Zyklotron: Definition, Funktionsweise & Erklärung

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Zyklotron – Definition

Ein Zyklotron ist ein Teilchenbeschleuniger, bei dem geladene Teilchen auf einer spiralförmigen Bahn beschleunigt werden. Durch ein homogenes Magnetfeld werden sie dabei auf der Bahn gehalten und in einem elektrischen Feld beschleunigt.

Das Prinzip des Zyklotrons ist es, die Beschleunigungsbahn zu verringern und in eine runde Bahn zu komprimieren.

Linearbeschleuniger waren bis zur Erfindung des Zyklotrons die meistgenutzte Art von Teilchenbeschleunigern. Das Problem von Linearbeschleunigern ist allerdings, dass diese sehr groß und lang sein müssen, um die Teilchen genügend beschleunigen zu können. Außerdem wurden die Teilchen nur durch die angewandte elektrische Spannung beschleunigt. Die Energie des Teilchens ist damit begrenzt auf die Beschleunigungsspannung des Beschleunigers.

Ein Linearbeschleuniger ist ein Teilchenbeschleuniger, bei dem geladene Teilchen, auf einer geraden Strecke in mehreren elektrischen Feldern hintereinander, beschleunigt werden. Linearbeschleuniger können mehrere Kilometer lang werden.

Zyklotron Definition Vergleich Linearbeschleuniger Zyklotron StudySmarter

Abb. 1 - Vergleich Linearbeschleuniger und Zyklotron

Wie du auf dem Bild erkennst, werden in einem Linearbeschleuniger Teilchen auf einer langen, geraden Bahn beschleunigt. Von der linken Seite aus, wird das Teilchen zwischen den Hohlzylindern in vielen, hintereinanderliegenden, elektrischen Feldern beschleunigt. Vergleichsweise wird das Teilchen in einem Zyklotron auf einer spiralförmigen Bahn beschleunigt.

Linearbeschleuniger müssen teilweise mehrere Kilometer lang sein, um die Teilchen genügend zu beschleunigen. Diese Probleme konnten mithilfe eines Zyklotrons umgangen werden. Zyklotronen haben meist einen Durchmesser bis höchstens 10 Meter.

Zyklotron – Aufbau und Erklärung

Das Zyklotron besteht vereinfacht gesagt aus zwei Duanten, die an einer hochfrequenten Wechselspannungsquelle angeschlossen sind, Magneten für ein starkes Dauermagnetfeld, einer Teilchenquelle, an der geladene Protonen oder Elektronen emittiert werden und einem Ablenkrohr.

Ein Duant ist ein hohler, metallischer Halbkreis in der Form eines des Buchstaben D. Duanten können durch Spannungsquellen geladen werden, um ein elektrisches Feld entstehen zu lassen.

Hier siehst du den Aufbau eines Zyklotrons

Zyklotron Aufbau StudySmarter

Abb. 2 - Aufbau eines Zyklotrons

Ein leistungsstarker Elektromagnet (1 in Abbildung 1) sorgt für ein homogenes Magnetfeld, auch B-Feld genannt, in welchem sich der Beschleuniger befindet. Zwischen den Duanten (2) befindet sich eine Teilchenquelle (6), die Teilchen emittiert. Die Duanten sind an eine Wechselstromquelle (3) angeschlossen. Die Teilchen werden beschleunigt und wenn sie schnell genug sind, werden sie vom Ablenkkondensator (4) in die Ablenkröhre (5) und auf das Ziel gelenkt.

Doch wie funktionieren die Elemente im Zusammenspiel und ergeben einen effizienten Teilchenbeschleuniger?

Zyklotron – Funktionsweise

Schauen wir uns nun einmal an, wie ein Zyklotron funktioniert und erklären die einzelnen Bestandteile.

Im ersten Schritt wird an der Teilchenquelle ein geladenes Teilchen emittiert. Meistens werden bei Teilchenbeschleunigern Protonen verwendet. Dieses Proton tritt in das elektrische Feld der Duanten ein. Zwischen den zwei Duanten liegt eine Wechselspannung, mit konstanter Frequenz, an.

Um die Teilchen auf einer Spiralbahn zu halten, umschließt ein Elektromagnet horizontal die Duanten.

Zyklotron homogenes Magnetfeld Teilchenbahn StudySmarter

Abb. 3 - homogenes Magnetfeld eines Zyklotrons

Durch die Ausrichtung von Nord- und Südpol des Elektromagnets im Zyklotron, zeigen die Magnetfeldlinien von unten nach oben. Wenn wir den Aufbau des Zyklotrons von oben betrachten, wie in Abbildung 1, dann zeigen die Wirkungslinien aus der Zeichenebene heraus, also auf dich zu. Die Ausrichtung von Nord- und Südpol kann, je nach Richtung der Teilchenbahn, getauscht werden.

Das erzeugte homogene Magnetfeld, welches senkrecht zu den Duanten wirkt, lenkt die geladenen, bewegten Teilchen durch die Lorentzkraft, auf eine Kreisbahn. Die Lorentzkraft fungiert hier als Zentripetalkraft. Zur Vorstellung hilft die Drei-Finger-Regel der rechten Hand, da wir das Verhalten eines Protons im Zyklotron betrachten. Mehr zu diesem Thema findest du im entsprechenden Artikel.

Schau dir jetzt an, wie du das Prinzip der Drei-Finger Regel auf die Bewegung eines Protons im Zyklotron anwenden kannst.

Zyklotron drei Finger Regel Lorentzkraft Kreisbahn StudySmarter

Abb. 4 - Die Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft

Es handelt sich um ein Proton, daher verwenden wir die rechte Hand für die Drei-Finger-Regel. Strecke deinen rechten Daumen nach vorne, von dir weg. Der Daumen zeigt dir die Richtung der Ladung bzw. die Bewegungsrichtung des Protons an. Deinen Zeigefinger deutest du nach oben. Der Zeigefinger deutet Feldlinienrichtung, oder auch die magnetische Flussdichte B, an. Deinen Mittelfinger spreizt du zum Schluss nach rechts ab. Dieser zeigt dir die Richtung der wirkenden Lorentzkraft. Deine Finger sollten nun alle orthogonal (im 90° Winkel) zueinander stehen.

Wenn du nun deine Hand leicht nach rechts rotierst und deine Finger ihre Anordnung beibehalten, merkst du, dass dein Zeigefinger weiterhin nach oben zeigt, weil die Feldlinienrichtung gleich bleibt. Die Bewegungsrichtung (Daumen) und die Richtung der Lorentzkraft (Mittelfinger) drehen sich hingegen. So kannst du dir die Kreisbewegung vorstellen, denn dein Daumen zeigt dir ja die Bewegungsrichtung an.

Wenn die Pole des Magnetfelds getauscht werden, muss dein Zeigefinger nach unten zeigen und dementsprechend wirkt die Lorentzkraft dann auch in eine andere Richtung.

Durch die Wirkung der Lorentzkraft, die mithilfe der Drei-Finger-Regel veranschaulicht werden kann, wird das Teilchen auf der Kreisbahn gehalten. Der Beschleunigungsprozess findet allerdings zwischen den Duanten statt. Die Ladung der Duanten wird so abgewechselt, dass das Teilchen im Bereich zwischen den Duanten durch das elektrische Feld beschleunigt wird.

Zyklotron Beschleunigung elektrisches Feld StudySmarter

Abb. 5 - Wechselstromspannung der Duanten

Sobald das Teilchen aus einem der geladenen Duanten austritt, befindet es sich im elektrischen Feld zwischen den beiden Duanten. In diesem elektrischen Feld wird es beschleunigt. Das Proton wird im Feld durch den negativ geladenen Duanten angezogen und nimmt dadurch mehr Energie auf. Das Proton tritt in den negativ geladenen, gegenüberliegenden Halbkreis ein und dreht dort seine Runde, bis er wieder aus diesem austritt.

Mithilfe eines Zyklotrons können Teilchen auf ungefähr 10 % der Lichtgeschwindigkeit c beschleunigt werden. Ab dieser Geschwindigkeit würden relativistische Effekte der Massenzunahme eintreten. Daher müsste auch die Frequenz der Wechselspannung angepasst werden, da die Umlaufdauer im Zyklotron sich verändern würde.

Bei Geschwindigkeiten ab 10 % der Lichtgeschwindigkeit kann es zu relativistischen Effekten kommen. Für kleinere Geschwindigkeiten sind diese meist vernachlässigbar. Als relativistische Effekte bezeichnet man Phänomene, die nicht mehr von der klassischen Physik angemessen beschrieben werden können, sondern nur durch die Relativitätstheorie erklärbar sind.

Für höhere Geschwindigkeiten muss deshalb der Lorentz Faktor $γ$ (gamma) eingesetzt werden. Für die Masse des beschleunigten Teilchens bedeutet das:

$\begin{array}{rcl} m_{r e l} & = & m \cdot γ \\ m_{r e l} & = & m \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}} \end{array}$

Die relativistische Masse ist größer als die sogenannte Ruhemasse. Das hat einen Einfluss auf die wirkenden Kräfte und die Energie der Teilchen. Wenn dich relativistische Effekte und die Relativitätstheorie interessiert, dann schau mal bei den jeweiligen Artikeln vorbei.

Schauen wir uns nun die wichtigsten Formeln zu diesem Thema an.

Zyklotron Formeln

Die bewegten Teilchen besitzen eine kinetische Energie, verursacht durch die Beschleunigung, die die Teilchen im elektrischen Feld zwischen den Duanten des Zyklotrons erfahren. Da das geladene Teilchen mehrere Runden durch das elektrische Feld macht, wirkt das elektrische Feld auch mehrfach auf das Teilchen und beschleunigt dieses daher umso mehr. Daher wird die kinetische Energie und damit auch die Geschwindigkeit des Teilchens jede Runde größer.

Kinetische Energie der Teilchen

Die kinetische Energie E_kin nach n Durchläufen durch das E-Feld ist gleich der elektrischen Energie multipliziert mit der Anzahl n der Durchläufe.

$E_{k i n} (n) = E_{e l} \cdot n$

Die elektrische Energie wird berechnet mit:

$E_{e l} = q \cdot U$

Wenn du diese Formel in $E_{k i n}$ einsetzt, dann ergibt sich daraus:

Die Formel für die kinetische Energie des Teilchens nach n Durchläufen im Zyklotron lautet:

$E_{k i n} (n) = q \cdot U_{B} \cdot n$

q: Ladung des Teilchens

U_B: Beschleunigungsspannung

n: Anzahl der Durchläufe durch das elektrische Feld

Die Energie von Teilchen wird in der Regel in Elektronenvolt oder auch eV angegeben.

Wenn du die Energie in Elektronenvolt bzw. eV angeben willst, berechnest du die Energie zuerst in Joule bzw. J und teilst die Energie durch die Elementarladung e.

Die Geschwindigkeit des Teilchens kann auch mithilfe der Lorentzkraft berechnet werden, die im Falle des Zyklotrons, wie die Zentripetalkraft wirkt.

Geschwindigkeit und Frequenz berechnen

Die Lorentzkraft erzeugt die selbe Wirkung wie die Zentripetalkraft, um die charakteristische Kreisbahn im Zyklotron zu bezwecken. Daher kann die Lorentzkraft F_L der Zentripetalkraft F_ZP gleichgesetzt werden.

$F_{L} = F_{Z P}$

Für die Lorentzkraft setzen wir die Formel $F_{L} = q \cdot v \cdot B$ ein und für die Zentripetalkraft $F_{Z P} = \frac{m \cdot v^{2}}{r}$ und setzen dies in die Formel ein:

$q \cdot v \cdot B = \frac{m \cdot v^{2}}{r}$

Wir multiplizieren mit r und teilen durch m und v und erhalten:

$\frac{v^{2}}{v} = \frac{r \cdot q \cdot B}{m}$

Auf der linken Seite lässt sich die Geschwindigkeit v kürzen.

Die Geschwindigkeit v des Teilchens wird berechnet mit:

$v = \frac{r \cdot q \cdot B}{m}$

r: Radius der Teilchenbahn

q: Ladung des Teilchens

B: magnetische Flussdichte des Magneten

m: Masse des Teilchens

Die Geschwindigkeit des Teilchens kann auch in Abhängigkeit von der Anzahl n der Durchläufe durch das elektrische Feld der Duanten bestimmt werden. Durch den hier geltenden Energieerhaltungssatz kann die kinetische Energie mit der elektrischen Energie gleichgesetzt werden:

E_kin=E_el

Eingesetzt werden die jeweiligen Formeln mit dem Zusatz des Anzahl n der Durchläufe durch das elektrische Feld, in welchem dem Teilchen Energie hinzugefügt wird.

$\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2} = q \cdot U_{B} \cdot n | \cdot 2 | : m$

Im nächsten Schritt stellen wir die Formel um, indem wir durch die Masse m dividieren und mit 2 multiplizieren. Dann steht die Geschwindigkeit v allein auf einer Seite:

$v^{2} = \frac{2}{m} \cdot q \cdot U_{B} \cdot n | \sqrt{}$

Im nächsten Schritt musst du die Wurzel ziehen.

Um die Geschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Anzahl der Durchläufe n zu berechnen, kannst du folgende Formel verwenden:

$v = \sqrt{\frac{2}{m} \cdot q \cdot U_{B} \cdot n}$

m: Masse des Teilchens

q: Ladung des Teilchens

U_B: Beschleunigungsspannung

n: Anzahl der Durchläufe

Frequenz der Wechselstromspannung lässt sich aus der Lorentzkraft und der Zentripetalkraft berechnen. Für Kreis Geschwindigkeiten, wie sie im Zyklotron vorkommen kann, lässt sich die Geschwindigkeit auch über die Winkelgeschwindigkeit $ω$ (gesprochen "Omega") berechnen.

$v = ω \cdot r$

Die Winkelgeschwindigkeit wird berechnet mit:

$ω = 2 π \cdot r$

Die setzen wir in die oben definierte Formel für die Geschwindigkeit ein:

$2 π \cdot f \cdot r = \frac{r \cdot q \cdot B}{m} | : 2 π | : r$

Wir wollen die gesuchte Frequenz berechnen, daher stellen wir um:

$f = \frac{r \cdot q \cdot B}{2 π \cdot m \cdot r}$

Wir können den Radius r kürzen.

Die Frequenz f der Wechselspannung wird berechnet mit:

$f = \frac{q \cdot B}{2 π \cdot m}$

q: Ladung des Teilchens

B: magnetische Flussdichte

m: Masse des Teilchens

Doch wo werden Zyklotronen eingesetzt?

Zyklotron – Anwendung

Zyklotronen werden häufig zur Bestrahlung verwendet. In der Medizin werden häufig kernphysikalische Prozesse für die Diagnose und Behandlung verwendet. Es können Radionuklide für Krebstherapien erzeugt werden oder die direkte Bestrahlung eines Tumors, auch bekannt als Strahlentherapie.

Wenn du mehr zur Anwendung der Kernphysik wissen willst, schau dir gerne den Artikel dazu an.

Zyklotronen werden ebenfalls in der kernphysikalischen Forschung verwendet, um Kernreaktionen zu untersuchen, können aber auch für die Materialuntersuchung in der Industrie verwendet werden.

Zyklotron – Aufgabe

In einem Zyklotron werden Teilchen auf ca. 5 % der Lichtgeschwindigkeit beschleunigt.

Aufgabe

a) Ein Proton wird in einem Zyklotron auf 5 % der Lichtgeschwindigkeit beschleunigt. Das Magnetfeld, welches im Zyklotron wirkt, besitzt eine Feldstärke von $B = 0, 5 T$ . Berechne die Frequenz f der Wechselspannung der Duanten.

b) Berechne die kinetische Energie der Protonen, welche sie beim Austritt besitzen. Gib dein Ergebnis in eV an.

Lösung

a) Die Frequenz wird mit der zuvor ermittelten Formel für die Frequenz berechnet:

$f = \frac{q \cdot B}{2 π \cdot m}$

Wir setzen nun alle Werte ein. Für die Berechnung der Frequenz ist die Geschwindigkeit v des Teilchens irrelevant, solange die Geschwindigkeit, wie hier, kleiner als 10 % der Lichtgeschwindigkeit ist. Dafür setzen wir für die Ladung q des Teilchens die Elementarladung e ein und für die Masse verwenden wir die Masse m_P eines Protons. Die Werte dafür kannst du einer Formelsammlung entnehmen.

$f = \frac{1, 602 \cdot 10^{- 19} C \cdot 0, 5 T}{2 π \cdot 1, 67 \cdot 10^{- 27} k g}$

Jetzt alles in den Taschenrechner eingeben und du erhältst:

$f = 7633719 H z$

Die Frequenz der Beschleunigungsspannung beträgt $7, 7 M H z$ .

b) Die kinetische Energie wird klassisch berechnet mit der Formel $E_{k i n} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2}$ . Für die Geschwindigkeit v rechnen wir mit $v = 0, 05 \cdot c$ , wobei wir die Lichtgeschwindigkeit c wiederum einer Formelsammlung entnehmen können.

$E_{k i n} = \frac{1}{2} \cdot 1, 67 \cdot 10^{- 27} k g \cdot {(0, 05 \cdot 2, 99 \cdot 10^{8} \frac{m}{s})}^{2}$

Nun rechnen wir das Ergebnis aus und erhalten:

$E_{k i n} = 1, 866 \cdot 10^{- 13} J$

Nun wollen wir das Ergebnis in Elektronenvolt angeben und rechnen daher

$\frac{E_{k i n}}{e} = \frac{1, 866 \cdot 10^{- 13} J}{1, 602 \cdot 10^{- 19} C}$

Daraus ergibt sich das Ergebnis:

$E_{k i n} = 1, 16 M e V$

Das Ergebnis lautet 1,16 MeV (Mega Elektronenvolt).

Zyklotron - Das Wichtigste

Das Zyklotron ist eine Art Teilchenbeschleuniger, welcher Teilchen auf einer spiralförmigen Teilchenbahn beschleunigt.
Ein Zyklotron beschleunigt Teilchen im elektrischen Feld zwischen zwei geladenen Duanten, welche an eine Wechselspannung angeschlossen sind.
Ein Proton wird in einem Zyklotron von einem negativ geladenen Duanten angezogen und vom positiv geladenem Duanten abgestoßen.
Die Ladung der Duanten wechselt mit jedem halben Umlauf um den Zyklotron mit der Frequenz der Wechselspannung.
Die Frequenz f der Wechselspannung wird berechnet mit der Ladung q des Teilchens, der magnetischen Flussdichte B und die Masse m:

$f = \frac{q \cdot B}{2 π \cdot m}$

Ein homogenes Magnetfeld durchsetzt den Zyklotron, wodurch die Teilchen mithilfe der Lorentzkraft auf einer Kreisbahn gehalten werden.
Die Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft und kann daher gleichgesetzt werden.
Die Geschwindigkeit v eines Teilchens im Zyklotron kann berechnet werden mit dem Radius r der Teilchenbahn, der Ladung q des Teilchens, der magnetischen Flussdichte B und der Masse m:

$v = \frac{r \cdot q \cdot B}{m}$

Die kinetische Energie des Teilchens nach der Anzahl n Durchläufen durch das elektrische Feld der Duanten wird berechnet mit der Ladung q, der Beschleunigungsspannung U und der Anzahl n:

$E_{k i n} = q \cdot U \cdot n$

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Zyklotron

Was ist ein Zyklotron?

Ein Zyklotron ist eine Art Teilchenbeschleuniger, bei denen die Teilchen mittels eines Elektromagneten auf einer Kreisbahn gehalten werden.

Was beschleunigt ein Zyklotron?

In einem Zyklotron werden Teilchen, wie z.B. Protonen in einem elektrischen Feld zwischen zwei Duanten beschleunigt.

Was passiert in einem Teilchenbeschleuniger?

In einem Teilchenbeschleuniger werden Teilchen wie Elektronen oder Protonen mittels elektrischer Felder, auf sehr hohe Geschwindigkeiten beschleunigt.

Wie kann man Teilchen beschleunigen?

Teilchen können in elektrischen Feldern beschleunigt werden, da sie entweder positiv geladen (Positron) oder negativ geladen (Elektron) sind. Ladungen werden von der entgegengesetzten Ladung angezogen. Um ein Positron zu beschleunigen muss es also von einem negativ geladenem Körper angezogen werden, und umgekehrt für Elektronen.

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