Elektrische Feldenergie: Formel, Einheit & Kugel

Q: Wie veranschaulicht man ein elektrisches Feld?

Das elektrische Feld wird grafisch mit Feldlinien dargestellt. Sie zeigen die Kraftwirkung auf Probeladungen an und sind von positiver Ladung zur negativen Ladung orientiert.

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Elektrische Feldenergie Definition

Vermutlich bist Du eher mit mechanischer Arbeit vertraut. Diese verrichtest Du immer, wenn Du Radfahren gehst oder Deinen Rucksack trägst oder hebst. Also immer dann, wenn Du über eine gewisse Strecke Kraft aufwendest. Um Mechanische Arbeit zu verrichten, benötigst Du Mechanische Energie. Der Zusammenhang zwischen mechanischer Kraft, Arbeit und Energie sind hier nochmal zusammengefasst:

Kraft	Arbeit	Energie
Du benötigst die Kraft F, um einen Körper der Masse m mit der Beschleunigung a zu bewegen: $F = m \cdot a$	Du verrichtest die Arbeit W, wenn Du über eine Strecke s die Kraft F aufwendest. Ist die Kraft nicht konstant, so berechnest Du die Arbeit als Integral über die gesamte Strecke: $W = \int_{}^{} F \cdot d s$	Sobald Du Arbeit an einem Körper verrichtest, ändert sich die Energie des Körpers. Dabei ändert sich auch Deine Energie. Damit ist die verrichtete Arbeit W gleich der Energieänderung ΔE: $Δ E = W$

Wenn Du Dich näher für mechanische Kräfte und Energien interessierst, dann schau doch in den entsprechenden Artikeln vorbei!

Allerdings ist dieser Zusammenhang nicht nur für die Mechanik gültig. Vielmehr verrichtest Du immer, wenn Du Kraft über eine Strecke aufwendest, auch Arbeit und verbrauchst dabei Energie. Deswegen kannst Du diese Gesetzmäßigkeiten auch auf die Elektrizitätslehre ausweiten.

Elektrische Feldenergie Formel

Elektrische Kräfte werden durch elektrische Ladungen verursacht. Im Kondensator kann es beispielsweise die Gesamtladung auf den Kondensatorplatten sein. Zwischen zwei Ladungen wirkt die Coloumbkraft.

Die Kraft, die zwei Ladungen aufeinander ausüben, heißt Coulombkraft F_C. Sie hängt von der Größe der beiden Ladungen q₁und q₂ und deren Abstand r ab:

$F_{C} = \frac{1}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{r^{2}}$

Dabei ist ε₀ die elektrische Feldkonstante mit dem Wert

$ε_{0} = 8, 854 \cdot 10^{12} \frac{A·s}{V·m}$

Auf bewegte Ladungen im magnetischen Feld wirkt zusätzlich die Lorentzkraft.

Mehr zum Thema Kräfte zwischen elektrischen Ladungen findest Du im Artikel zur Coulombkraft.

Wenn Du nun zum Beispiel zwei gleichnamige Ladungen näher zusammenbringen möchtest, verrichtest Du Arbeit. Damit ändert sich die Energie des elektrischen Feldes zwischen den Ladungen und die Arbeit wird in Form von Energie gespeichert. In diesem Fall handelt es sich um elektrische Feldenergie. Doch wie kannst Du Dir diese vorstellen?

Bringst Du zwei gleichnamige Ladungen zusammen, so erhöht sich also die Energie des elektrischen Feldes. Mit dieser zusätzlichen Energie kann das Feld dann selbst Arbeit verrichten, zum Beispiel diese Ladungen wieder voneinander wegstoßen. Dabei wird die Feldenergie in Bewegungsenergie der Ladungen umgewandelt.

So etwas Ähnliches hast Du bestimmt sogar selbst erlebt, wenn Du mal versucht hast, zwei sich abstoßende Magnete zusammenzubringen: Sie bleiben nicht von selbst auf dem Abstand, auf den Du sie bringst, sondern werden im Feld wieder voneinander weggestoßen. In diesem Fall handelt es sich jedoch nicht um die Umwandlung der elektrischen Feldenergie, sondern der Energie des magnetischen Feldes. Mehr dazu erfährst Du in der gleichnamigen Erklärung!

Du kannst das ganze auch andersherum betrachten: Wenn Du die gleichnamigen Ladungen näher aneinander bringst, werden sie durch das elektrische Feld abgebremst. Dabei wird ihre kinetische Energie zunächst als elektrische Feldenergie gespeichert. Wenn das Feld die Ladungen wieder auseinanderzieht, wird diese Energie in kinetische Energie der Ladungen umgewandelt.

Die elektrische Feldenergie wird oft auch einfach kurz als elektrische Energie bezeichnet.

Wird Arbeit aufgebracht, um eine Ladung im elektrischen Feld zu verschieben, so wird diese in Form von elektrischer Energie im Feld gespeichert. Die aufgewandte elektrische Arbeit W_el kann durch Integration der elektrischen Kraft F_el nach dem Weg s berechnet werden:

$W_{e l} = \int F_{e l} \cdot d s$

Das Formelzeichen der elektrischen Energie ist E_el. In seltenen Fällen wirst Du auch die Bezeichnung W_el finden, da die verrichtete Arbeit einer Energieänderung und somit der elektrischen Energie entspricht.

Dies dient insbesondere dazu, um Verwechslungen zu vermeiden: In der Elektrizitätslehre wird das Formelzeichen E nämlich der elektrischen Feldstärke zugesprochen. Mehr dazu erfährst Du im Kapitel über Kondensatoren.

Kommen wir nun zurück zu Deinen Ladungen.

Du startest bei einem Abstand r₁und bringst die Ladungen auf einen kleineren Abstand r₂zueinander:

Die Ladungen stoßen sich ab, befinden sich jetzt aber näher zueinander. Damit haben sie einen höheren Energiegehalt als vorher und sind nun in der Lage, selbst Arbeit zu verrichten. Die gespeicherte Energie E_el entspricht dabei der Arbeit W_el, die Du aufgewendet hast, um die Ladungen q₁ und q₂ vom Abstand r₁auf den Abstand r₂ zu bringen. Du berechnest sie wie folgt:

$\begin{array}{rcl} E_{e l} & = & W_{e l} \\ E_{e l} & = & \int_{r_{1}}^{r_{2}} F_{C} \cdot d r \\ E_{e l} & = & \int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{1}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{r^{2}} \cdot d r \\ E_{e l} & = & \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot \int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{1}{r^{2}} \cdot d r \end{array}$

Die Integration nach r liefert Dir die Formel für die Feldenergie:

$E_{e l} = \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot \int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{1}{r^{2}} \cdot d r E_{e l} = \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot (- \frac{1}{r_{2}} - (- \frac{1}{r_{1}})) E_{e l} = \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot (\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}})$

Weil $r_{1} > r_{2}$ ist und die Ladungen das gleiche Vorzeichen haben, ist die elektrische Energie in diesem Fall immer positiv. Das bedeutet, dass die Energie des Feldes zugenommen hat und dieses nun in der Lage ist, selber Arbeit zu verrichten.

Die elektrische Feldenergie E_el, wenn zwei Punktladungen q₁ und q₂ von einem Abstand r₁ auf den Abstand r₂ zueinander verschoben werden, entspricht:

$E_{e l} = \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot (\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}})$

Mit ε₀ als elektrische Feldkonstante.

Für gleichnamige Ladungen ist die elektrische Energie des Feldes positiv, wenn sie näher aneinander gebracht werden und negativ, wenn sie auseinander gezogen werden. Haben die Ladungen ein unterschiedliches Vorzeichen, so gilt das Gegenteil.

Elektrische Feldenergie Einheit

Die Einheit der elektrischen Energie entspricht der Einheit von Arbeit. Arbeit wiederum ist definiert als Kraft mal Strecke. Damit ergibt sich für die entsprechende Einheit:

$\begin{array}{rcl} [E_{e l}] & = & [W_{e l}] = [F \cdot s] \\ [E_{e l}] & = & 1 N \cdot m = 1 \frac{kg \cdot m}{s^{2}} \cdot m = 1 \frac{kg \cdot m^{2}}{s^{2}} = 1 J \end{array}$

Üblich ist es auch, die Energie in Wattsekunden anzugeben. Dabei entspricht ein Joule einer Wattsekunde.

Elektrische Energie E_el kann in der Einheit Joule J oder auch in Wattsekunden Ws angegeben werden:

$[E_{e l}] = 1 J = 1 W s$

Wie sieht die Energie denn nun aus, wenn Du zwei gleichnamige Ladungen nicht mehr aufeinander zu-, sondern voneinander wegbewegst? Es bietet sich an, Dir diesen Fall anhand einer Aufgabe anzuschauen!

Elektrische Feldenergie Beispielaufgabe

Bisher hast Du gelernt, dass bei gleichnamigen Ladungen die elektrische Feldenergie positiv ist, wenn sie näher zusammengebracht werden und negativ, wenn Du die Ladungen auseinander ziehst. Für den ersten Fall hast Du sogar ein Beispiel gesehen. Nun wird es allerdings Zeit, den zweiten Fall eigenständig zu überprüfen!

Aufgabe 1

Zwei Ladungen $q_{1} = 1, 8 \cdot 10^{- 8} C$ und $q_{2} = 2, 4 \cdot 10^{- 8} C$ befinden sich im Abstand $r_{1} = 6 \cdot 10^{- 6} m$ zueinander.

a) Bestimme die Coulombkraft F_Czwischen den beiden Ladungen.

b) Nun werden die Ladungen auf den Abstand $r_{2} = 14 \cdot 10^{- 6} m$ gebracht. Berechne die Energie, die die Ladungen aufgrund ihrer veränderten Position nun besitzen.

Lösung a

Als Erstes setzt Du die Angaben in die Formel für die Coulombkraft ein:

$F_{C} = \frac{1}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{r^{2}} F_{C} = \frac{1}{4 \cdot π \cdot \begin{array}{rcl} 8 \end{array} \begin{array}{rcl} , \end{array} \begin{array}{rcl} 854 \end{array} \begin{array}{rcl} \cdot \end{array} \begin{array}{rcl} 10 \end{array} \begin{array}{rcl} \end{array}}$ ^-12A·sV·m·1,8·10-8 C·2,4·10-8 C6·10-6 m2

Damit alles mit den Einheiten passt, rechnest Du die Einheiten der elektrischen Feldkonstante um. Dabei nutzt Du aus, dass $1 C = 1 A \cdot s$ und $1 N = 1 \frac{k g \cdot m}{s^{2}}$ gilt:

$[ε_{0}] = 1 \frac{A \cdot s}{V \cdot m} = 1 \frac{A^{2} \cdot s^{4}}{k g \cdot m^{3}} = 1 \frac{C^{2}}{N \cdot m^{2}}$

Diese Einheit setzt Du nun ebenfalls ein und berechnest das Ergebnis:

$\begin{array}{rcl} F_{C} & = & \frac{1}{4 \cdot π \cdot 8, 854 \cdot 10^{- 12} \frac{C^{2}}{N m^{2}}} \cdot 1, 2 \cdot 10^{- 5} \frac{C^{2}}{m^{2}} \\ F_{C} & = & 107, 9 \cdot 10^{3} N \end{array}$

Also entspricht die Coulombkraft zwischen den beiden Ladungen 107,9 kN.

Lösung b

In dieser Aufgabe setzt Du die Angaben in die Formel für die elektrische Energie zwischen zwei Ladungen ein:

$\begin{array}{rcl} E_{e l} & = & \frac{q_{1 \cdot} q_{2}}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot (\frac{1}{r_{2}} \cdot \frac{1}{r_{1}}) \\ E_{e l} & = & \frac{1, 8 \cdot 10^{- 8} C \cdot 2, 4 \cdot 10^{- 8} C}{4 \cdot π \cdot 8, 854 \cdot 10^{- 12} \frac{C^{2}}{N m^{2}}} \cdot (\frac{1}{14 \cdot 10^{- 6} m} - \frac{1}{6 \cdot 10^{- 6} m}) \\ E_{e l} & = & - 0, 370 Nm \\ E_{el} & = & - 0, 370 J \end{array}$

Die Arbeit ist negativ, da bei zwei gleichnamigen Ladungen eine Abstandsvergrößerung zugunsten der Abstoßungskräfte ist. 0,370 J der Feldenergie werden also in Bewegungsenergie der Ladungen umgewandelt, um sie von $r_{1} = 6 \cdot 10^{- 6} m$ auf den Abstand $r_{2} = 14 \cdot 10^{- 6} m$ zueinander zu bringen.

Wie sieht es aber nun aus, wenn nicht mehr nur zwei Ladungen, sondern ein Kondensator oder ein geladener Körper vorliegen? Schau Dir das am besten an den entsprechenden Beispielen an!

Elektrische Feldenergie Beispiele

Im Grunde genommen kann die elektrische Energie für jedes elektrische Feld über die verrichtete Arbeit

$W_{e l} = \int F_{e l} \cdot d s$

berechnet werden. Das einzige, was sich an dieser Formel in Abhängigkeit vom Feld ändert, ist die elektrische Kraft F_el. Damit ergeben sich für unterschiedlich geladene Körper auch unterschiedliche Formeln.

Elektrische Feldenergie Kugel

Schau Dir beispielsweise eine metallische, positiv geladene Kugel an:

Weil gleichnamige Ladungen sich abstoßen, streben sie den größtmöglichen Abstand zueinander an. Dieser ist dann erreicht, wenn sie sich gleichmäßig an der Kugeloberfläche anordnen. Das Innere der Kugel hingegen bleibt feldfrei. Die Ladungen an der Oberfläche können als Gesamtladung Q zusammengefasst werden.

Wenn Du die Kugel aus einem Abstand r betrachtest, der größer als der Kugelradius R ist, verhält sich ihr elektrisches Feld wie das Feld einer Punktladung mit dem Betrag Q. Wie dieses auf eine Probeladung q wirkt, kannst Du Dir folgendermaßen verbildlichen:

Damit entspricht die Verschiebung einer Probeladung q im elektrischen Feld einer geladenen Kugel mit der Gesamtladung Q dem Fall von zwei Punktladungen.

Die elektrische Energie des Feldes außerhalb einer geladenen Metallkugel mit gleichmäßig verteilter Ladung Q auf der Oberfläche beträgt

$E_{e l} = \frac{Q \cdot q}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot \frac{1}{r}$

Dabei ist q die Probeladung und r der Abstand der Probeladung q zur geladenen Kugel.

Was wäre allerdings, wenn die Ladung nicht homogen auf einer Kugel, sondern anderweitig verteilt wäre? Das ist in der Tat eine berechtigte Frage, denn geladene Kugeln finden im Alltag eher wenig Anwendung. Weiter verbreitet sind beispielsweise Kondensatoren, die so gut wie in jedem elektrischen Gerät verbaut sind.

Elektrische Feldenergie Plattenkondensator

Kondensatoren findest Du in jedem Deiner Geräte, egal ob Mobiltelefon oder Computer. Es ist nämlich das einfachste Bauteil zur Speicherung elektrischer Energie.

Ein Kondensator ist ein elektrisches Bauteil, das elektrische Energie im elektrischen Feld speichert. Die gespeicherte Energie ist dabei proportional zur Ladung auf dem Kondensator.

Durch eine externe Spannung wird der Kondensator aufgeladen. Wie viel Ladung dabei pro Spannungsänderung auf den Kondensator aufgetragen werden kann, wird durch seine Kapazität und die Bauform bestimmt. Eine dieser Bauformen ist der Plattenkondensator.

Weitere Informationen über Kondensatoren findest Du in den entsprechenden Artikeln!

Die Abbildung zeigt Dir den Aufbau eines Plattenkondensators: Dieser besteht aus zwei Platten der Fläche A, die parallel zueinander stehen und den Abstand d zueinander haben. Sobald an den Platten eine Spannung U angelegt wird, lädt sich eine Platte positiv und die andere Platte negativ auf. Zwischen den Platten bildet sich aufgrund der Ladungen ein elektrisches Feld aus.

Die elektrische Energie im Plattenkondensator ist abhängig von der anliegenden Spannung U zwischen den beiden Platten und der Kapazität C des Kondensators:

$E_{e l} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U^{2}$

Wie Du auf diese Formel kommst, erfährst Du gleich am Ende des Artikels.

Diese Abhängigkeit der elektrischen Energie von Kapazität und Spannung gilt für alle Kondensatortypen. Mehr zu diesem Thema findest Du in den Artikeln zum Kondensator oder zum Plattenkondensator.

Elektrische Feldenergie Kondensator – Aufgabe

Hier findest Du eine Beispielaufgabe zur Berechnung der elektrischen Energie eines beliebigen Kondensators.

Aufgabe 2

Ein Kondensator besitzt die Kapazität $C = 3, 7 \cdot 10^{- 9} F$ . Es wird eine Spannung von $U = 300 V$ angelegt. Berechne die im elektrischen Feld gespeicherte Energie.

Die Einheit der Kapazität ist Farad. Dabei gilt: $1 F = 1 \frac{C}{V}$

Lösung

Du kannst die Angaben über Kapazität und Spannung in die obige Formel der elektrischen Energie im Kondensator einsetzen. Damit auch alles mit den Einheiten stimmt, rechnest Du dabei auch die Einheiten der Kapazität um:

$E_{e l} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U^{2} E_{e l} = \frac{1}{2} \cdot 3, 7 \cdot 10^{- 9} F \cdot {(300 V)}^{2} E_{e l} = \frac{1}{2} \cdot 3, 7 \cdot 10^{- 9} \frac{C}{V} \cdot 300^{2} V^{2} E_{e l} = 1, 7 \cdot 10^{- 4} C V$

Da $1 V = 1 \frac{J}{C}$ ist, beträgt die elektrische Energie des Kondensators $E_{e l} = 1, 7 \cdot 10^{- 4} J$ .

Die Herkunft der Formel kannst Du Dir auch herleiten.

Elektrische Feldenergie Herleitung – Plattenkondensator

Um eine Ladungsmenge dQ beim Ladevorgang auf die Kondensatorplatten zu bringen, wird die Arbeit (Gleichung 1)

$d W_{e l} = U \cdot d Q (1)$

verrichtet. Dabei ist die Spannung U (Gleichung 2) abhängig von der Ladung Q und steigt proportional mit dieser an. Der Proportionalitätsfaktor ist die Kapazität C:

$U = \frac{Q}{C} (2)$

Um die Gesamte Arbeit zu berechnen, die Du zum Aufladen des Kondensators benötigst, setzt Du Gleichung (2) in Gleichung (1) ein und integrierst diese anschließend:

$\begin{array}{rcl} d W_{e l} & = & U \cdot d Q \\ d W_{e l} & = & \frac{Q}{C} \cdot d Q \int_{}^{} . . . \\ W_{e l} & = & \frac{1}{C} \cdot \int Q \cdot d Q \\ W_{e l} & = & \frac{1}{C} \cdot \frac{1}{2} \cdot Q^{2} \end{array}$

Aus Gleichung (2) folgt $Q = U \begin{array}{rcl} \cdot \end{array} \begin{array}{rcl} C \end{array}$ . Dies kannst Du nun einsetzen und erhältst somit:

$\begin{array}{rcl} W_{e l} & = & \frac{1}{C} \cdot \frac{1}{2} \cdot Q^{2} \\ W_{e l} & = & \frac{1}{C} \cdot \frac{1}{2} \cdot {(U \cdot C)}^{2} \\ W_{e l} & = & \frac{1}{C} \cdot \frac{1}{2} \cdot {U^{2} \cdot C}^{2} \\ W_{e l} & = & \frac{1}{2} \cdot C \cdot U^{2} \end{array}$

Da die elektrische Arbeit in Form von elektrischer Energie zwischen den Platten gespeichert wird, entspricht dies auch der elektrischen Energie des Plattenkondensators:

$E_{e l} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U^{2}$

Jetzt kennst Du alle wichtigen Details zum Thema elektrische Energie. Abschließend findest Du diese hier noch einmal kurz zusammengefasst.

Elektrische Feldenergie - Das Wichtigste

Wird Arbeit verrichtet, um Ladungen im elektrischen Feld zu bewegen, dann wird sie in Form von elektrischer Energieim Feld gespeichert.
- Bei gleichnamigen Ladungen wird die Bewegungsenergie der Ladungen in elektrische Feldenergie umgewandelt, wenn sie aufeinander zu bewegt werden. Werden sie voneinander wegbewegt, so wird elektrische Feldenergie in Bewegungsenergie der Ladungen umgewandelt.
- Bei entgegengesetzten Ladungen gilt das Gegenteil.
Das Formelzeichen der elektrischen Energie ist E_el. W_el steht für elektrische Arbeit.
Arbeit im elektrischen Feld kannst Du berechnen durch

$W_{e l} = \int F_{e l} \cdot d s$

Elektrische Energie wird in der Einheit Joule J oder Wattsekunde Ws angegeben.
Wird Arbeit gegen die Coulombkraft zwischen zwei Ladungen q₁ und q₂ verrichtet, zum Beispiel durch Abstandsänderung von r₁ nach r₂, beträgt die im elektrischen Feld gespeicherte Energie:

$E_{e l} = \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot (\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}})$

Im Kondensator ist die elektrische Feldenergie abhängig von der Kapazität C und der Spannung U:

$E_{e l} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U^{2}$

Das äußere Feld einer geladenen Metallkugel mit der Gesamtladung Q kann als das Feld einer Punktladung Q angenähert werden. Die Energie des Feldes zwischen der Kugel und einer Probeladung q im Abstand r beträgt:

$E_{e l} = \frac{Q \cdot q}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} \cdot \frac{1}{r}$

Karteikarten in Elektrische Feldenergie 2

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Die elektrische Feldenergie sinkt, wenn Du zwei entgegengesetzt geladene Teilchen näher zusammenbringst.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Elektrische Feldenergie

Wie veranschaulicht man ein elektrisches Feld?

Das elektrische Feld wird grafisch mit Feldlinien dargestellt. Sie zeigen die Kraftwirkung auf Probeladungen an und sind von positiver Ladung zur negativen Ladung orientiert.

Was ist die elektrische Energie?

Die elektrische Energie ist die im elektrischen Feld gespeicherte Energieform.

Welche Kräfte wirken im elektrischen Feld?

Im elektrischen Feld wirkt die Coulombkraft zwischen den Ladungen.

Was ist die Feldenergie?

Unter der Feldenergie verstehst Du diejenige Energie, die in einem Feld gespeichert ist. Es gibt daher zum Beispiel die elektrische Feldenergie und die magnetische Feldenergie.

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