Die Verteilung der Körpergrößen in Deutschland kannst Du mit einer Zufallsvariablen beschreiben. Es handelt sich bei diesem Beispiel um eine stetige Zufallsgröße und eine stetige Verteilung, da zwischen dem kleinsten und dem größten Wert theoretisch jede beliebige Körpergröße möglich ist. Besonders gut lässt sich die Verteilung der Körpergröße mit einer Normalverteilung mit Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\) darstellen.
In dieser Erklärung erfährst Du anhand der Definition, was eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung überhaupt genau ist, warum die Punktwahrscheinlichkeit immer 0 ist und welche speziellen stetigen Verteilungen es gibt.
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreiben die Verteilung der Werte einer stetigen Zufallsgröße.
Stetige Verteilung – Definition
Was ist eine stetige Zufallsgröße?
Eine Zufallsgröße ist stetig, wenn sie jeden beliebigen numerischen Wert in einem Intervall oder überabzählbar viele Werte annehmen kann.
Stetige Zufallsgrößen werden manchmal auch kontinuierliche Zufallsgrößen genannt.
Vereinfacht gesagt: Wenn Du die möglichen Werte einer Zufallsgröße nicht abzählen kannst, ist sie stetig.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsgröße heißt stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Dies wird häufig kurz "stetige Verteilung" genannt. Statt stetiger Verteilung wird manchmal auch der Begriff "kontinuierliche Verteilung" verwendet.
Jede stetige Wahrscheinlichkeitsfunktion wird durch eine Dichtefunktion \(\varphi (x) \) beschrieben mit
$$\int_{-\infty}^\infty \varphi(x) dx=1$$
Wenn Du allgemein mehr über Wahrscheinlichkeitsverteilungen wissen möchtest, sieh Dir die Erklärung "Wahrscheinlichkeitsverteilung" an.
Punktwahrscheinlichkeit stetige Verteilung
Die Wahrscheinlichkeit einer stetigen Zufallsvariablen kann anhand der Fläche unter der Kurve der Dichtefunktion abgelesen werden.
In Abbildung 1 siehst Du die Kurve der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung. Dann entspricht \(P(0\leq x \leq 1) \) genau der Fläche unter der Dichtefunktion von \(0\) bis \(1\). Zur genauen Berechnung verwendest Du das Integral.
Abb. 1 - Dichtefunktion der Standardnormalverteilung.
Aber nur für Intervalle kann eine Wahrscheinlichkeit ungleich null angeben werden.
Die Wahrscheinlichkeit für einen einzigen Wert einer stetigen Zufallsvariablen liegt immer bei null:
$$P(X=x)=0 \text{ für alle }x$$
Deswegen wird auch gesagt: Die Punktwahrscheinlichkeit einer stetigen Zufallsvariablen ist immer \(0\).
Aber warum ist die Punktwahrscheinlichkeit immer \(0\)?
Eine stetige Zufallsgröße kann unendlich viele Werte annehmen. Wenn jetzt jedem dieser Werte eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null zugeordnet wird, gibt es auch unendlich viele Wahrscheinlichkeiten. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten \(P(X=x)\) muss aber genau \(1\) sein. Dies ist nicht möglich, wenn sich immer weitere Summanden finden lassen.
Unterschied diskrete und stetige Verteilung
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen unterscheiden sich stark von diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen geben die Wahrscheinlichkeiten für diskrete Zufallsvariablen an. Die möglichen Werte einer diskreten Zufallsvariablen sind abzählbar, meist sogar endlich.
Unter "Diskrete Verteilung" kannst Du mehr über diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen erfahren.
Stetige Wahrscheinlichkeitsfunktionen lassen sich anhand ihrer Dichtefunktion f(x) und ihrer Verteilungsfunktion F(x) vollständig beschreiben.
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Dichte- und Verteilungsfunktion
Jede stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung wird durch ihre Dichtefunktion eindeutig beschrieben. Mit der Dichtefunktion kann dann auch eine Verteilungsfunktion angegeben werden.
Dichtefunktion stetige Verteilung
Die Dichtefunktion einer stetigen Verteilung wird mathematisch als \(\varphi(x)\) bezeichnet.
Die gesamte Fläche unter dem Graph einer stetigen Dichtefunktion \(\varphi (x)\), das heißt im Intervall \((-\infty,\infty)\) beträgt immer 1. Dies kann auch mit dem Intgral beschrieben werden:
$$\int_{-\infty}^\infty \varphi(x) dx = 1$$
Für den Wertebereich der Dichtefunktion gilt:
$$\varphi(x) \geq 0$$
Die Dichtefunktion gibt Dir einen Überblick, wie die Werte verteilt sind. Du kannst aus ihr aber keine Wahrscheinlichkeiten ablesen.
Verteilungsfunktion stetige Verteilung
Wenn Du Wahrscheinlichkeiten \(P(X \geq x)\) bestimmen möchtest, verwendest Du die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsgröße.
Die Verteilungsfunktion \(\Phi(x)\) einer stetigen Zufallsgröße \(X\) mit Dichtefunktion \(\varphi(x)\) ist:
$$\Phi(x)=P(X \geq x)=\int_{-\infty}^x\varphi(z)dz$$
Die Verteilungsfunktion bestimmt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert einer Zufallsvariablen kleiner bzw. gleich einer festgelegten oberen Grenze ist.
Stetige Verteilung – Beispiel
Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer stetigen Zufallsgröße sei
$$\varphi (x) = \begin{cases} \dfrac{1}{200}x & 0 \leq x \leq 20 \\[0.2 cm] 0 & \text{sonst} \end{cases} $$
In Abbildung 2 siehst Du den Graphen dieser Wahrscheinlichkeitsdichte.
Abb. 2 - Beispiel für eine Wahrscheinlichkeitsdichte.
Es handelt sich um eine Wahrscheinlichkeitsdichte, da \(\varphi(x)\leq 0\) und
$$ \int_{-\infty}^\infty \varphi(x) \, dx = \int_0^{20} \frac{1}{200}x\, dx = \left[ \frac{1}{400} x^2 \right] _0^{20}= \frac{1}{400}·20^2 - \frac{1}{400}·0^2= \frac{1}{400}·400=1$$
Es ist hier ausreichend, das Integral von \(0\) bis \(20\) zu bestimmen, da die Wahrscheinlichkeitsdichte nur in diesem Intervall ungleich 0 ist.
Die Verteilungsfunktion dieser stetigen Verteilung ist dann
$$\phi(x)=\begin{cases} 0 & x<0 \\[0.2 cm] \dfrac{1}{400}x^2 & 0 \leq x \leq 20 \\[0.2 cm] 1 & x>20 \end{cases}$$
Die Verteilungsfunktion für das Intervall \([0,20]\) bestimmst Du, indem Du integrierst:
$$P(X\geq x)=\int_0^x \frac{1}{200}z \, dz=\left[\frac{1}{400}z^2\right]_0^x=\frac{1}{400}x^2$$
In Abbildung 3 findest Du den Graphen der Verteilungsfunktion.
Abb. 3 - Beispiel für eine Verteilungsfunktion.
Erwartungswert stetige Verteilung – berechnen
Für jede stetige Verteilung existiert auch ein Erwartungswert \(\mu\). Du kannst ihn mit folgender Formel berechnen:
Für eine stetige Zufallsgröße \(X\) ist der Erwartungswert
$$E(X)=\mu=\int_{-\infty}^\infty x·\varphi (x) dx$$
Für das obige Beispiel berechnest Du den Erwartungswert wie folgt:
Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist
\( \varphi (x) = \begin{cases} \dfrac{1}{200}x & 0 \leq x \leq 20 \\[0.2 cm] 0 & \text{sonst} \end{cases} \)
Es ist ausreichend, wenn Du das Integral von \(0\) bis \(20\) bildest, da die Wahrscheinlichkeitsdichte in den anderen Fällen den Wert \(0\) annimmt.
\begin{align} E(X)& =\int_0^{20} x· \varphi (x) dx = \int_0^{20} x· \frac{1}{200}x \, dx = \int_0^{20} \frac{1}{200}x^2 \, dx \\ &= \left[ \frac{1}{600}x^3 \right]_0^{20}=\frac{1}{600}·20^3-\frac{1}{600}·0^3=\frac{40}{3} \approx 13{,}\overline{3}\end{align}
Du brauchst das Integral immer nur für das Intervall bilden, indem die Wahrscheinlichkeitsdichte ungleich \(0\) ist.
Median stetige Verteilung – berechnen
Neben dem Erwartungswert kannst Du auch den Median einer stetigen Verteilung berechnen. Der Median und der Erwartungswert sind unterschiedliche Werte.
Für den Median gilt, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Wert links des Medians \(50 \, \%\) beträgt und für einen Wert rechts des Medians auch genau \(50 \, \%\).
Für den Median \(m\) einer stetigen Verteilung mit Wahrscheinlichkeitsdichte \( \varphi (x) \) gilt:
$$\int_{- \infty} ^m \varphi (x) \, dx =0{,}5$$
Du weißt also, dass der Wert des Integrals \( 0{,}5\) sein soll und bestimmst damit den Median \(m\).
Verwendet wird wieder das Beispiel
\( \varphi (x) = \begin{cases} \frac{1}{200}x & 0 \leq x \leq 20 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \)
Für den Median \(m\) gilt:
$$\int_{-\infty}^m \varphi (x) = \int_0^m \frac{1}{200}x \, dx = 0{,}5$$
Du bestimmst nun das Integral und löst nach \(m\) auf.
\begin{align}\int_0^m \frac{1}{200}x \, dx &= 0{,}5 \\ \left[ \frac{1}{400}x^2 \right]_0^m & = 0{,}5 \\ \frac{1}{400}m^2-\frac{1}{400}0^2 & = 0{,}5 \\ \frac{1}{400}m^2 & = 0{,}5 &| ·400 \\ m^2 & = 200 & | \sqrt{\,} \\ m & \approx 14{,}14 \end{align}
In diesem Beispiel ist der Median also größer als der Erwartungswert.
Spezielle stetige Verteilung
Es gibt einige spezielle wichtige stetige Verteilungen. Hier findest Du einen Überblick. Für jede dieser stetigen Verteilungen gibt es aber auch eine eigene, ausführliche Erklärung.
Normalverteilung
Eine bekannte stetige Verteilung ist die Normalverteilung.
Viele Merkmale und Eigenschaften sind von Natur aus normalverteilt. Dazu gehört unter anderem die Körpergröße.
Die Dichtefunktion \(\varphi (x)\) einer Normalverteilung mit Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\) ist
$$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}·e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$$
Ein Sonderfall der Normalverteilung ist die Standardnormalverteilung. Die Standardnormalverteilung liegt vor, wenn der Erwartungswert \(\mu=0\) beträgt und für die Standardabweichung \(\sigma^2=1\) gilt.
Mehr über die Normalverteilung und die Standardnormalverteilung erfährst Du in der Erklärung "Normalverteilung". Klicke einfach auf den Namen.
stetige Gleichverteilung
Eine stetige Zufallsgröße ist gleichverteilt, wenn alle gleich großen Werteintervalle die gleiche Eintretenswahrscheinlichkeit haben.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer stetigen Gleichverteilung in Intervall \( [a,b]\) ist konstant.
Für eine auf dem Intervall \([a,b]\) gleichverteilte stetige Zufallsgröße \(X\) lautet die Dichtefunktion
$$\varphi(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a} & a \leq x \leq b \\[0.2 cm] 0 & \text{sonst} \end{cases}$$
Die Verteilungsfunktion der gleichverteilten stetigen Zufallsgröße ist
$$\Phi(X)=\begin{cases} 0 & x \leq a \\[0.2 cm] \dfrac{x-a}{b-a} & a < x < b \\[0.2 cm] 1 & x \geq b \end{cases}$$
Mehr über stetige Gleichverteilungen findest Du in der Erklärung "Gleichverteilung".
Exponentialverteilung
Eine weitere spezielle stetige Verteilung ist die Exponentialverteilung. Mit einer Exponentialverteilung wird häufig die Dauer zufälliger Zeitintervalle bestimmt.
Die Dichtefunktion \(\varphi (x)\) einer exponentialverteilten Zufallsgröße ist
$$\varphi (x) = \lambda ·e^{-\lambda x}$$
Die Verteilungsfunktion einer exponentialverteilten Zufallsgröße lautet
$$\Phi(X)=1-e^{-\lambda x}$$
Eine Exponentialverteilung wird durch den Parameter \(\lambda\) eindeutig beschrieben.
Wenn Du mehr über die Exponentialverteilung wissen möchtest, sieh Dir die Erklärung "Exponentialverteilung" an.
Stetige Verteilung – Das Wichtigste
- Eine stetige Verteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsgröße.
- Die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Wert in einer stetigen Verteilung ist stets 0 (Punktwahrscheinlichkeit).
- Bei stetigen Verteilungen können nur Wahrscheinlichkeiten für Intervalle angegeben werden.
- Spezielle stetige Verteilungen:
- Normalverteilung (mit der Standardnormalverteilung)
- Gleichverteilung
- Exponentialverteilung
Nachweise
- Becker et al. (2016). Formelsammlung bis zum Abitur - Mathematik - Physik - Astronomie - Chemie - Biologie - Informatik. Duden Schulbuchverlag.
- Baum et al. (2009). Lambacher Schweizer 11/12, Mathematik für Gymnasien, Gesamtband Oberstufe Niedersachsen. Ernst Klett Verlag.
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