Quartile

Die folgende Tabelle lässt sich ebenfalls in 4 Teile aufteilen:

Hier gibt es genau 4 Werte, also können die Quartile ohne weitere Rechnung eingefügt werden.

Du könntest auch gleich feststellen, an welchem Wert die Quartile ihre Position haben, nämlich jeweils in der Mitte zwischen $0$ und $10$, $10$ und $20$, $20$ und $30$. Also bei $5$, $15$ und $25$.

Für eine Datenreihe mit $100$ Werten kannst Du den Median mit der allgemeinen Formel berechnen, denn $n\cdot p$ ergibt eine ganze Zahl.

$$n\cdot p=100\cdot \text{0,5}=50$$

Denk daran, der Median ist die Mitte der Datenreihe und hat somit ein p-Quantil von $\text{0,5}$. Die Variable $n$ ist die Anzahl der Werte, also $100$.

$$\begin{array}{rl}M& =\frac{1}{2}(2\cdot n\cdot p+1)\\ & =\frac{1}{2}(2\cdot 100\cdot \text{0,5}+1)\\ & =\frac{1}{2}\cdot 101\\ M& =\text{50,5}\end{array}$$

Hier liegt der Median zwischen dem $50.$ und $51.$ Wert.

Wären $99$ Werte gegeben, müsstest Du die Formel für nicht ganzzahlige Werte verwenden und aufrunden:

$$\begin{array}{rl}M& =\lceil n\cdot p\rceil \\ & =\lceil 99\cdot \text{0,5}\rceil \\ & =\lceil \text{49,5}\rceil \\ M& =50\end{array}$$

Hier liegt der Median genau auf dem $50.$ Wert

Deutlich wird das zum Beispiel, wenn Du etwas kaufen willst und dafür Preise vergleichst. Angenommen, Du hast Dir dazu schon eine kleine Tabelle angelegt und die Quartile ausgerechnet und findest nun ein weiteres Angebot eines anderen Verkäufers.

Du hast folgende Werte für die Quartile berechnet:

• $Q_1=\text{16 €}$
• $M=\text{20 €}$
• $Q_3=\text{24 €}$

und der Verkäufer bietet sein Produkt zum Preis von $\text{18 €}$ an.

Sein Angebot liegt unter dem Median von $\text{20 €}$, aber dennoch über dem 1. Quartil von $\text{16 €}$. Das heißt $50\mathrm{\%}$ (also die Hälfte) der Konkurrenz ist teurer als er, allerdings bieten auch $25\mathrm{\%}$ (also $\frac{1}{4}$) der Konkurrenz dieses Produkt zu einem günstigeren Preis an. Eine Verhandlung des Preises könnte sich also lohnen.

Hättest Du die $\text{18 €}$ erst mit dem Rest Deiner Tabelle vergleichen müssen, hätte das vermutlich wesentlich länger gedauert.

Ein Züchter hat über die letzten Jahre notiert, wie viele Tiere jedes Jahr bei ihm geboren wurden. Er hat sie in aufsteigender Reihenfolge notiert und möchte nun wissen, in welchem Anteil der Jahre er 50 oder mehr Tiere gezüchtet hat.

Zur Berechnung der Quartile kommen beide Formeln zum Einsatz, denn die Hälfte von $14$ ist eine gerade Zahl, ein Viertel oder Dreiviertel davon aber nicht.

$$\begin{array}{rl}{Q}_1& =\lceil n\cdot p\rceil \\ & =\lceil 14\cdot \text{0,25}\rceil \\ & =\lceil \text{3,5}\rceil \\ Q_1& =4\\ \\ M& =\frac{1}{2}(2\cdot n\cdot p+1)\\ & =\frac{1}{2}(2\cdot 14\cdot \text{0,5}+1)\\ & =\frac{1}{2}\cdot 15\\ M& =\text{7,5}\\ \\ Q_3& =\lceil n\cdot p\rceil \\ & =\lceil 14\cdot \text{0,75}\rceil \\ & =\lceil \text{10,5}\rceil \\ Q_3& =11\end{array}$$

Die gesuchte Anzahl von 50 neuen Tieren ist erst beim 3. Quartil erreicht, das heißt in $25\mathrm{\%}$ der protokollierten Jahre erreicht er eine Quote von 50 oder mehr neuen Tieren.

Aufgabe 1

Eine Gruppe Schüler misst für eine Projektarbeit, wie schnell die Menschen mit E-Scootern in der Stadt fahren. Sie ermitteln dabei folgende Werte:

Berechne die Quartile für diese Werte.

Lösung

Es sind 9 Werte gegeben, also verwendest Du die Formel für nicht ganzzahlige Werte.

$$\begin{array}{rl}{Q}_1& =\lceil n\cdot p\rceil \\ & =\lceil 9\cdot \text{0,25}\rceil \\ & =\lceil \text{2,25}\rceil \\ & =3\\ \\ M& =\lceil n\cdot p\rceil \\ & =\lceil 9\cdot \text{0,5}\rceil \\ & =\lceil \text{4,5}\rceil \\ & =5\\ \\ Q_3& =\lceil n\cdot p\rceil \\ & =\lceil 9\cdot \text{0,75}\rceil \\ & =\lceil \text{6,75}\rceil \\ & =7\end{array}$$

Das 1. Quartil liegt auf dem 3. Wert, der Median auf dem 5. Wert und das 3. Quartil auf dem 7. Wert.

Aufgabe 2

Wie kannst Du das Ergebnis aus Aufgabe 1 interpretieren, wenn eine Geschwindigkeit ab $15\frac{\text{km}}{\text{h}}$ in der Altstadt als gefährlich gilt?

Lösung

Eine Geschwindigkeit von $15\frac{\text{km}}{\text{h}}$ liegt bereits ab dem 1. Quartil vor, das heißt, bis zu $75\mathrm{\%}$ der E-Scooter-Nutzer fahren in der Altstadt zu schnell und maximal $25\mathrm{\%}$ gefährden die Fußgänger nicht.