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Binomialverteilung Näherungsformel
Näherungsformeln werden in der Stochastik für die Näherung der Binomialverteilung verwendet. Die Binomialverteilung beschreibt eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der eine Folge von \(n\) gleichen und unabhängige Bernoulli Experimenten hintereinander durchgeführt werden. Bei den Bernoulli Experimenten ist der Ausgang entweder Erfolg oder Misserfolg. Dabei ist \(k\) die Anzahl der Erfolge. Die Formel für die Binomialverteilung lautet:
$$P(X = k) = \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k}$$
Alles zum Thema Binomialverteilung kannst Du in der Erklärung Binomialverteilung noch mal nachlesen.
Beispielhafte Binomialverteilungen bei konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit \(p=0{,}65\) und wachsendem \(n\) sind in Abbildung 1 zu sehen.
Abb. 1 - Beispielhafte Binomialverteilungen
Die Berechnung der Binomialverteilung ist für große \(n\) aufgrund des Binomialkoeffizienten in der Formel rechenintensiv. Deshalb wurden Näherungsformeln für die Binomialverteilung in der Stochastik entwickelt, um die Binomialverteilung für große \(n\) Werte annähern zu können.
Die Kontur der Histogramme von Binomialverteilungen haben bei wachsendem \(n\) und gleichbleibender Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) ihr Maximum beim Erwartungswert \(\mu=n \cdot p\) und eine Standardabweichung von \(\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot (1 – p)}\). Ebenso werden die Histogramme der binomialverteilten Zufallsvariablen \(X\) breiter und symmetrischer um den Erwartungswert \(\mu\).
Betrachtest Du die Kontur der Histogramme, so kannst Du genau dieses Phänomen beobachten (Abbildung 2).
Bei der blauen Binomialverteilung mit \({\color{bl}n}=\color{bl}20\) gilt: \begin{align}\mu&=20\cdot 0{,}65=13 \\ \sigma &= \sqrt{20\cdot 0{,}65 \cdot (1 – 0{,}65)}=2{,}13 \end{align}
Bei der grünen Binomialverteilung mit \({\color{gr}n}=\color{gr}50\) gilt: \begin{align}\mu&=50\cdot 0{,}65=32{,}5 \\ \sigma &= \sqrt{50\cdot 0{,}65 \cdot (1 – 0{,}65)}=3{,}37 \end{align}
Bei der pinken Binomialverteilung mit \({\color{r}n}=\color{r}100\) gilt: \begin{align}\mu&=100\cdot 0{,}65=65 \\ \sigma &= \sqrt{100\cdot 0{,}65 \cdot (1 – 0{,}65)}=4{,}77 \end{align}
Abb. 2 - Binomialverteilungen mit Maxima bei \(\mu\)
Um das Verhalten der Binomialverteilung \(B_{n;p}\) für große Werte von \(n\) besser untersuchen zu können, wird die Zufallsvariable standardisiert. Dadurch erhältst Du die neue, standardisierte Zufallsvariable \(Z\): $$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$
Wie Du die Formel für die standardisierte Zufallsvariable erhältst, kannst Du Dir einmal grafisch vorstellen. Die Histogramme liegen an einer bestimmten Stelle an der \(x\)-Achse. Im ersten Schritt verschiebst Du Dein Histogramm so, dass der Erwartungswert \(\mu = n \cdot p\) auf der \(y\)-Achse liegt. Dadurch wird jeder Wert \(X=k\) um \(\mu\) in negative \(x\)-Richtung verschoben. Im zweiten Schritt stauchst Du die ursprünglichen Rechteckbreiten um den Faktor \(\frac{1}{\sigma}\). Nun musst Du allerdings noch die Höhe der Rechtecke um \(\sigma\) dehnen, damit die Rechtecksflächen, also die Wahrscheinlichkeiten \(B(n;p)\)erhalten bleiben. Der Wert der neuen Zufallsvariablen \(Z\) bleibt davon allerdings unberührt, somit spiegeln sich nur die ersten beiden Schritte in der Formel wider.
Die neue, standardisierte Zufallsvariable \(Z\) nimmt für \(X>\mu\) positive und für \(X<\mu\) negative Werte an. Eine solche Verteilung heißt standardisierte Binomialverteilung \(\sigma \cdot P(Z)\) und ist die Basis der Näherungsformeln der Binomialverteilung in der Stochastik.
Als Beispiel kannst Du Dir die Standardisierung der Binomialverteilung \(B_{100;0{,}65}\), also des pinken Histogramms ansehen.
Im ersten Schritt verschiebst Du Dein Histogramm um \(\mu = 65\) auf der \(x\)-Achse nach links, sodass \(\mu\) auf der \(y\)-Achse liegt. Im zweiten Schritt stauchst Du die ursprünglichen Rechteckbreiten um den Faktor \(\frac{1}{4{,}77}\) und dehnst die Höhe der Rechtecke um \(\sigma = 4{,}77\), damit die Rechtecksflächen, also die Wahrscheinlichkeiten \(B_{100;0{,}65}\) erhalten bleiben. Das Histogramm der standardisierten Binomialverteilung kannst Du in der folgenden Abbildung sehen.
Abb. 3 - Standardisierte Bionomialverteilung \(B_{100; 0{,}65}\)
Integrale Näherungsformel – Moivre-Laplace
Die integrale Näherungsformel für die Binomialverteilung in der Stochastik geht auf De Moivre und Laplace zurück. De Moivre entdeckte, dass die Form der Histogramme von standardisierter Binomialverteilungen trotz unterschiedlicher Parameter \(n\) und \(p\) einen sich ähnelnden, glockenförmigen Verlauf zeigen. Die Kontur lässt sich somit durch den Graphen der Gauß’sche Glockenfunktion \(\varphi\) einer Standardnormalverteilung mit den Parametern \(\mu\) und \(\sigma\) annähern (Abbildung 4).
Abb. 4 - Annäherung der standardisierten Binomialverteilung durch den Graphen der Standardnormalverteilung
Laplace griff später diese Überlegungen auf und stellte fest, dass die Histogramme standardisierter Binomialverteilungen besser durch die Gauß’sche Glockenkurve einer Normalverteilung angenähert werden können, je größer die Standardabweichung \(\sigma\) ist.
Abb. 5 - Annäherung der Binomialverteilung bei unterschiedlichen \(\sigma\)
Aus dieser Annäherung ergibt sich die integrale Näherungsformel von Moivre-Laplace, mit der sich die Wahrscheinlichkeit innerhalb eines bestimmten Intervalls \(P(a\leq X \leq b)\) berechnen lässt.
Die integrale Näherungsformel von Moivre-Laplace besagt im Allgemeinen:
Für eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit den Parametern \(n\) und \(p\) sowie reelle Zahlen \(a\) und \(b\) gilt: \begin{align} P(a \leq X \leq b ) &\approx \int_{a-0{,}5}^{b+0{,}5} \varphi(Z) dZ \\&\approx \biggl[\Phi(Z)\biggr]_{a-0{,}5}^{b+0{,}5} \\&\approx \biggl[\Phi\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)\biggr]_{a-0{,}5}^{b+0{,}5} \\ &\approx \Phi \left( \frac{b + 0,5 - \mu}{\sigma} \right) - \Phi \left( \frac{a - 0,5 - \mu}{\sigma} \right) \end{align}
\(\varphi\) ist dabei die Gauß'sche Glockenfunktion \(\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2}\)
Die Funktion \(\Phi\) ist die Integralfunktion der Gauß'schen Glockenfunktion.
Als Grenzen des Integrals wählst Du \(a-0{,}5\) und \(b+0{,}5\), denn die Fläche der zugehörigen Säulen des Histogramms befindet sich genau zwischen diesen Werten. Diese Veränderung der Integrationsgrenzen wird Stetigkeitskorrektur genannt.
Die Integralfunktion \(\Phi\) lässt sich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken. Allerdings kann sie mithilfe numerischer Methoden beliebig genau berechnet und tabelliert werden. Die Werte für \(\Phi\), die Du zur Berechnung Deines Näherungswertes brauchst, kannst Du somit einer mathematischen Formelsammlung oder einem Tabellenwerk entnehmen.
Die Näherung ist dabei hinreichend gut, wenn für die Standardabweichung \(\sigma > 3\) gilt. Diese Bedingung wird Laplace-Bedingung genannt.
Du schaust zurück auf das pinke Histogramm aus dem Beispiel vorher:
Die Wahrscheinlichkeit \(P(60 \leq X \leq 75)\) erhältst Du aus dem Histogramm als Summe der Flächeninhalte der Säulen zu den \(k\)-Werten von \(60\) bis \(75\). Sie kann damit durch den Inhalt einer Fläche zwischen Glockenkurve und \(x\)-Achse angenähert werden, die Du mithilfe der integralen Näherungsformel berechnen kannst:
\begin{align} P(60 \leq X \leq 75 ) &\approx \int_{59{,}5}^{75{,}5} \varphi (Z) dZ \\&\approx \biggl[\Phi(Z)\biggr]_{59{,}5}^{b+75{,}5} \\&\approx \biggl[\Phi\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)\biggr]_{59{,}5}^{b+75{,}5} \\ &\approx \Phi \left( \frac{75{,}5 - \mu}{\sigma} \right) - \Phi \left( \frac{59{,}5 - \mu}{\sigma} \right) \end{align}
In diesem Beispiel galt: \begin{align}\mu&=65 \\ \sigma &=4{,}77 \end{align}
Diese Werte kannst Du in die Formel einsetzen: \begin{align} P(60 \leq X \leq 75 ) &\approx \Phi \left( \frac{75{,}5 - 65}{4{,}77} \right) - \Phi \left( \frac{59{,}5 - 65}{4{,}77} \right) \\&\approx \Phi(2{,}20)-\Phi(-1{,}07) \\&\approx 0{,}9861 - 0{,}1423 \\&\approx 0{,}8438\end{align}
Die Werte für \(\Phi\) kannst Du in der Formelsammlung nachschlagen.
Außerdem kannst Du, je nachdem, welche Wahrscheinlichkeit Du berechnen willst, eine lokale und eine globale Näherungsformel anwenden.
Lokale Näherungsformel
Statt die Histogramme durch eine Standardisierung auf die Glockenkurve zu übertragen, kannst Du auch den umgekehrten Weg gehen, indem Du die Standardnormalverteilung \(\varphi\) den nicht-standardisierten Binomialverteilungen anpasst. Dazu wendest Du folgende Schritte an:
- Verschiebung der standardisierten Dichtekurve \(\varphi\) nach rechts um \(\mu\)
- Dehnung der Breite mit dem Faktor \(\sigma\)
- Stauchung der Höhe mit dem Faktor \(\frac{1}{\sigma}\)
So erhältst Du aus der Standardnormalverteilung \(\varphi\) die Funktion \(\varphi _{\mu; \sigma}(x)=\frac{1}{\sigma} \varphi \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right)\).
Der Funktionswert für \(\varphi _{\mu ; \sigma}\) ist für große \(n\) eine gute Näherung für die Höhe des Rechtecks an der Stelle \(k\) und damit für die Wahrscheinlichkeit \(P(X=k)\), genau k Treffer zu erzielen. Für große n gilt also die lokale Näherungsformel.
Die lokale Näherungsformel lautet:
$$ P(X = k ) \approx \frac{1}{\sigma} \varphi \left( \frac{k - \mu}{\sigma} \right)$$
Ein Beispiel siehst Du im Folgenden.
Wenn Du an das pinke Histogramm denkst, so kannst Du dieses mit der lokalen Näherungsformel annähern, indem Du die entsprechenden Werte für \(\mu\) und \(\sigma\) einsetzt:
Abb. 5 - Lokale Näherungsformel am Beispiel der Binomialverteilung \(B_{100; 0{,}65}\)
Wenn Du nun wissen möchtest, was die Wahrscheinlichkeit für beispielsweise \(P(X=60)\) ist, kannst Du das über die lokale Näherungsformel berechnen:
\begin{align} P(X = 60 ) &\approx \frac{1}{4{,}77} \varphi \left( \frac{60 - 65}{4{,}77} \right) \\&\approx \frac{1}{4{,}77} \varphi \left( \frac{-5}{4{,}77} \right) \end{align}
Die Gauß'sche Glockenfunktion \(\varphi\) ist dabei: $$\varphi_{\mu ; \sigma}(Z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2}$$
Somit kannst Du die Werte einsetzen und die Näherung berechnen:
\begin{align} P(X = 60 ) &\approx \frac{1}{4{,}77} \varphi \left( \frac{-5}{4{,}77} \right)\\&\approx \frac{1}{4{,}77} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{-5}{4{,}77} \right)^2}\\&\approx 0{,}05\end{align}
Die näherungshafte Wahrscheinlichkeit genau \(k=60\) Treffer zu erzielen beträgt also \(0{,}05\).
Globale Näherungsformel
Die globale Näherungsformel gibt dementgegen einen Näherungswert für \(P(X\leq k)\) an, also die Wahrscheinlichkeit, weniger oder gleich k Treffer zu erzielen.
Die globale Näherungsformel lautet:
$$ P(X \leq k ) \approx \Phi \left( \frac{k +0{,}5 - \mu}{\sigma} \right)$$
Die globale Näherungsformel gibt eine für große \(n\) gute Näherung der Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) und wird Normalverteilung genannt.
Du möchtest nun die Wahrscheinlichkeit \(P(X\leq 72)\) für das pinke Histogramm berechnen. Dafür wendest Du die globale Näherungsformel an und setzt die bekannten Werte \(\mu = 65\) und \(\sigma = 4{,}77\) ein:
\begin{align} P(X \leq 72 ) &\approx \Phi \left( \frac{72 +0{,}5 - 65}{4{,}77} \right)\\&\approx \Phi(1{,}57)\\&\approx 0{,}94179 \end{align}
Den Wert für \(\Phi\) entnimmst Du wieder Deiner Tabelle.
Näherungsformel – Das Wichtigste
- Um das Verhalten der Binomialverteilung \(B_{n;p}\) für große Werte von \(n\) besser untersuchen zu können, wird die Zufallsvariable standardisiert: \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\)
- Die integrale Näherungsformel von Moivre-Laplace besagt im Allgemeinen:
\( P(a \leq X \leq b ) \approx \int_{a-0{,}5}^{b+0{,}5} \varphi(Z) dZ \approx \Phi \left( \frac{b + 0,5 - \mu}{\sigma} \right) - \Phi \left( \frac{a - 0,5 - \mu}{\sigma} \right) \)
Die lokale Näherungsformel lautet \( P(X = k ) \approx \frac{1}{\sigma} \varphi \left( \frac{k - \mu}{\sigma} \right) \)
Die globale Näherungsformel lautet \( P(X \leq k ) \approx \Phi \left( \frac{k +0{,}5 - \mu}{\sigma} \right)\)
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