Pfadregeln

In diesem Kapitel geht es um die Pfadregeln. Dieses Thema ist in das Fach „Mathematik“ einzuordnen und ist ein Teil der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Wir erklären dir in den folgenden Abschnitten die beiden Pfadregeln und verdeutlichen dir das Ganze noch an Beispielen.

Am Ende dieses Kapitels bist du sicher ein Profi im Bereich „Pfadregeln“! ☺ Am Schluss haben wir dir noch einmal das Wichtigste zu diesem Thema zusammengefasst!

Für was benötigst du die Pfadregeln? – die Basics zuerst!

Oft sind Wahrscheinlichkeitsexperimente mehrstufig. Wenn du beispielsweise wissen möchtest, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist nach einer pinken (1.Stufe) eine blaue Kugel (2.Stufe) zu ziehen, benötigst du die Pfadregeln.

Baumdiagramme

Um Zufallsexperimente darzustellen, werden häufig Baumdiagramme benutzt. Die einzelnen „Wege“ des Baumdiagramms werden dabei mit Wahrscheinlichkeiten versehen.

Im folgenden Beispiel liegt ein dreistufiges Zufallsexperiment vor. Der „Baum“ in unserem Diagramm hat also drei Stufen.

Wir haben eine Urne mit verschiedenen pinken und blauen Kugeln und wollen darauf drei Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Mithilfe der Pfadregeln können wir beispielsweise die folgenden Fragen beantworten:

• Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alle drei Kugeln pink?
• Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist unter den drei gezogenen Kugeln eine Pinke dabei?

Falls du dein Wissen zum Thema Baumdiagramme auffrischen möchtest, schau dir doch den Artikel dazu an!

Die 1.Pfadregel

Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment, erhältst du, wenn du alle Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades miteinander multiplizierst.

Du verwendest diese Regeln, wenn du beispielsweise wissen möchtest, mit welcher Wahrscheinlichkeit zuerst eine pinke Kugel, dann eine Blaue und dann nochmal eine Blaue gezogen wird.

In unserem Beispiel wäre die zugehörige Wahrscheinlichkeit dann:

Tipp: Wenn das Wort „und“ vorkommt, verwendest du meist die erste Pfadregel.

Die 2.Pfadregel

Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment, erhältst du, wenn du alle Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addierst. Die 2.Pfadregel baut also auf 1.ersten Pfadregel auf.

Du verwendest diese Pfadregel, wenn du beispielsweise wissen möchtest, mit welcher Wahrscheinlichkeit genau eine pinke Kugel gezogen wird.

Diese Pfadregel ist etwas komplizierter, denn wir müssen uns zu allererst das Baumdiagramm anschauen und überlegen, bei welchen Pfaden denn genau eine pinke Kugel dabei ist. In unserem Beispiel gibt es insgesamt drei Pfaden, bei denen genau eine pinke Kugel gezogen wird. Bei allen anderen Pfaden werden entweder gar keine oder mehr als eine pinke Kugel gezogen.

In unserem Beispiel wäre die zugehörige Wahrscheinlichkeit dann:

Tipp: Die 2. Pfadregel hängt mit dem Wort „oder“ zusammen. Wir addieren die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, dass genau eine pinke Kugel in vorkommt.

Das Wichtigste auf einen Blick

Um Wahrscheinlichkeiten in mehrstufigen Zufallsexperimenten zu erhalten, werden die Pfadregeln benötigt.

• Bei der 1.Pfadregel werden die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfadesmultipliziert. Diese verwendest du, wenn du beispielsweise wissen möchtest, mit welcher Wahrscheinlichkeit zuerst eine pinke Kugel, dann eine Blaue und dann nochmal eine Blaue gezogen wird.
• Bei der 2.Pfadregel werden die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfadeaddiert. Diese verwendest du, wenn du beispielsweise wissen möchtest, mit welcher Wahrscheinlichkeit genau eine pinke Kugel gezogen wird.

Unser Tipp für Euch

Oft vergisst man, wann die 1.Pfadregel und wann die 2.Pfadregel verwendet wird. Merke dir dafür den oben angesprochenen Zusammenhang zwischen der 1.Pfadregel und dem Wörtchen „und“ und der 2.Pfadregel und dem Wörtchen „oder“.