Wusstest Du, dass Du mit alltäglichen Objekten, wie beispielsweise Bonbons, verschiedene Abzählmethoden der Kombinatorik zeigen kannst, unter anderem auch die Permutation? Schnapp Dir einfach ein paar Bonbons und erlebe mit dieser Erklärung hautnah mit, wie der Begriff Permutation definiert ist, welche Formeln für Dich wichtig sind und wie Du mit diesen Formeln in Beispielen rechnen kannst. Außerdem erfährst Du, was Permutationen mit und ohne Wiederholung unterscheidet.
Permutation Definition & Bedeutung
Welche Bedeutung der Begriff Permutation hat, lässt sich anhand eines kleinen Beispiels verdeutlichen.
Stell Dir vor, in einem Behälter befinden sich etwa \(5\) Bonbons. Jede Süßigkeit hat dabei eine unterschiedliche Farbe. Du kannst also alle fünf Bonbons voneinander unterscheiden.
Aus diesem Gefäß nimmst Du nun ein Bonbon und legst es vor Dir auf den Tisch. Du ziehst etwa ein gelbes Bonbon. Von den vier übrigen Süßigkeiten im Behälter holst Du ein weiteres lila Bonbon heraus und legst es neben das gelbe.
Das zufällige Ziehen eines Bonbons aus dem Behälter fällt übrigens in die Kategorie Zufallsexperimente. Lies gerne alles rund um das Thema in der Erklärung „Zufallsexperiment“.
Mit den übrigen Bonbons verfährst Du ebenso, bis Du eine Reihe mit den fünf Bonbons gebildet hast, zum Beispiel die Reihenfolge gelb, lila, rot, blau, grün.
Aus \(5\) verschiedenen Bonbons hast Du nun eine gewisse Anordnung gebildet, eine sogenannte Permutation. Natürlich kannst Du die fünf Süßwaren aus dem Beispiel auch anders anordnen und erhältst eine weitere Permutation.
Allgemein lässt sich dies wie folgt definieren:
Eine Permutation ist jede mögliche Anordnung von \(n\) Elementen aus einer Menge mit \(n\) Elementen in einer bestimmten Reihenfolge.
Im Falle einer Permutation nutzt Du also alle Elemente, wie beispielsweise alle fünf Bonbons aus dem Behälter.
Entnimmst Du aus dem Gefäß lediglich eine Stichprobe und ordnest diese an, dann handelt es sich um eine Variation (manchmal auch \(k\)-Permutation). Mehr dazu erfährst Du im Abschnitt „Kombinatorik Permutation Variation Kombination“ weiter unten.
Eine mögliche Permutation kannst Du auf unterschiedliche Weise angeben. Sieh Dir dazu den nächsten Abschnitt an.
Permutation – Schreibweisen
Nimm Dir dazu drei Bonbons mit unterschiedlicher Farbe zur Hand, wenn Du welche zu Hause hast. Beispielsweise mit den Farben blau, grün und rot.
Alle drei Bonbons werden in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet. Zum Beispiel zuerst das grüne (G) Bonbon, dann das rote (R) Bonbon und zuletzt das blaue (B).
Die Permutation kannst Du zum Beispiel über die Tupel-Schreibweise wie folgt angeben: \( ({\color{#00DCB4}G},\,{\color{#FA3273}R},\, {\color{#1478C8}B})\)
Ein \(n\)-Tupel enthält genau \(n\) Elemente in einer bestimmten Reihenfolge. So hat ein \(3\)-Tupel genau drei Elemente wie beispielsweise \((1,\,2,\,3)\).
Alternativ kannst Du eine Permutation auch über eine Matrix darstellen. Lies Dir dazu gerne die nachfolgende Vertiefung durch!
Permutation Matrix – Schreibweise
Eine Permutation lässt sich auch über eine zweizeilige Matrix darstellen.
Alles rund um die Matrix findest Du in der Erklärung „Matrizen“.
Drei Bonbons werden mit den Zahlen \(1\), \(2\) und \(3\) nummeriert. Eine mögliche Anordnung (Permutation) wäre beispielsweise in Tupel-Schreibweise \(({\color{#1478C8}2},\,{\color{#00DCB4}1},\,{\color{#FA3273}3})\). In einer zweizeiligen Matrix könnte dies wie folgt dargestellt werden:
\begin{align}\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ {\color{#1478C8}2}&{\color{#00DCB4}1}&{\color{#FA3273}3}\end{array}\right)\end{align}
Die zweite Zeile steht dabei für die permutierte Anordnung.
Du kannst die Bonbons aus dem Beispiel auf unterschiedliche Weise anordnen. Aber wie viele Anordnungsmöglichkeiten gibt es denn überhaupt? Dies hängt davon ab, ob Du ausschließlich unterscheidbare Objekte nutzt oder ob Objekte auch mehrfach vorkommen. Die nachfolgende Tabelle zeigt Dir dabei eine kurze Übersicht.
| |
- alle \(n\) Elemente sind unterschiedlich
| - von den \(n\) Elementen sind manche gleich
|
Zunächst zur Permutation ohne Wiederholung.
Permutation ohne Wiederholung
Die Permutation ohne Wiederholung hast Du bereits in dem kleinen Bonbon-Beispiel kennengelernt. Befinden sich in einem Gefäß beispielsweise \(5\) unterschiedliche Süßwaren, so kannst Du eine Permutation ohne Wiederholung bilden. Alle Objekte sind hierbei voneinander unterscheidbar; kein Element kommt mehrfach vor.
Eine Permutation ohne Wiederholung ist somit jede mögliche Anordnung von \(n\) unterscheidbaren Elementen aus einer Menge mit \(n\) Elementen.
Über eine Formel kannst Du sogar berechnen, wie viele mögliche Anordnungen (Permutationen) es konkret gibt.
Permutation Formel – ohne Wiederholung
Möchtest Du die Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten bei einer Permutation ohne Wiederholung herausfinden, so kannst Du diese beispielsweise bei wenigen Objekten durch Ausprobieren finden. Damit Du besonders bei einer hohen Anzahl von Elementen nicht alle Anordnungen in einem Versuch bestimmen musst, kannst Du sie über eine Formel berechnen.
Für die Anzahl der Permutationen \(P(n)\) von \(n\) unterscheidbaren Elementen aus einer Menge mit \(n\) Elementen gilt:
\[P(n)=n!\]
Der Ausdruck „!“ steht für mathematisch für Fakultäten. Möchtest Du mehr darüber erfahren, so lies in der Erklärung „Fakultät“ nach.
Zeit für ein kleines Beispiel, bei dem Du die Anzahl berechnen kannst!
Permutation berechnen – Permutation Beispiel ohne Wiederholung
In einem Hotel befindet sich an der Rezeption ein Schlüsselbrett mit \(12\) Haken für die jeweiligen Hotelzimmer. Dort können die \(12\) Schlüssel mit den Zimmernummern von \(1\,-\,12\) aufgehängt werden. In wie vielen unterschiedlichen Anordnungen kannst Du die Schüssel anhängen?
Die Anzahl der Schlüssel ist hierbei zu groß, um die Anzahl der Permutationen in einem Versuch herauszufinden.
Über die Formel kannst Du die Anzahl der Möglichkeiten \(P(n)\) aber berechnen, indem Du die Fakultät für \(n=12\) ausrechnest.
\begin{align}P(n)&=n!\\[0.1cm]P(12)&=12!\\[0.1cm]P(12)&=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12\\[0.1cm]P(12)&=479\,001\,600\end{align}
Es gibt demnach \(479\,001\,600\) unterschiedliche Möglichkeiten, die Schlüssel an das Schlüsselbrett zu hängen.
Warum Du die Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung über die Fakultät berechnen kannst und wie Du Baumdiagramme dafür nutzt, erfährst Du in der Erklärung „Permutation ohne Wiederholung“.
Was aber, wenn Du in Deiner Aufgabe die Anzahl der Permutationen bestimmen sollst, bei der Objekte mehrfach vorkommen? Dann handelt es sich um eine Permutation mit Wiederholung.
Permutation mit Wiederholung
Bei der Permutation mit Wiederholung sind Elemente in einer Menge mehrfach vorhanden. So kann es beispielsweise sein, dass Du ein Gefäß mit Bonbons hast, wobei es mehrere gleiche Süßigkeiten gibt. Ein Bonbongefäß enthält zum Beispiel zwei blaue Bonbons, ein grünes und drei gelbe.
Eine Permutation mit Wiederholung ist somit jede mögliche Anordnung von \(n\) Elementen aus einer Menge mit \(n\) Elementen, wobei \(k_1\), \(k_2\), ... , \(k_r\) gleiche Elemente vorhanden sind.
Auch in diesem Fall kannst Du die Anzahl der Permutationen über eine Formel berechnen, um die Anzahl nicht händisch bestimmen zu müssen.
Permutation Formel – mit Wiederholung
Möchtest Du die Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten bei einer Permutation mit Wiederholung herausfinden, so musst Du nicht nur die Gesamtanzahl \(n\) der Elemente bestimmen, sondern auch die Anzahl gleicher Elemente.
Für die Anzahl der Permutationen \(P(n;\,k_1,\,k_2\, ,\,...\, ,k_r)\) von \(k_1,\,k_2\, ,\,...\, ,k_r\) gleichen Elementen aus einer Menge mit \(n\) Elementen gilt:
\[P(n;\,k_1,\,k_2\, ,\,...\, ,k_r)=\dfrac{n!}{k_1!\cdot k_2!\,\cdot\, ...\, \cdot \,k_r!}\]
mit \(n=k_1+k_2+...+k_r\) und \(r\leq n\).
Sieh Dir dazu gleich ein Beispiel an!
Permutation berechnen – Permutation Beispiel mit Wiederholung
In einem Bonbonglas befinden sich insgesamt \(14\) Bonbons, wobei \(4\) grün sind, \(2\) blau, \(5\) rot und \(3\) gelb.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Bonbons nebeneinander anzuordnen?
Hast Du eine mögliche Permutation gefunden, so kannst Du beispielsweise zwei grüne Bonbons miteinander vertauschen. Entsteht dadurch eine neue Permutation? Nein, es entsteht durch das Vertauschen keine neue Anordnung. Dies muss bei der Berechnung beachtet werden.
Zunächst werden die erforderlichen Stückzahlen für die Formel bestimmt.
\begin{align}n&=14 \\[0.1cm]k_1&={\color{#00DCB4}4}\\[0.1cm]k_2&={\color{#1478C8}2}\\[0.1cm]k_3&={\color{#FA3273}5}\\[0.1cm]k_4&={\color{#FFCD00}3}\end{align}
Setzt Du nun die ermittelten Anzahlen ein, so ergibt sich:
\begin{align}P(n;\,k_1,\,k_2\, ,\,...\, ,k_r)&=\dfrac{n!}{k_1!\cdot k_2!\,\cdot\, ...\, \cdot \,k_r!}\\[0.2cm]P(14;\,{\color{#00DCB4}4},\,{\color{#1478C8}2},\,{\color{#FA3273}5},\, {\color{#FFCD00}3} )&=\dfrac{14!}{4!\cdot 2!\cdot5! \cdot3!}\\[0.3cm]P(14;\,{\color{#00DCB4}4},\,{\color{#1478C8}2},\,{\color{#FA3273}5},\, {\color{#FFCD00}3} )&=\dfrac{87\,178\,291\,200}{24\cdot2\cdot120\cdot6}\\[0.3cm]P(14;\,{\color{#00DCB4}4},\,{\color{#1478C8}2},\,{\color{#FA3273}5},\, {\color{#FFCD00}3} )&=2\,522\,520\end{align}
Hier gibt es demnach \(2\,522\,520\) unterschiedliche Anordnungsmöglichkeiten für die Bonbons.
Alles rund um das Thema Anordnungsmöglichkeiten mit gleichen Elementen findest Du im Artikel „Permutation mit Wiederholung“.
Wählst Du aus einer Menge von Objekten nur eine Stichprobe von Elementen aus, so handelt es sich um andere Abzählmethoden der Kombinatorik.
Kombinatorik Permutation Variation Kombination
In der Kombinatorik gibt es neben Permutationen noch weitere Abzählmethoden, die sich aus dem allgemeinen Zählprinzip ableiten lassen.
In der Erklärung „Produktregel Kombinatorik“ erfährst Du mehr über das allgemeine Zählprinzip.
Wählst Du aus einer Menge mit \(n\) Elementen alle \(n\) Elemente aus und ordnest diese an, dann handelt es sich um eine Permutation. Bei der sogenannten Variation (manchmal auch \(k\)-Permutation) wird lediglich ein Teil der Objekte betrachtet (also eine Stichprobe mit \(k\) Elementen aus \(n\) Elementen).
In einem Gefäß befinden sich \(10\) Murmeln. Die Gesamtanzahl beträgt somit \(n=10\). Ordnest Du alle \(10\) Elemente in einer bestimmten Reihenfolge an, so hast Du eine Permutation ermittelt.
Ordnest Du lediglich \(7\) Murmeln aus den insgesamt \(10\) Murmeln in einer bestimmten Reihenfolge an, handelt es sich bei der Abzählmethode um eine Variation.
Interessiert Dich in einer Stichprobe die Reihenfolge der Elemente nicht, dann bestimmst Du nur die Kombinationsmöglichkeiten. Eine solche ungeordnete Stichprobe nennt sich Kombination.
Je nachdem, um welche Abzählmethode es sich handelt, wird die Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten mit einer anderen Formel berechnet. Die nachfolgende Tabelle zeigt Dir dabei einen kurzen Überblick.
| Stichprobe | ohne Wiederholung | mit Wiederholung |
| Permutation | nein | \[n!\] | \[\dfrac{n!}{k_1!\cdot k_2!\,\cdot\, ...\, \cdot \,k_r!}\] |
| Variation | ja, geordnet | \[\dfrac{n!}{(n-k)!}\] | \[n^k\] |
| Kombination | ja, ungeordnet | \[\left(\begin{array}{c} n \\ k\\\end{array}\right)\] | \[\left(\begin{array}{c} n+k-1 \\ k\\\end{array}\right)\] |
In den Erklärungen „Variation“ und „Kombination“ erfährst Du mehr über geordnete und ungeordnete Stichproben und die Formeln aus der Tabelle.
Hast Du Lust, direkt noch ein paar Übungsaufgaben zu Permutationen zu lösen und Dein Wissen zu testen? Dann sieh Dir gerne die zugehörigen Karteikarten zur Permutation an.
Permutation – Das Wichtigste
- Eine Permutation ist jede mögliche Anordnung von \(n\) Elementen aus einer Menge mit \(n\) Elementen.
- Sind alle angeordneten Elemente voneinander verschieden, so handelt es sich um eine Permutation ohne Wiederholung.
- Bei einer Permutation mit Wiederholung enthält die Anordnung mehrfach vorkommende Objekte.
- Die Anzahl der Permutationen berechnet sich durch:
- \[\hspace{2cm}n! \hspace{2.5cm}\text{(ohne Wiederholung)}\]
- \[\dfrac{n!}{k_1!\cdot k_2!\,\cdot\, ...\, \cdot \,k_r!}\hspace{1cm}\text{(mit Wiederholung)}\]
- Wird nur eine Stichprobe mit \(k\) Elementen aus \(n\) Objekten angeordnet, so ist dies eine Variation.
- Bleibt die Reihenfolge der Objekte in der Stichprobe unberücksichtigt, handelt es sich um eine Kombination.
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