Totale Wahrscheinlichkeit: Definition & Erklärung

Q: Was sagt der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit ?

Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit sagt aus, dass du alle Ereignisse, die das gesuchte Elementarereignis enthalten, addieren musst, um die Gesamtwahrscheinlichkeit des gesuchten Ereignisses zu erhalten.

Q: Was versteht man unter bedingter Wahrscheinlichkeit ?

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung , dass ein anderes Ereignis B bereits eingetreten ist. Man schreibt P B (A).

Q: Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit von A und B ?

Die Wahrscheinlichkeit von A und B - also A∩B - berechnest du, indem du P(A) und P(B) miteinander multiplizierst .

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Natürlich interessiert dich als Inhaber besonders der Umsatz. Wie kannst du nun herausfinden, wie viel du vom gesamten Sortiment verkauft hast? Ganz einfach, das kannst du mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen.

Totale Wahrscheinlichkeit – Erklärung

Um den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit zu erklären, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Fange dazu an ein Baumdiagramm zu erstellen.

Baumdiagramm

Denke noch einmal an das Beispiel von oben. Du hast sowohl Lebensmittel als auch Non-Food-Artikel in deinem Sortiment, die entweder verkauft werden, oder eben nicht. Du kannst dir also definieren:

P(L) = Lebensmittel
P(V) = verkauft

Die Buchstaben mit den Querbalken darüber sind die jeweiligen Gegenereignisse, also "kein Lebensmittel" und "nicht verkauft".

Totale Wahrscheinlichkeit Baumdiagramm StudySmarter Abbildung 1: Baumdiagramm

Da du wissen willst, wie viel du verkauft hast, interessieren dich alle Pfade, an deren Ende ein V steht. Die Pfade mit der Wahrscheinlichkeit für "verkauft" sind in Türkis markiert.

Die 2. Pfadregel (Summe von Wahrscheinlichkeiten) besagt, dass du die Wahrscheinlichkeiten mehrerer Pfade addieren kannst.

2. Pfadregel: Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment musst du für die Wahrscheinlichkeit mehrerer Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten der Pfade miteinander addieren.

Das heißt, diese Regel benötigst du, wenn du alle Ereignisse, die einen Verkauf beinhalten, addieren willst. Doch bevor du das machst, solltest du zuerst die Wahrscheinlichkeiten der beiden Pfade an sich ausrechnen, damit du sie anschließend addieren kannst. Dazu benötigst du die 1. Pfadregel.

1. Pfadregel: Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment musst du für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades miteinander multiplizieren.

Wenn du dir die Pfade im Baumdiagramm anschaust, siehst du, dass für die Wahrscheinlichkeit "verkauft" – also P(V) - 2 Pfade infrage kommen. Nämlich $P (L \cap V)$ und $P (L \cap V)$ .

Zuerst rechnest du diese Wahrscheinlichkeiten mithilfe der 1. Pfadregel aus:

$\begin{array}{rcl} P (L \cap V) & = & 0, 6 \cdot 0, 8 = 0, 48 \\ P (L \cap V) & = & 0, 4 \cdot 0, 6 = 0, 24 \end{array}$

Anschließend kannst du sie addieren:

$P (V) = P (L \cap V) + P (L \cap V) = 0, 48 + 0, 24 = 0, 72$

Jetzt weißt du, dass du 72 % deiner Waren verkauft hast.

Da es sich in diesem Fall um stochastisch abhängige Ereignisse handelt, kannst du die Formel auch so schreiben:

$P (V) = P (L) \cdot P_{L} (V) + P (L) \cdot P_{L} (V)$

oder so:

$P (V) = P (L) \cdot P (V | L) + P (L) \cdot P (V | L)$

Du kannst die bedingte Wahrscheinlichkeit entweder als P_L(V) oder P(V | L) schreiben. Es bedeutet immer "die Wahrscheinlichkeit von V unter der Bedingung L".

Wie du siehst, hast du vor der Rechnung jetzt keine bedingte Wahrscheinlichkeit mehr stehen, sondern nur noch P(V). Damit hast du die Gesamtwahrscheinlichkeit von P(V) ausgerechnet, also wie viel vom gesamten Sortiment verkauft wurde.

Um die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses A zu berechnen, wenn nur bedingte oder gemeinsame Wahrscheinlichkeiten gegeben sind, benötigst du den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit.

$P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap B) = P (B) \cdot P_{B} (A) + P (B) \cdot P_{B} (A)$

Zudem kannst du den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit beim inversen Baumdiagramm anwenden.

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit beim inversen Baumdiagramm

Beim inversen Baumdiagramm drehst du – wie der Name schon verrät – das Baumdiagramm um. Also wenn erst auf der 1. Stufe A und auf der 2. Stufe B stand, ist die Reihenfolge danach andersherum, zuerst B und dann A.

Totale Wahrscheinlichkeit inverses Baumdiagramm StudySmarter Abbildung 2: Baumdiagramm normal und invers

Hier kommt allerdings ein Problem auf. Da die Wahrscheinlichkeit von B im ursprünglichen Baumdiagramm (links im Bild) oft eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist – also P_A(B) – musst du die totale Wahrscheinlichkeit von B ausrechnen, um sie auf die 1. Stufe schreiben zu können. Wie das geht, hast du bereits gelernt.

Genaueres zum inversen/umgedrehten Baumdiagramm erfährst du im Artikel Baumdiagramme.

Theoretisch rechnest du für die totale Wahrscheinlichkeit von B folgendermaßen:

$P (B) = P (A \cap B) + P (A \cap B)$

und für das Gegenereignis:

$P (B) = P (A \cap B) + P (A \cap B)$

Vierfeldertafel

Eine weitere Möglichkeit der Herleitung stellt die Ermittlung der totalen Wahrscheinlichkeit mithilfe einer Vierfeldertafel dar.

Mit einer Vierfeldertafel kannst du die Zusammenhänge zwischen zwei Ereignissen A und B und deren Ausprägungen untersuchen. Sie ist ein wichtiges Instrument in der bedingten Wahrscheinlichkeit.

Eine Vierfeldertafel ist in zwei Spalten für die Ereignisse und zwei Zeilen für deren Ausprägungen aufgeteilt. In den vier Feldern multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ereignisse.

Demnach schreibst du in die rechte Spalte und untere Zeile jeweils die Wahrscheinlichkeit aus der jeweiligen Zeile oder Spalte. Ganz unten rechts kommt noch die Summe aus allen Ereignissen dazu, die immer 1 ergeben muss.

	$A$	$A$
$B$	$P (A \cap B)$	$P (A \cap B)$	$P (B)$
$B$	$P (A \cap B)$	$P (A \cap B)$	$P (B)$
	$P (A)$	$P (A)$	$1$

Nicht immer reichen die Angaben aus, um eine Vierfeldertafel auszufüllen. Deshalb ist die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit meist die einfachere und schnellere Lösung.

Wenn du dir die Tafel genauer anschaust, wirst du feststellen, dass du nun die totalen Wahrscheinlichkeiten beider Ereignisse am Ende der Zeilen und Spalten ablesen kannst.

Das heißt, du kannst auch mit einer Vierfeldertafel herausfinden, wie viel du vom gesamten Sortiment verkauft hast. Hierzu musst du nur die gegebenen Werte in die Vierfeldertafel einsetzen.

	$L$	$L$
$V$	$0, 6 \cdot 0, 8 = 0, 48$	$0, 4 \cdot 0, 6 = 0, 24$	$0, 48 + 0, 24 = 0, 72$
$V$	$0, 6 \cdot 0, 2 = 0, 12$	$0, 4 \cdot 0, 4 = 0, 16$	$0, 12 + 0, 16 = 0, 28$
	$0, 48 + 0, 12 = 0, 6$	$0, 24 + 0, 16 = 0, 4$	$1$

Die totalen Wahrscheinlichkeiten kannst du dann am Ende der jeweiligen Zeile oder Spalte ablesen.

$\begin{array}{rcl} P (L) & = & 0, 6 \\ P (L) & = & 0, 4 \\ P (V) & = & 0, 72 \\ P (V) & = & 0, 28 \end{array}$

Um zu ermitteln, wie viel du verkauft hast, benötigst du die totale Wahrscheinlichkeit von P(V). Die kannst du am Ende der 2. Zeile ablesen. Du hast also 72 % deiner Waren verkauft.

Totale Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes

Wusstest du, dass du dir die totale Wahrscheinlichkeit zur Hilfe nehmen kannst, wenn du beim Satz von Bayes nicht weiterkommst?

Der Satz von Bayes stellt eine direkte Verbindung zwischen einer bedingten Wahrscheinlichkeit und ihrer umgekehrten bedingten Wahrscheinlichkeit her.

$P_{B} (A) = \frac{P (A) \cdot P_{A} (B)}{P (B)}$

Das heißt, wenn du eine bedingte Wahrscheinlichkeit gegeben hast und die umgekehrt bedingte Wahrscheinlichkeit wissen willst, dann brauchst du den Satz von Bayes.

Mehr dazu findest du im entsprechenden Artikel.

Wenn du nun mit dem Satz von Bayes die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B ausrechnen willst, aber P(B) nicht gegeben hast, kannst du P(B) durch die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit ersetzen.

$P_{B} (A) = \frac{P (A) \cdot P_{A} (B)}{P (B)} = \frac{P (A) \cdot P_{A} (B)}{P (A) \cdot P_{A} (B) + P (A) \cdot P_{A} (B)}$

Somit kannst du die gewünschte Wahrscheinlichkeit jetzt ausrechnen.

Alternativ kannst du P(B) auch in einer Nebenrechnung mithilfe der totalen Wahrscheinlichkeit ausrechnen.

Angenommen, du möchtest wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein verkaufter Artikel kein Lebensmittel ist.

Wenn du das nun in den Satz von Bayes einsetzt, erhältst du

$P_{V} (L) = \frac{P (L) \cdot P_{L} (V)}{P (V)}$

P(V) hast du aber noch nicht gegeben. Da es sich um eine totale Wahrscheinlichkeit handelt, kannst du sie mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit ausrechnen.

$P_{V} (L) = \frac{P (L) \cdot P_{L} (V)}{P (L) \cdot P_{L} (V) + P (L) \cdot P_{L} (V)}$

Jetzt noch die Zahlen einsetzen:

$P_{V} (L) = \frac{0, 4 \cdot 0, 6}{0, 4 \cdot 0, 6 + 0, 6 \cdot 0, 8} = \frac{1}{3}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein verkaufter Artikel kein Lebensmittel ist, liegt bei 33,33 %.

Totale Wahrscheinlichkeit – Aufgaben

Damit du die nächste Klausur meisterst, findest du hier noch einige Übungsaufgaben.

Aufgabe 1

Du und deine Mitschüler müssen sich mal wieder auf Corona testen. Von vorherigen Tests ist bekannt, dass durchschnittlich 4 % der Klasse Corona haben. Allerdings sind die Tests nicht immer richtig. In 5 % der Fälle wird eine Infektion mit Corona nicht erkannt, während zu 3 % fälschlicherweise ein positives Ergebnis ausgegeben wird.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Testergebnis falsch ist.

Lösung

Aus der Aufgabe ergeben sich folgende Ereignisse:

P(C) = Person ist mit Corona infiziert
P(R) = das Testergebnis ist richtig

Gegeben sind:

$P (C) = 0, 04$
$P_{C} (R) = 0, 05$
$P_{C} (R) = 0, 03$

Gesucht ist $P (R)$ .

Wenn du diese Werte in die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit einsetzt, erhältst du Folgendes:

$P (R) = P (C) \cdot P_{C} (R) + P (C) \cdot P_{C} (R) = 0, 04 \cdot 0, 05 + 0, 96 \cdot 0, 03 = 0, 0308 \approx 3 %$

Das Gegenereignis von P(C) erhältst du, indem du 1 (also 100 %) minus 0,04 rechnest.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Testergebnis falsch ist, liegt gerundet bei 3 %.

Aufgabe 2

Ist es wahrscheinlicher, dass ein falsches Testergebnis bei einem Corona-positiven oder einem negativen Schüler auftritt?

Lösung

Du kannst dir hier aussuchen, ob du den Fall für einen positiven oder negativen Schüler durchrechnen möchtest.

Gesucht ist hier die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler kein Corona hat, unter der Bedingung, dass das Testergebnis falsch ist. Du brauchst hier also die umgekehrt bedingte Wahrscheinlichkeit. Die rechnest du mit dem Satz von Bayes aus.

$P_{R} (C) = \frac{P (C) \cdot P_{C} (R)}{P (R)} = \frac{0, 96 \cdot 0, 03}{0, 0308} = 0, 9351 \approx 93, 5 %$

Die totale Wahrscheinlichkeit für ein falsches Testergebnis hast du schon in Aufgabe 1 mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit ausgerechnet.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein negatives Testergebnis auf einen Corona-negativen Schüler fällt, liegt bei 93,5 % und ist somit weitaus wahrscheinlicher als ein falsches Testergebnis bei einem positiven Schüler (sie beträgt nur 6,5 %).

Totale Wahrscheinlichkeit - Das Wichtigste

Mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit kannst du die gesamte Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses berechnen. Die Formel lautet $P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap B) = P (B) \cdot P_{B} (A) + P (B) \cdot P_{B} (A)$
Möchtest du diese Formel selbst herleiten, kannst du ein Baumdiagramm nutzen.
Wenn genug Angaben vorhanden sind, kannst du die totalen Wahrscheinlichkeiten auch mit einer Vierfeldertafel ermitteln.
Auch beim Satz von Bayes kann dir die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit von Nutzen sein. Du kannst die Formeln dann miteinander verknüpfen $P_{B} (A) = \frac{P (A) \cdot P_{A} (B)}{P (B)} = \frac{P (A) \cdot P_{A} (B)}{P (A) \cdot P_{A} (B) + P (A) \cdot P_{A} (B)}$

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Totale Wahrscheinlichkeit

Was sagt der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit?

Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit sagt aus, dass du alle Ereignisse, die das gesuchte Elementarereignis enthalten, addieren musst, um die Gesamtwahrscheinlichkeit des gesuchten Ereignisses zu erhalten.

Was versteht man unter bedingter Wahrscheinlichkeit?

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis B bereits eingetreten ist. Man schreibt P_B(A).

Wie berechnet man die bedingte Wahrscheinlichkeit?

Die Wahrscheinlichkeit von beispielsweise A unter der Bedingung B berechnest du, indem du die Schnittmenge aus A und B durch die Wahrscheinlichkeit von B teilst.

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit von A und B?

Die Wahrscheinlichkeit von A und B - also A∩B - berechnest du, indem du P(A) und P(B) miteinander multiplizierst.

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