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Abb. 1 - Venn-Diagramm grafisch
Diese Unterschiede und Gemeinsamkeiten lassen sich in einem sogenannten Venn-Diagramm darstellen. Wie Du Venn-Diagramme richtig zeichnest und welche Informationen Du erhalten kannst, wirst Du in dieser Erklärung erfahren. Viel Spaß!
Mengenlehre – Wiederholung Mengenverknüpfungen
Mengen sind Zusammenfassungen von Objekten zu einer Überkategorie. Die Objekte, die in Mengen enthalten sind, werden Elemente genannt. Element einer Menge kann so ziemlich alles Vorstellbare sein: Ein Wal als Element der Menge Säugetiere und ein Aal als ein Fisch. Sie können dabei zwar beide schwimmen, aber der eine atmet unter Wasser und der andere über Wasser.
In der Mengenlehre gibt es verschiedene Arten von Mengenverknüpfungen. So können Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Differenzmenge und die Symmetrische Differenz gebildet werden, die Dir in der nächsten Tabelle gezeigt werden.
Als Beispiel gelten die folgenden Mengen:
\begin{align} A &= \{1,2,3\} \\ B &= \{3, 4\} \end{align}
| Mengenverknüpfung | Schreibweise | Beispiel |
| Komplement | \(\overline{A} \) | \( \overline{A} = \{4\}\) |
| Schnittmenge | \(A \cap B\) | \(A \cap B = \{3\} \) |
| Vereinigungsmenge | \(A \cup B\) | \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4 \}\) |
| Differenzmenge | \(A \backslash B\) | \(A \backslash B = \{1, 2\}\) |
| Symmetrische Differenz | \(A \triangle B\) | \(A \triangle B = \{1, 2, 4\} \) |
Nähere Informationen zu Mengen und zu den Mengenverknüpfungen aus der Mengenlehre erhältst Du in den folgenden Erklärungen:
- Schnittmenge
- Vereinigungsmenge
- Differenzmenge
- Symmetrische Differenz
- Mengenverknüpfungen
Mengenlehre Venn-Diagramm
Venn-Diagramme werden in der Mengenlehre und in der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet, um Zusammenhänge zwischen zwei oder mehreren Mengen anhand einer Grafik zu erläutern.
Venn-Diagramm Erklärung
Venn-Diagramme sind dabei eine bestimmte Variante von Diagrammen, mit denen Informationen aus der Mengenlehre grafisch dargestellt werden.
Venn-Diagramme stellen Zusammenhänge bzw. Relationen zu Mengen und Objekten dar. Dabei geht es vor allem darum, gemeinsame und unterschiedliche Elemente zwischen den Mengen hervorzuheben mithilfe von Mengenverknüpfungen aus der Mengenlehre. Die Schnittmenge steht dabei im Vordergrund.
Ein Venn-Diagramm ist dabei immer gleich aufgebaut.
Venn-Diagramm zeichnen & Aufbau
Ein Venn-Diagramm besteht grundsätzlich erst einmal aus einem Rechteck, welches die Umgebung der Mengen darstellt und als \(\Omega\) bezeichnet wird .In das Rechteck werden die einzelnen Mengen zum Beispiel als Kreise dargestellt. Venn-Diagramme werden immer so gezeichnet, dass es eine Überlappung (Schnittmenge) zwischen allen Mengen gibt, auch wenn sich in den Überlappungen keine Elemente befinden.
Abb. 2 - Venn-Diagramm allgemein (Universum, Mengen, Schnittmenge)
Alle Kreise, Elemente bzw. Zahlen, die sich innerhalb der gezeichneten Kreise befinden, sind Teil der Mengen. Die Kreise werden dabei immer gleich groß gezeichnet, unabhängig von der Anzahl oder Größe der einzelnen Elemente.
Das bedeutet, möchtest Du ein Venn-Diagramm zeichnen, ist es wichtig, zuerst die Informationen aus dem Text oder aus Mengen zu bekommen und die Kreise dementsprechend zu zeichnen.
Beispiele für die unterschiedlichen Mengenverknüpfungen findest Du in der nachfolgenden Tabelle.
| Information | Mengenschreibweise | Grafik |
\begin{align} A &= \{1, 2, 3\} \\ B &= \{3, 4, 5\} \end{align} Bilde die Schnittmenge. | \[A \cap B = \{3\}\] |
|
\begin{align} A &= \{1, 2, 3\} \\ B &= \{3, 4, 5\} \end{align} Bilde die Vereinigungsmenge. | \[A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5 \}\] |
|
\begin{align} A &= \{1, 2, 3\} \\ B &= \{3, 4, 5\} \end{align} Bilde die Differenzmenge. | \[A \backslash B = \{1, 2\}\] |
|
Venn-Diagramm Beispiel
Wie Du siehst, kannst Du von Venn-Diagrammen Zusammenhänge zwischen Mengen direkt ablesen und aus Abbildung 1 zum Beispiel die Schnittmenge ableiten. Wie sieht jetzt aber ein Venn-Diagramm von zwei Mengen aus, die gar keine Schnittmenge haben?
Zu betrachten sind nun die folgenden Mengen:
\begin{align} A &= \{4, 5, 7\} \\ B &= \{1, 5, 8\} \end{align}
Die Aufgabe soll zwei Fragen berücksichtigen.
a) Erstelle ein Venn-Diagramm und markiere die Schnittmenge.
b) Nun ändert sich die Menge \(B\). Erstelle das Venn-Diagramm und markiere auch hier die Schnittmenge, falls gilt:
\begin{align} B &= \{1, 3, 8\} \end{align}
a) Hierbei erstellst Du ein Rechteck und darin zwei Kreise für die Mengen \(A\) und \(B\). Im Anschluss erkennst Du, dass für die Schnittmenge gilt:
\begin{align} A \cap B = {5} \end{align}
Diese Schnittmenge kannst Du nun markieren.
Abb. 6 - Venn-Diagramm Schnittmenge mit Element
b) Die Menge \(B\) hat sich geändert, sodass die beiden Mengen grundsätzlich keine Schnittmengen aufweisen. Da ein Venn-Diagramm unabhängig von den Mengen immer gleich aufgebaut ist, ist es hier jetzt wichtig, die Kreise trotzdem überlappend zu zeichnen. Da es jedoch keine Schnittmenge gibt, trägst Du dort auch keine Zahlen ein.
Abb. 7 - Venn-Diagramm Schnittmenge ohne Element
Venn-Diagramm erstellen – mehrere Mengen
Venn-Diagramme lassen sich auch für drei, vier oder mehr Mengen erstellen. Da es auch bei mehr als zwei Mengen alle Arten der Überlappung geben soll, ist es schwieriger, solche Mengendiagramme darzustellen. Wie genau das funktioniert, erfährst Du gesondert für drei bzw. vier Mengen.
Venn-Diagramm 3 Mengen
Das Venn-Diagramm dreier Mengen A, B und C ist so aufgebaut, dass es Raum für Elemente gibt, die in allen drei Mengen vertreten sind. Dieser Bereich ist der mittlere dieses Venn-Diagramms. Danach gibt es auch drei Schnittflächen, die Bereiche aufzeigen, indem zwei dieser Mengen enthalten sind. Die äußersten drei Bereiche sind dann der Rest, also alle Elemente, die jeweils nur in einer Menge vorkommen.
Du betrachtest in diesem Fall das Beispiel für die drei Mengen \(A\), \(B\) und \(C\).
\begin{align} A &= \{Apfel, Birne, Erdbeere\} \\ B &= \{Blaubeere, Birne, Erdbeere\} \\ C &= \{Ananas, Orange, Erdbeere\} \end{align}
Setzt Du diese Mengen jetzt zueinander in Beziehung, kannst Du folgende Aussagen über die einzelnen Elemente treffen:
- Die Erdbeere befindet sich in dem mittleren Bereich des Venn-Diagramms, da diese in allen drei Mengen vorkommt.
- Die Birne befindet sich in der Schnittfläche für die Mengen \(A\) und \(B\).
- Alle anderen Elemente (Apfel, Blaubeere, Ananas, Orange) befinden sich jeweils nur in einer Menge.
Das Venn-Diagramm für diesen Fall sieht wie folgt aus:
Abb. 8 - Venn-Diagramm 3 Mengen Obst
Auch bei Venn-Diagrammen mit drei Mengen lassen sich nun verschiedene Mengenbeziehungen herstellen.
Zur Erinnerung: Folgende Schreibweise gilt bei den Mengenverknüpfungen:
- \( \cap \) für die Schnittmenge
- \( \cup \) für die Vereinigungsmenge
- \( \backslash \) für die Differenzmenge
Bedenke, dass bei mehreren Mengenverknüpfungen das Assoziativgesetz gilt.
Aufgabe 1
Zeichne das Venn-Diagramm für folgende Mengenverknüpfung:
\[(A \cap B) \cup C \]
Lösung
Dabei denke daran, dass Du erst die Schnittmenge von \(A\) und \(B\) heraussuchst und dann \(C\) komplett noch dazu nimmst. Dies sieht wie folgt aus.
Abb. 9 - Venn-Diagramm 3 Mengen
Venn-Diagramm 4 Mengen
Bereits ab einem Venn-Diagramm für vier Mengen wird es allmählich schwieriger alle Überlappungen der Flächen darzustellen. Ein solches Venn-Diagramm soll nämlich so aufgebaut sein, dass es für jede mögliche Mengenzugehörigkeit der Elemente eine grafische Darstellung gibt. Das bedeutet, es kommt zum ersten Mal eine gebogene Struktur zum Einsatz und kein normaler Kreis.
Sieh Dir dazu gerne die folgenden Mengen an:
\begin{align} A &= \{1,3,4,6,7\} \\ B &= \{1,2,5,6,8\} \\ C &= \{3,5,7,9,10\} \\ D &= \{1,4,7,9,11\} \end{align}
Für dieses Beispiel gibt es nach John Venn zwei Möglichkeiten der visuellen Darstellung:
Abb. 10 - Venn-Diagramm 4 Mengen Version 1
Das bedeutet also Du verwendest für vier Mengen diese Struktur. Dabei können alle möglichen Flächen bzw. Kombinationen abgedeckt werden. Danach schaust Du welche Zahl in welchen Mengen vorkommt und suchst Dir die dazu passende Fläche aus.
Die zweite Version ist die folgende:
Abb. 11 - Venn-Diagramm 4 Mengen Version 2
Venn-Diagramm – Unterschied Euler-Diagramm
Ein Euler-Diagramm ist ebenfalls ein Mittel zur grafischen Darstellung von Mengen und ihren Zusammenschlüssen. Auch hier werden Mengen als Kreise oder Ellipsen dargestellt. Der Unterschied zum Venn-Diagramm besteht darin, dass Überlappungen der beteiligten Mengen nicht zwingend notwendig sind. So kann es mehrere unterschiedliche Mengen innerhalb von größeren Mengen, also Teilmengen geben oder auch strikt disjunkte Mengen, die keine Elemente gemeinsam besitzen.
Ein Euler-Diagramm für verschiedene Tierarten könnte zum Beispiel so aussehen. Dabei haben die Säugetiere und Amphibien, die keine Merkmale und gemeinsamen Tierarten besitzen, auch gar keine eingezeichnete Schnittmenge. Das ist bei einem Euler Diagramm erlaubt, bei einem Venn-Diagramm benötigst Du eine leere Schnittmenge.
Abb. 12 - Euler-Diagramm Tierarten
Venn-Diagramm Übungen
Probiere gleich noch ein Venn-Diagramm aus, um Dich mit ihnen vertrauter zu machen.
Aufgabe 2
Zeichne ein Venn-Diagramm zu folgender Verknüpfung:
\[(A \backslash B) \cap C\]
Lösung
Du bildest erst die Differenzmenge von A und B. Danach schneidest Du diese mit dem Teil, der sich in C befindet und Du erhältst:
Abb. 13 - Venn-Diagramm 3 Mengen Aufgabe
Venn-Diagramm – Das Wichtigste
- Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Objekten.
- Venn-Diagramme
- helfen bei der Darstellung von komplexen Zusammenhängen mehrerer Mengen.
- stellen die Zugehörigkeit einzelner Elemente zu den jeweiligen Mengen dar.
- unterscheiden sich von den Euler-Diagrammen, indem jede mögliche Kombination der unterschiedlichen Mengen dargestellt werden soll.
- Schnittmengen werden trotzdem eingezeichnet, auch wenn es sie nicht gibt.
Nachweise
- Erbrecht et al. (2012). Das große Tafelwerk interaktiv Formelsammlung für die Sekundarstufe I und II. Cornelsen Verlag, Berlin
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Venn-Diagramm
Was versteht man unter einem Venn-Diagramm?
Ein Venn-Diagramm ist eine Relation von Mengen. Es werden Mengen als Kreise bzw. auch Ellipsen für mehr als 3 Mengen dargestellt und miteinander geschnitten. Dabei können die Zusammenhänge von Mengen nun markiert werden.
Wie erstellt man ein Venn-Diagramm?
Du erstellst ein Venn-Diagramm, indem Du zunächst ein Rechteck aufzeichnest. Darin stellst Du die Mengen als gleich große Kreise dar. Diese müssen sich immer schneiden, sodass stets alle möglichen Kombinationen von Flächenüberlappungen gezeigt werden.
Ist ein Venn-Diagramm ein Beweis?
Ein Venn-Diagramm kann auch als Beweis angeführt werden. Um herauszufinden, ob zwei Ausdrücke von Mengen jeweils dasselbe bedeuten, kannst Du das rechnerisch oder zeichnerisch mithilfe eines Venn-Diagramms lösen. Sind beide gleich, sollen auch dieselben Flächen in den beiden Venn-Diagrammen markiert worden sein.
Woher kommt der Name Venn-Diagramm?
Das Venn-Diagramm wurde nach dem englischen Mathematiker John Venn Junior benannt. Als Professor für Logik und Naturphilosophie widmete sich Venn dem Venn-Diagramm, das Mengen und Objekte in Beziehung stellen sollte. Damit baute er auf den Arbeiten von Leonhard Euler auf.
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