Stefan Boltzmann Gesetz: Anwendung & Herleitung

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Wärmestrahlung und schwarzer Körper

Grundsätzlich strahlt jeder Körper eine gewisse Wärmestrahlung aus, die je nach Temperatur eine unterschiedliche Wellenlänge besitzt. Die Strahlungsleistung ist dabei abhängig von der Oberfläche des Körpers und der Absorptionsfähigkeit der Oberfläche.

Jeder Körper im Universum sendet Wärme in Form von elektromagnetischer Strahlung aus. In welchem Maß die Emission stattfindet, hängt von der Oberflächentemperatur, der Größe und Struktur des Körpers ab. Das Strahlungsverhalten der Wärmestrahlung hängt dabei aber nicht von dem Material des Körpers ab.

Ein Wärmestrahler ist ein Körper, der aufgrund seiner Temperatur elektromagnetische Strahlung aussendet.

Um das Modell der Wärmestrahlung beschreiben und anwenden zu können, wird das Prinzip des Schwarzen Körpers eingeführt.

Ein Schwarzer Körper oder auch Schwarzer Strahler ist ein idealisierter Körper, der die gesamte auftreffende elektromagnetische Strahlung absorbiert.

Je mehr auftreffende Strahlung vom Körper absorbiert wird, desto höher dessen die Strahlungsemission. Ein Schwarzer Körper ist deswegen ein idealer Wärmestrahler.

Möchtest Du mehr über diesen idealisierten Körper erfahren? Die Erklärung Schwarzer Körper zeigt Dir, was genau es damit auf sich hat.

Der Körper strahlt also bei höheren Temperaturen mehr Strahlungsleistung aus. Aber was ist jetzt der genaue Zusammenhang zwischen der Temperatur und der ausgestrahlten Leistung?

Stefan-Boltzmann-Gesetz Formel und Definition

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz ist ein nach den Physikern Josef Stefan und Ludwig Boltzmann benanntes Gesetz aus dem Bereich der Kernphysik.

Der Zusammenhang zwischen Strahlungsleistung und Temperatur eines idealen schwarzen Körpers, d. h. eines rein thermisch ausstrahlenden Körpers, wird durch das Stefan-Boltzmann-Gesetz beschrieben.

$P = σ \cdot A \cdot T^{4}$

Dabei beschreibt P die abgestrahlte Leistung, A die Fläche und T die Temperatur des schwarzen Körpers.

Angegeben wird die Strahlungsleistung P in Watt (W):

$[P] = 1 W = 1 \frac{k g \cdot m^{2}}{s^{3}}$

Die Größe σ ist eine Proportionalitätskonstante und bekannt als Stefan-Boltzmann-Konstante:

$σ = 5, 67 \cdot 10^{- 8} \frac{W}{m^{2} \cdot K^{4}}$

Achtung: Die Stefan-Boltzmann-Konstante ist nicht zu verwechseln mit der Boltzmann-Konstante k_B.

Experimentell fanden die beiden Physiker heraus, dass die Leistung proportional zur vierten Potenz der Temperatur ist. Aufgrund dessen verursachen selbst kleine Temperaturschwankungen große Veränderungen in der abgestrahlten Leistung. Den Verlauf der ausgesendeten Strahlungsleistung in Abhängigkeit der Temperatur findest Du in Abbildung 1 wieder.

Stefan Boltzmann Gesetz Verlauf Strahlungsleistung StudySmarter Abbildung 1: Darstellung des Stefan-Boltzmann-Gesetzes

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz wurde zwar experimentell nachgewiesen, ist jedoch auch mathematisch herleitbar.

Stefan-Boltzmann-Gesetz Herleitung

Um das Stefan-Boltzmann-Gesetz herzuleiten, werden zunächst wichtige Aspekte aus der Thermodynamik betrachtet.

Üblicherweise wird ausgehend von der Fundamentalgleichung der Thermodynamik gestartet.

Die Fundamentalgleichung der Thermodynamik gilt für ein abgeschlossenes System, das sich im Gleichgewicht befindet und ist definiert als:

$d U + p \cdot d V - T \cdot d S = 0$

Dabei beschreibt dU die Änderung der inneren Energie, dS die Entropieänderung, T die Temperatur, p den Druck und dV die Änderung vom Volumen des Systems.

Die folgende Herleitung erfordert Grundkenntnisse aus der Thermodynamik und Wärmelehre, sowie fundierte Mathematikkenntnisse aus der Integralrechnung.

Die Fundamentalgleichung formst Du zunächst nach der Änderung der inneren Energie dU um:

$d U = T \cdot d S - p \cdot d V$

Da die Fundamentalgleichung aus den totalen Differentialen dU, dS und dV besteht, erfüllt sie die Integrabilitätsbedingung. Durch partielle Ableitung von dU nach dV lässt sich die Gleichung wie folgt umschreiben:

${(\frac{\partial U}{\partial V})}_{T} = T \cdot {(\frac{\partial S}{\partial V})}_{T} - p \begin{matrix} (1) \end{matrix}$

Weiterhin gilt für den Zusammenhang zwischen der Energiedichte u(T) und dem ausgehenden Strahlungsdruck p des schwarzen Körpers:

$p = \frac{1}{3} \cdot u (T)$

Wobei u(T) durch die innere Energie U im Verhältnis steht:

$U = V \cdot u (T) \begin{matrix} (2) \end{matrix}$

Daraus folgt durch Umformung und partiellen Ableitung für die Energiedichte u(T):

$u (T) = {(\frac{\partial U}{\partial V})}_{T} \begin{matrix} (3) \end{matrix}$

Damit kann der Zusammenhang aus (3) in (1) eingesetzt und umgeformt werden:

\begin{array}{rcll} u (T) & = & \frac{1}{3} \cdot T \cdot \frac{d u (T)}{d T} - \frac{1}{3} \cdot u (T) & \cdot 3 \\ 3 \cdot u (T) & = & T \cdot \frac{d u (T)}{d T} - u (T) & + u (T) \end{array}

Anhand der Integrationsmethode Trennung von Variablen kann die Formel entsprechend umgeformt und integriert werden.

$\begin{array}{rcll} 4 \cdot u (T) & = & T \cdot \frac{d u (T)}{d T} & \div T \leftrightarrow \\ \frac{d u (T)}{u (T)} & = & 4 \cdot \frac{d T}{T} & \int \\ u (T) & = & a \cdot T^{4} \end{array}$

Anschließend wird die Energiedichte u(T) in die innere Energie U in (2) eingesetzt und es folgt für die Gesamtenergie der Strahlung:

$U = a \cdot T^{4} \cdot V$

Die Proportionalitätskonstante a, die heute als Stefan-Boltzmann-Konstante σ bekannt ist, wurde nachfolgend experimentell bestimmt.

Die Herleitung gilt jedoch nur für ideale Schwarze Körper. Durch eine Anpassung der Formel lassen sich aber auch Nicht-Schwarze Körper beschreiben.

Emissionsgrad und Nicht-Schwarze Körper

Ein Nicht-Schwarzer Körper absorbiert die einfallende Strahlung nicht vollständig, sondern reflektiert diese auch teilweise. Falls ein Nicht-Schwarzer Körper einen richtungsunabhängigen Emissionsgrad ε(T) besitzt, der für alle Frequenzen denselben konstanten Wert liefert, lässt sich dessen Strahlungsleistung ähnlich bestimmen.

Ein richtungsunabhängiger Wärmestrahler mit dem Emissionsgrad ε(T), auch Nicht-Schwarzer Körper genannt, wird als Lambert-Strahler bezeichnet. Sollte dessen Emissionsgrad für jede Frequenz gleich sein, so kann die Strahlungsleistung wie folgt bestimmt werden:

$P = ε (T) \cdot σ \cdot A \cdot T^{4}$

Der Emissionsgrad ε(T) beschreibt, wie viel Strahlung er im Vergleich zu einem Schwarzen Körper, also einem idealen Wärmestrahler, emittiert.

Ein idealer Schwarzer Körper hat folglich einen Emissionsgrad von ε = 1.

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz lässt sich also für praktisch jeden Körper im Raum anwenden. Doch existieren auch praktische Beispiele für eine Anwendung des Gesetzes?

Stefan-Boltzmann-Gesetz Anwendung

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz findet beispielhaft Anwendung bei der Bestimmung der Oberflächentemperatur gewisser Himmelskörper.

Stefan-Boltzmann-Gesetz Sonne

Die Sonne ist ein Beispiel für die Anwendung. Durch die Annahme der Sonne als kugelförmiger schwarzer Körper lässt sich unter anderem ihre Oberflächentemperatur bestimmen. Experimentell wurde herausgefunden, dass die Sonne beinahe wie ein schwarzer Körper ausstrahlt.

Die Annahme vereinfacht die Berechnung, da dafür nun das Stefan-Boltzmann-Gesetz verwendet werden kann.

Um die Temperatur zu bestimmen, muss zunächst das Stefan-Boltzmann-Gesetz nach T umgeformt werden:

$\begin{array}{rcll} P & = & σ \cdot A \cdot T^{4} & \div σ \\ \frac{P}{σ} & = & A \cdot T^{4} & \div A \\ T^{4} & = & \frac{P}{σ \cdot A} & \sqrt[4]{} \\ T & = & \sqrt[4]{\frac{P}{σ \cdot A}} \end{array}$

Die Oberfläche A der Sonne lässt sich mithilfe der Flächenformel $A = 4 \cdot π \cdot r^{2}$ und dem dazugehörigen Sonnenradius $r = 6, 963 \cdot 10^{8} m$ berechnen. Die hier benötigte Strahlungsleistung P der Sonne sei $P_{S} = 3, 846 \cdot 10^{26} W$ .

Wie die Strahlungsleistung genau definiert ist, sowie alles rund ums Thema Sonne findest Du in der entsprechenden Erklärung.

Durch Einsetzen von P_S anstatt P in das Stefan-Boltzmann-Gesetz kann anschließend die Oberflächentemperatur der Sonne berechnet werden:

$T = \sqrt[4]{\frac{3, 846 \cdot 10^{26} W}{5, 67 \cdot 10^{- 8} \frac{W}{m^{2} K^{4}} \cdot 4 π \cdot (6, 963 \cdot 10^{8} m^{2})}} \approx 5776 K$

5776 K ist also die Oberflächentemperatur der Sonne. Aber kann das Stefan-Boltzmann-Gesetz auch für unsere Erde angewandt werden?

Stefan-Boltzmann-Gesetz Erde

Tatsächlich lassen sich mit dem Stefan-Boltzmann-Gesetz nicht nur Temperaturen von Sternen oder anderen Planeten bestimmen. Auch lässt sich die Temperatur unserer Erde anhand des Zusammenhangs bestimmen.

Es ist bereits bekannt, dass die mittlere Temperatur der Erde bei ca. 14 °C liegt. Aber die Ursache dafür, dass eine solche Temperatur erreicht wird, ist der Treibhauseffekt. Der Treibhauseffekt entsteht infolge der Atmosphäre unserer Erde.

Sie lässt zwar die kurzwellige Strahlung der Sonne durch, jedoch ist es schwieriger für die Strahlung der Erde durch die Atmosphäre hindurch zu gelangen. Die von der Erde ausgesendete Strahlung kann die Erdatmosphäre nicht vollständig verlassen und wird teilweise wieder an die Oberfläche reflektiert.

Mit dem Treibhauseffekt wird hier der natürliche Treibhauseffekt beschrieben. Der menschengemachte Treibhauseffekt, der mit der stetigen Erhöhung der Erdtemperatur in Verbindung steht, wird hier nicht eingerechnet.

Jetzt stellt sich jedoch die Frage, wie warm unsere Erde wäre, wenn sie keine Atmosphäre hätte. Die Temperatur der Erde ohne schützende Atmosphäre lässt sich ebenso mit dem Stefan-Boltzmann-Gesetz berechnen.

Die Erdatmosphäre hat den Effekt, dass 30 % der einfallenden Sonnenstrahlung S auf der Erde sofort reflektiert werden. Da die Erde ansonsten keiner anderen starken Strahlung ausgesetzt ist, trifft somit 70 % der einfallenden Sonnenstrahlung S auf.

S ist die Solarkonstante $S = 1367 \frac{W}{m^{2}}$ . Sie gibt an, wie viel Strahlungsleistung der Sonne pro Quadratmeter auf die Atmosphäre der Erde treffen.

Somit gilt mithilfe der Querschnittsfläche A_Q der Erde mit dem Erdradius $r_{E} = 6, 371 \cdot 10^{6} m$ für die Strahlungsleistung P_E der Erde:

$\begin{array}{rcl} P_{E} & = & 0, 7 \cdot A_{Q} \cdot S \\ = & 0, 7 \cdot π \cdot {r_{E}}^{2} \cdot S \\ = & 0, 7 \cdot π \cdot {(6, 371 \cdot 10^{6} m)}^{2} \cdot 1367 \frac{W}{m^{2}} \\ = & 1, 22 \cdot 10^{17} W \end{array}$

Im Abschnitt Sonne wurde das Stefan-Boltzmann-Gesetz bereits nach der Temperatur T umgestellt:

$T = \sqrt[4]{\frac{P_{E}}{σ \cdot A_{O}}}$

Durch Einsetzen von P_Eund nun der Gesamtoberfläche der Erde mit $A_{O} = 4 \cdot π \cdot {r_{E}}^{2}$ lässt sich die Temperatur T berechnen:

$\begin{array}{rcl} T & = & \sqrt[4]{\frac{1, 22 \cdot 10^{17} W}{5, 67 \cdot 10^{- 8} \frac{W}{m^{2} \cdot K^{4}} \cdot 4 \cdot π \cdot {(6, 371 \cdot 10^{6} m)}^{2}}} \\ \approx & 254, 86 K = - 18, 3 ° C \end{array}$

Daraus folgt für die Durchschnittstemperatur der Erde $T = - 18, 3 ° C$ , wenn es keinen Treibhauseffekt gäbe, der einen Teil der Strahlung, der auf die Erde trifft, zurück auf die Erde reflektiert. Die Durchschnittstemperatur unterhalb der Erdatmosphäre mit dem Treibhauseffekt beträgt in Wirklichkeit 14 °C.

Der Treibhauseffekt sorgt also dafür, dass die von der Sonne ankommende Wärme in der Atmosphäre bleibt. Folglich wäre kein Leben auf der Erde möglich, wenn es den Treibhauseffekt nicht gäbe.

Stefan Boltzmann Gesetz - Das Wichtigste

Der Zusammenhang zwischen Strahlungsleistung und Temperatur eines idealen schwarzen Körpers, d. h. eines rein thermisch ausstrahlenden Körpers, wird durch das Stefan-Boltzmann-Gesetz beschrieben:

$P = σ \cdot A \cdot T^{4}$

Ein Schwarzer Körper oder auch Schwarzer Strahler ist ein idealisiertes Objekt, das die gesamte auf die Oberfläche auftreffende Strahlung absorbiert. Das Strahlungsverhalten der Wärmestrahlung hängt dabei aber nicht von dem Material des Körpers ab.
Falls ein Nicht-Schwarzer Körper einen richtungsunabhängigen Emissionsgrad ε(T) besitzt, der für alle Frequenzen denselben konstanten Wert liefert, lässt sich dessen Strahlungsleistung bestimmen:

$P = ε (T) \cdot σ \cdot A \cdot T^{4}$

Durch Annahme der Sonne als kugelförmiger, schwarzer Körper lässt sich unter anderem ihre Oberflächentemperatur bestimmen.
Die Durchschnittstemperatur der Erde lässt sich ebenso anhand des Stefan-Boltzmann-Gesetzes berechnen.

Nachweise

Peter Ackermann et al. (2014). Fokus Physik S2. Cornelsen
Duden Physik für Gymnasium Sekundarstufe 2 (2003). Duden Paetec.
Max Planck. The theory of heat radiation (1988). American Institute of Physics.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Stefan Boltzmann Gesetz

Wie lautet das Stefan Boltzmann Gesetz?

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz lautet: P = σ * A * T^4.

Dabei beschreibt P die abgestrahlte Leistung, A die Fläche und T die Temperatur des schwarzen Körpers. Die Größe σ ist eine Proportionalitätskonstante und bekannt als die Stefan-Boltzmann-Konstante.

Was sind Beispiele für das Stefan-Boltzmann-Gesetz?

Mit dem Stefan-Boltzmann-Gesetz lässt sich die Oberflächentemperatur der Sonne, ebenso wie die Durchschnittstemperatur der Erde, sowohl mit als auch ohne den Treibhauseffekt, bestimmen.

Wie leite ich das Stefan-Boltzmann-Gesetz her?

Herleiten lässt sich das Stefan-Boltzmann-Gesetz ausgehend von der Fundamentalgleichung der Thermodynamik.

Was ist das Stefan-Boltzmann-Gesetz einfach erklärt?

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen ausgestrahlter Leistung und Temperatur eines idealen schwarzen Körpers.

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