteln

Ist der Mittelwert nicht gegeben, musst Du ihn selbst bestimmen. Wenn Du zum Beispiel einen sehr großen Datensatz hast, nimmst Du eine (zufällige) Stichprobe und mittelst diese. Notiere Dir die Größe der Stichprobe n. Diese wird für die Standardabweichung im letzten Schritt benötigt. Ein möglichst guter Mittelwert ist besonders wichtig, denn um diesen baut sich Dein Konfidenzintervall auf. Er ist immer genau in der Mitte. Ist dieser Wert falsch, ist das Intervall falsch.

Den Mittelwert der Stichprobenwerte ermittelst Du, indem Du die Summe der Einzelwerte durch ihre Anzahl dividierst.

$x=\frac{\sum _{}{x}_i}{n}$

2. Standardabweichung berechnen

Wie Du an die Standardabweichung σ kommst, kannst Du hier noch mal herausfinden.

Um die Standardabweichung zu berechnen, ziehst Du die Wurzel aus der Varianz. Die Varianz σ² ist definiert als die Summe der Quadrate der Differenzen zwischen Mittelwert $\overline{x}$ und den einzelnen Werten der Messungen x_i (hier die Werte der Stichprobe), geteilt durch die Anzahl der Beobachtungen (hier die Stichprobengröße) n minus 1.

${\sigma }^2=\frac{\sum {(\overline{x}-x_i)}^2}{n-1}$

Die Varianz ist die Summe der Quadrate der Differenzen zwischen all deinen Stichprobenwerten geteilt durch die Anzahl der Stichprobenwerte minus 1. Und daraus die Wurzel ergibt die gesuchte Standardabweichung.

$\sigma =\sqrt{\frac{\sum {(\overline{x}-x_i)}^2}{n-1}}$

3. z-Wert aus Konfidenzniveau

Um den z-Wert zu bestimmen, musst Du die Verteilung, die Du momentan hast, mit dem gewünschten Konfidenzniveau in die Standardnormalverteilung transformieren.

Dafür gibt es Tabellen, aus denen Du diesen Wert zum gewünschten Niveau ablesen kannst.

4. Konfidenzintervall Intervallschätzung

Für die Bestimmung des Konfidenzintervalls bei einer Normalverteilung benötigst Du für das Einsetzen in die finale Formel von oben:

• $\overline{x}$ : Mittelwert
• z: z-Wert (des Konfidenzniveaus)
• σ: Standardabweichung
• n: Stichprobengröße

Nun hast Du alle benötigten Werte bestimmt und kannst diese in die Formel einsetzen:

$KI=\overline{x}\pm 1,96·\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

Dann bleibt noch die Frage, was es mit dem Plus-Minus auf sich hat und wie aus einer Formel ein Intervall wird. Glücklicherweise kannst Du beide Fragen mit der gleichen Antwort lösen.

Ein Intervall hat eine Obergrenze, die sich aus der Formel mit dem Plus und eine Untergrenze, die sich aus der Formel mit dem Minus ergibt.

Also konkret:

$$\begin{gathered} K{I}_{Untergrenze}=\overline{x}-z·\frac{\sigma }{\sqrt{n}} \\ K{I}_{Obergrenze}=\overline{x}+z·\frac{\sigma }{\sqrt{n}} \end{gathered}$$

Interpretation des Konfidenzintervalls

Wenn Du jetzt die ermittelten Werte interpretieren möchtest, ist es hilfreich, noch mal einen Blick auf die Formel für das Konfidenzintervall und den Einfluss der darin enthaltenen Parameter zu werfen. Dabei achtest Du vorwiegend darauf, welche Werte rechts vom $\pm$ oberhalb und unterhalb des Bruchstrichs stehen.

$KI=\overline{x}\pm z·\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

Der Mittelwert $\overline{x}$ (oder allgemeiner: Deine Punktschätzung), befindet sich immer in der Mitte, genau zwischen den beiden Grenzen. Der gesamte Teil der Formel rechts vom $\pm$ zeigt, wie breit das Intervall sein wird.

Sind Standardabweichung σ und z-Wert groß und n klein, wird das Konfidenzintervall sehr breit und ungenau, enthält aber umso sicherer den korrekten Wert.

Woher kommen die Werte also und wie genau kann man sie beeinflussen?

Der z-Wert kommt vom angestrebten Konfidenzniveau. Wenn Du Dir ganz sicher sein willst (99 % führt zu $2,576$), dass der korrekte Mittelwert im angegebenen Intervall ist, muss das Intervall zwangsweise sehr groß werden, da der z-Wert mit dem Konfidenz-Niveau größer wird. Ein niedrigeres Konfidenzniveau (80 % hat $z=1,282$) sorgt entsprechend für ein schmaleres Intervall.

Die Standardabweichung (bzw. die Varianz) hängt vom Datensatz im Allgemeinen bzw. von der genommenen Stichprobe im Speziellen ab. Darauf hast Du also keinen so großen Einfluss. Hier ist auch klar, dass, wenn die Werte sehr stark schwanken (hohe Standardabweichung) auch die Verteilung und damit das Konfidenzintervall breiter werden muss.

Auf das n hast Du wieder insofern Einfluss, wenn Du einen gesamten, großen Datensatz da hast, aus dem Du selbst eine Stichprobe entnehmen kannst. Da das n unter dem Bruchstrich steht, kannst Du hier also mit mehr aufgenommenen Werten (größere Stichprobe) zu einem, kleineren Konfidenzintervall und damit einer höheren Wahrscheinlichkeit den korrekten Wert zu enthalten, kommen.