Kondensator entladen: Formel & Widerstand

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Kondensator Auf- und Entladen

Um den Auf- und Entladevorgang eines Kondensators zu berechnen, verwendet man in der Regel eine sogenannte RC-Schaltung. Dabei steht das "R" in der Schaltung für den Widerstand und das "C" für den Kondensator. Bei einer RC-Schaltung sind dabei Widerstand und Kondensator in Reihe geschaltet.

Bei dieser Schaltung handelt es sich um eine Komponente, die Du vielleicht schon aus der Elektrotechnik kennst. Oft wird eine RC-Schaltung als Tiefpass-Filter genutzt.

Mit einem Tiefpass-Filter werden hohe Frequenzen aus einer angelegten Wechselspannung herausgefiltert. Analog dazu gibt es einen Hochpass-Filter, der niedrige Frequenzen aus einer angelegten Wechselspannung herausfiltert.

Wenn Dich das Thema Schaltungen interessiert, dann schau doch in den Artikeln zu Reihen- und Parallelschaltungen vorbei!

Kondensator entladen Schaltung

In eine RC-Schaltung ist sowohl ein Widerstand R als auch ein Kondensator C eingebaut. Diese beiden Bauteile sind in einer solchen Schaltung in Reihe geschaltet. Ein weiterer wichtiger Teil ist der Schalter S, der es möglich macht, die Schaltung von der angelegten Spannung U zu trennen oder sie nach dem Entladen wieder an der Spannung U anzulegen.

In der Abbildung 1 siehst Du den Aufbau einer RC-Schaltung. Die Schaltung auf der linken Seite stellt den Schaltkreis beim Aufladevorgang dar, während die Schaltung auf der rechten Seite dem Schaltkreis des Entladevorgangs entspricht.

Wird der Schalter nach links gestellt, dann liegt an dem RC-Glied eine konstante Spannung $U_{0}$ an. Diese Spannung sorgt dafür, dass ein elektrischer Strom $I (t)$ durch den Widerstand R und den Kondensator C fließt. Der Strom nimmt dabei mit der Zeit ab. Die Kondensatorspannung $U_{C} (t)$ war zu Beginn Null, nimmt jedoch mit der Zeit zu, und zwar so lange, bis der Kondensator auf den Wert $U_{0}$ aufgeladen ist.

Doch was geschieht, wenn der Schalter auf die Position zwei, also nach rechts, umgelegt wird?

Sobald der Schalter umgelegt wird, entlädt sich der Kondensator über den Widerstand R. Der Strom $I (t)$ , der oft als Entladestrom bezeichnet wird, ist in dem Moment, in dem der Schalter von Position eins auf Position zwei gelegt wird, maximal und nimmt von nun an mit der Zeit ab. Der Strom nimmt so lange ab, bis er Null ist, sprich, bis der Kondensator komplett leer ist. Die Kondensatorspannung $U_{C} (t)$ nimmt auch mit der Zeit ab.

Aufladevorgang eines Kondensators

Da sich dieser Artikel ausschließlich mit dem Entladevorgang eines Kondensators befasst, folgt hier lediglich ein kurzer Überblick zum Aufladevorgang.

Alles andere zum Thema Aufladevorgang eines Kondensators findest Du im dazugehörigen Artikel!

Um die Formel für Aufladestrom des Aufladevorgangs herzuleiten, wird der Strom, der in diesem Fall von der Zeit abhängt, nach der Zeit abgeleitet.

Der Ladestrom I(t) wird mit einer Differentialgleichung beschrieben. Die zeitliche Änderung des Ladestroms hängt dabei von dem Widerstand R und der Kapazität C ab.

$\frac{d I (t)}{d t} = - \frac{1}{R \cdot C} \cdot I (t)$

Durch die Zeitableitung erhältst Du eine sogenannte homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung für den Aufladestrom I(t).

Die Lösung der Differentialgleichung mit einer Anfangsbedingung ergibt eine Formel, mit der Du den Strom $I (t)$ berechnen kannst.

Der Ladestrom I, der durch den Widerstand R und durch den Kondensator C fließt, ist abhängig von der Zeit t.Er nimmt exponentiell ab und ist definiert durch

$I (t) = I_{0} \cdot e^{- \frac{t}{R \cdot C}}$

mit der Anfangsbedingung $I_{0} = \frac{U_{0}}{R}$

Zudem relevant für den Aufladevorgang eines Kondensators ist die Spannung U_C, die am Kondensator anliegt.

Die Spannung U_C, die beim Aufladen des Kondensators anliegt, ist abhängig von dem Widerstand R, der Kapazität C und der Zeit t. Die Kondensatorspannung nimmt exponentiell ab und wird definiert durch die Formel

$U_{C} (t) = U_{0} (1 - e^{- \frac{t}{R \cdot C}})$

mit der Anfangsbedingung $U_{0} = I_{0} \cdot R$ .

Zum Schluss fehlt nur noch die Spannung U_R, die am Widerstand anliegt, während der Kondensator aufgeladen wird.

Die Spannung U_R, die während des Aufladevorgangs am Widerstand R anliegt, ist abhängig von der Zeit t, dem Widerstand und der Kapazität C. Dieser Vorgang wird mit der folgenden Formel berechnet

$U_{R} (t) = U_{0} \cdot e^{- \frac{t}{R \cdot C}}$

Die Anfangsbedingung ist $U_{0} = I_{0} \cdot R$

Alle wichtigen Herleitungen und Erklärungen zu diesen Formeln findest Du in dem Artikel, der sich mit dem Aufladen eines Kondensators beschäftigt!

Entladevorgang eines Kondensators

Jetzt folgt alles, was Du zum Entladevorgang eines Kondensators wissen musst. Einfachheitshalber siehst Du in Abbildung 2 noch einmal die RC-Schaltung, die den Entladevorgang eines Kondensators darstellt.

Nachdem der Kondensator aufgeladen wurde, kann er wieder entladen werden. Das geschieht, indem Du den Schalter auf die Position 2 umlegst. Das RC-Glied, bestehend aus Widerstand und Kondensator, wird durch Umlegen des Schalters gewissermaßen kurzgeschlossen. Von Beginn an fließt ein Entladestrom $I_{0}$ in die entgegengesetzte Richtung. Es ist zu beobachten, dass die Ladung Q vom Kondensator C abfließt und somit ein Ladungsausgleich stattfindet. Dieser Ladungsausgleich findet über einen Zeitraum statt.

Kondensator entladen – Formel

Durch das Umlegen des Schalters schließt sich der rechte Stromkreis, den Du in der Abbildung 1 siehst. Die am Kondensator anliegende Spannung ist, nach dem zweiten Kirchhoffschen Gesetz, gleich der am Widerstand anliegenden Spannung.

Hier folgt die Herleitung der Differentialgleichung, mit der Du den Entladestrom eines Kondensators berechnen kannst.

Du hast den Schalter umgelegt. Die Spannung U, die an Kondensator C und Widerstand R anliegt, ist identisch. Damit gilt:

$0 = U_{C} + U_{R}$

Mit dem Ohmschen Gesetz

$U = R \cdot I$

und der Kondensatorformel

$U = \frac{Q}{C}$

ergibt sich durch Einsetzen in die obige Formel

$0 = R \cdot I + \frac{Q}{C}$

In dieser Formel sind sowohl der Strom I als auch die Ladung Q unbekannt. Dazu kommt, dass der Strom I in diesem Fall von der Zeit abhängt. Deswegen muss die Ladung Q auf dem Kondensator mit der Zeit abnehmen. Damit ist auch die Ladung zeitabhängig. Um die Zeitabhängigkeit der Gleichung herauszufinden, leitest Du sie nach t ab

$0 = \frac{d}{d t} (R \cdot I (t) + \frac{Q (t)}{C}) 0 = \frac{d}{d t} R \cdot I (t) + \frac{d}{d t} \frac{Q (t)}{C}$

Diese Gleichung vereinfacht sich zu

$0 = R \cdot \frac{d}{d t} I (t) + \frac{1}{C} \frac{d}{d t} \cdot Q (t)$

Der Widerstand R ist eine Konstante und kann deshalb vor die Zeitableitung gezogen werden. Der Definition nach ist die Ableitung der Ladung Q(t) nach der Zeit gleich der elektrische Strom I(t). Die Gleichung lautet damit

$0 = R \cdot \frac{d I (t)}{d t} + \frac{1}{C} \cdot I (t)$ .

Die hergeleitete Gleichung wird zum Schluss lediglich durch den Widerstand R geteilt und nach der Zeitableitung umgestellt.

Die Differentialgleichung für den Entladestrom I(t) ist abhängig vom Widerstand R, der Kapazität C und lautet

$\frac{d I (t)}{d t} = - \frac{1}{R \cdot C} \cdot I (t)$

Der Strom fließt beim Entladen des Kondensators entgegen der beim Aufladen festgelegten Stromrichtung.Daher ist dieser negativ.

Nun hast Du eine homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung für den Strom $I (t)$ erhalten.Für Differentialgleichungen benötigst Du stets eine Anfangsbedingung, damit Du explizite Lösungen berechnen kannst.

Die Anfangsbedingung der Differentialgleichung beschreibt den Strom I₀ zum Zeitpunkt t=0. Dabei hängt diese von der Anfangsspannung U₀ und dem Widerstand R ab und lautet

$I_{0} = \frac{U_{0}}{R}$

Dabei ist die Anfangsbedingung $U_{0} = I_{0} \cdot R$

Jetzt hast du alles, was Du brauchst, um die Formel für den Strom beim Entladevorgang aufzustellen.

Strom beim Entladevorgang

In Abbildung 2 kannst Du sehen, dass durch das Umlegen des Schalters das RC-Glied der Schaltung kurzgeschlossen wird.

Es fließt von Beginn an der Entladestrom

$I_{0} = \frac{U_{0}}{R}$

in die entgegengesetzte Richtung zum Aufladestrom und nimmt exponentiell ab.

Für den Strom I(t) des Entladevorgangs steht in Abhängigkeit zu der Zeit t, dem Widerstand R und der Kapazität C. Beim Entladevorgang nimmt der Strom exponentiell ab (absolut)

$I (t) = - I_{0} \cdot e^{- \frac{t}{R \cdot C}}$

Die Anfangsbedingung lautet $I_{0} = \frac{U_{0}}{R}$

Der Entladestrom fließt entgegengesetzt zum Aufladestrom. Aufgrund dessen beinhaltet die Formel ein Minuszeichen.

Kondensator entladen exponentielle Abnahme des Stroms StudySmarter Abbildung 3: Darstellung der exponentiellen Abnahme

In Abbildung 3 ist die absolute, exponentielle Abnahme des Stroms mit der Zeit dargestellt. Der Strom ändert sich so lange, bis er gleich null ist.

Spannung am Widerstand beim Entladevorgang

Um die Spannung $U_{R} (t)$ , die über den Widerstand R abfällt, zu berechnen, musst Du nach dem Ohmschen Gesetz die Differentialgleichung für den Entladestrom mit dem Widerstand R multiplizieren.

Die Spannung am Widerstand beim Entladevorgang $U_{R} (t)$ eines Kondensators hängt von der Zeit t, dem Widerstand R, der Spannung $U_{0}$ bei t=0 und der Kapazität C ab und lässt sich mit folgender Formel berechnen

$U_{R} (t) = - U_{0} \cdot e^{- \frac{t}{R \cdot C}}$

Auch die Spannung hat ein negatives Vorzeichen. Ihre Richtung zeigt entgegen der vom Aufladevorgang angelegten Spannung.

Kondensator entladen Spannung Abfall am Widerstand StudySmarter Abbildung 4: Darstellung des exponentiellen Abfalls der Spannung am Widerstand

Die Spannung U_R(t) am Widerstand R sinkt, wie beim Aufladevorgang, exponentiell, wie in Abbildung 4 dargestellt.

Spannung am Kondensator beim Entladevorgang

Zum Schluss brauchst Du nur noch die Kondensatorspannung $U_{C} (t)$

Die Spannung $U_{C} (t)$ am Kondensator beim Entladevorgang hängt vom Widerstand R, von der Kapazität C und der Zeit t ab und beträgt

$U_{C} (t) = U_{0} \cdot e^{- \frac{t}{R \cdot C}}$

Dabei ist U₀die Anfangsbedingung mit $U_{0} = I_{o} \cdot R$ .

Ein wichtiger Unterschied ist der, dass die Spannung zum Zeitpunkt t= 0 nicht null ist, sondern den Wert $U_{0}$ hat.

Kondensator entladen Graph Entladevorgang Spannung Kondensator StudySmarter Abbildung 5: Darstellung des Spannungsverhaltens eines Kondensators beim Entladevorgang

Die Spannung U_C(t) des Kondensators sinkt exponentiell, bis sie den Wert Null erreicht.

Kondensator Entladekurve

Während des Entladevorgangs übernimmt der Kondensator die Rolle der Spannungsquelle. Sobald der Entladevorgang beginnt, sinkt die Spannung von einem Maximalwert auf null ab.

Kondensator entladen Entladekurve StudySmarter Abbildung 6: Entladekurven beider Spannungen und des Stroms

Der Entladestrom fließt in entgegengesetzter Richtung zum Ladestrom und sinkt ebenfalls auf null (siehe Abbildung 6). Du siehst also, dass sich die absoluten Spannungen U_Cund U_R genauso verhalten wie der Entladestrom I. Der einzige Unterschied besteht darin, dass sie eine gegensätzliche Polarität haben.

Kondensator entladen – Aufgabe

Mit der folgenden Übung kannst Du nun Dein Wissen überprüfen.

Aufgabe

In einer Schaltung sind ein Kondensator mit der Kapazität $C = 11, 2 μ F$ und ein unbekannter Widerstand R in Reihe geschaltet. Der Kondensator wird mit einer Spannung $U = 888 V$ aufgeladen. Ziel ist es, den Kondensator innerhalb von der Zeit $t = 12 s$ auf $U_{C} = 8 V$ zu entladen.

Wie groß muss der Vorwiderstand R sein?

Lösung

Das Entladen eines Kondensators geschieht nicht schlagartig. Die Dauer hängt dabei von der Spannung U, der Kapazität C und dem Widerstand R ab.

$U_{C} (t) = U_{0} \cdot e^{- \frac{t}{R \cdot C}}$

Da der Wert des Widerstandes R gesucht ist, stellst Du diese Gleichung um. Im ersten Schritt bringst Du die Spannung U auf die andere Seite:

$\frac{U_{C} (t)}{U} = e^{- \frac{t}{R \cdot C}}$

Die Exponentialfunktion der Gleichung kann mit der Anwendung des Logarithmus aufgelöst werden

$\ln (\frac{U_{c} (t)}{U}) = - \frac{t}{R \cdot C}$

Jetzt ist der Widerstand R nicht mehr in die Exponentialfunktion eingebunden und Du kannst nach ebendieser Variable umstellen

$R = - \frac{t}{C \cdot \ln (\frac{U_{C} (t)}{U})}$

In diese Gleichung setzt Du zum Schluss die Werte $C = 11, 2 μ F$ , $U = 888 V$ , $U_{C} (t) = 8 V$ und $t = 12 s$ und erhältst

$R = - \frac{12 s}{11, 2 μ F \cdot \ln (\frac{8 v}{888 V})} R = 227, 5 k Ω$

Der Widerstand muss also einen Wert von $R = 227, 5 k Ω$ besitzen, um die Aufgabenstellung zu erfüllen.

Jetzt weißt du schon über den Entladevorgang eines Kondensators Bescheid. Doch wie entlädt man dieses Bauteil sicher? Was muss man beachten, damit es zu keinem Kurzschluss kommt?

Kondensator sicher entladen

Der Umgang mit Strömen und Spannungen kann oft gefährlich werden. Umso wichtiger ist es dann, einen Kondensator sicher zu entladen, ohne dass es zu Zwischenfällen, wie einem Kurzschluss, kommt.

Der Entladevorgang eines Kondensators hängt stets von der Art des Kondensators und dessen Kapazität ab. Dabei sind Kondensatoren mit einer höheren Kapazität vorsichtiger zu entladen, denn ein Kurzschluss kann dabei nicht nur Bauteile zerstören, sondern auch für Stromschläge sorgen.

Um einen Kondensator sicher zu entladen, wird ein Widerstand an den zwei Enden des Kondensators angeschlossen, damit die im Kondensator gespeicherte Energie abgelassen wird.

Ein Kondensator mit einer Spannung von 100 Volt lässt sich mit einem herkömmlichen Widerstand oder einer einfachen Glühbirne mit einer Spannung von 110 Volt nutzen. Der Kondensator gibt dabei seine Energie ab und lässt die Glühbirne leuchten.

Es ist empfohlen, bei der Entladung eines Kondensators mit großer Kapazität einen hohen elektrischen Widerstand zu nutzen. Dieser Entladevorgang dauert gegebenenfalls länger, Du kannst Dir dann jedoch sicher sein, dass die Ladung vollständig entladen wird.

Kondensator schnell entladen

In dem vorherigen Abschnitt des Artikels wurde bereits erklärt, wie man einen Kondensator sicher entladen kann. Was musst Du tun, wenn du den Kondensator möglichst schnell entladen möchtest?

Es wurde bereits erwähnt, dass die Entladezeit eines Kondensators vom Widerstandswert abhängt. Kondensatoren mit großen Kapazitäten erfordern zum Entladen in der gleichen Zeit einen kleineren Widerstand. Möchtest Du also einen Kondensator schnell entladen, müsstest Du einen möglichst kleinen Widerstand verwenden.

Man sollte es vermeiden, einen Kondensator schnell zu entladen, zum Beispiel durch einen Kurzschluss. Kurzzeitig hohe Ströme können Bauteile zerstören.

Fazit: Je kleiner der Widerstand R, desto schneller geht die Entladung vonstatten.

Jetzt geht's zum Schluss noch einmal zurück zur Einleitung. Warum geht das Licht im Treppenhaus nach Betätigen des Lichtschalters an und nach einiger Zeit von selbst wieder aus? Wenn ein RC-Glied in einer Schaltung genutzt wird, speichert der Kondensator Ladungen für eine gewisse Zeit. Das Drücken des Lichtschalters entspricht also dem Umlegen des Schalters des RC-Schaltkreises. Sobald der Lichtschalter gedrückt wird, fließt ein Strom, die Beleuchtung geht an und leuchtet so lange, bis der Kondensator leer ist.

Kondensator entladen – Das Wichtigste

Beim Entladevorgang eines Kondensators sinkt der Strom $I (t)$ vom Wert $- I_{0}$ auf null ab.
Der Strom $I (t)$ beim Entladevorgang lässt sich mit der folgenden Formel berechnen

$I (t) = - I_{0} \cdot e^{- \frac{t}{R \cdot C}}$ .

Die Spannung $U_{R} (t)$ , die am Widerstand R der Schaltung anliegt, sinkt exponentiell von $- U_{0}$ auf null ab.
Die Spannung $U_{R} (t)$ lässt sich mit der folgenden Formel berechnen

$U_{R} (t) = - U_{0} \cdot e^{- \frac{t}{R \cdot C}}$ .

Die Kondensatorspannung $U_{C} (t)$ sinkt exponentiell von $U_{0}$ auf null.
Die Kondensatorspannung $U_{C} (t)$ lässt sich mit der folgenden Formel berechnen

$U_{C} (t) = U_{0} \cdot e^{- \frac{t}{R \cdot C}}$ .

Ein sicherer Entladevorgang hängt von Art des Kondensators und dessen Kapazität C ab.
Bei hoher Kapazität kann es schnell zu Kurzschlüssen kommen, die Bauteile zerstören oder dem Anwender einen Stromschlag geben können.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Kondensator entladen

Wie kann man einen Kondensator entladen?

Eine Möglichkeit zur Entladung eines Kondensators ist die Speisung einer Glühbirne, die im der Lage ist, der Kondensatorspannung beim Entladen standzuhalten

Wann ist ein Kondensator entladen?

Ein Kondensator ist dann entladen, wenn sich keine Ladungsdifferenz mehr auf zwischen Platten des Kondensators befindet.

Warum entlädt sich ein Kondensator?

Ein Kondensator entlädt sich dann, wenn er von einer Spannungsquelle getrennt wird. Die Ladungen, die sich auf dem Kondensator befinden, ziehen sich über das Dielektrikum hinweg an. Die Elektronen haben also das Bestreben, sich auf die andere Platte zu bewegen. Kein Dielektrikum ist ein idealer Isolator. Selbst bei er kleinsten Leitfähigkeit ist ein Ladungstransport möglich und der Kondensator entlädt sich.

Wie verhält sich ein Kondensator?

Solange ein Kondensator an eine Spannungsquelle angeschlossen ist, verhält er sich wie ein Speicher von Energie. Fällt die Spannungsquelle weg, wird sie durch den Kondensator entsetzt, so lange bis er leer ist.

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