Zerfallsgesetz: Herleitung & Formel

Springe zu einem wichtigen Kapitel

Zerfallsgesetz – Radioaktivität

Die unsichtbare Gefahr. Mit den menschlichen Sinnen nicht wahrnehmbar. Die Radioaktivität wurde zufällig entdeckt und zählt bis heute zu den wichtigsten und spannendsten Teilgebieten der Physik.

Radioaktiver Zerfall

Was genau ist eigentlich Radioaktivität und was macht sie so gefährlich?

Radioaktivität beschreibt die Eigenschaft instabiler Atomkerne, die ohne jegliche äußere Einflüsse zerfallen oder sich in andere stabilere Kerne umwandeln. Hierbei wird spontan ionisierende Strahlung ausgesandt und diese Eigenschaft macht das Ganze so gefährlich.

Ionisierende Strahlen können durch Materie in Organismen gelangen und dort aufgrund ihrer hohen Energie schwere Schäden verursachen. Im menschlichen Körper kann die Radioaktivität zum Beispiel die DNA beschädigen und verändern.

Die spontane Umwandlung radioaktiver Atomkerne wird radioaktiver Zerfall genannt und für genau diese Umwandlung nutzt du das Zerfallsgesetz.

Radioaktiver Zerfall ist das Zerfallen instabiler Atomkerne ohne äußere Einwirkung. Bei der Umwandlung wird die entstandene Energie in Form von Strahlung emittiert. Wann welche Kerne zerfallen, kannst du nicht vorhersagen. Dies geschieht komplett spontan.

Beim radioaktiven Zerfall entsteht also radioaktive Strahlung. Je nach Strahlungsart wird hierbei zwischen drei verschiedenen Strahlenarten unterschieden.

Strahlenarten

Es gibt drei verschiedene Arten radioaktiver Strahlung: Alphastrahlung, Betastrahlung und Gammastrahlung.

Alphastrahlung besteht aus Heliumkernen, das heißt, aus Kernen, die zwei Protonen und zwei Neutronen enthalten.

Hierbei sind die Teilchen positiv geladen und sie sind in der Lage, andere Atome zu ionisieren.

Alphastrahlung wird aber schon von einem Blatt Papier absorbiert.

Betastrahlung besteht aus Elektronen oder Positronen (das Antiteilchen des Elektrons). Letzteres ist jedoch eher selten der Fall.

Die Ionisationsfähigkeit der Betastrahlung ist ebenfalls stark, jedoch kleiner als die der Alphastrahlung. Sie wird durch normale Kleidung absorbiert.

Gammastrahlung ist eine elektromagnetische Strahlung mit extrem hoher Energie. Sie ist in der Lage, Atome zu ionisieren.

Ihre Wellenlänge ist etwa zehnmal kleiner als die der Röntgenstrahlung und sie ist in der Lage, dicke Materieschichten zu durchdringen.

Doch wie wurde die Radioaktive Strahlung überhaupt entdeckt?

Nachdem Wilhelm Conrad Röntgen im Jahr 1895 die nach ihm benannten Röntgenstrahlen entdeckt hatte, fokussierte er sich auf die Erforschung und Untersuchung von Strahlung, die Materie durchdringen kann. Um eine solche Strahlung zu erzeugen, wird eine enorm große Menge an Energie benötigt.

Umso erstaunter war im Jahr 1896 Antoine Henri Becquerel, als er eine Fotoplatte aus einer dunklen Schublade zog und geschwärzt vorfand, wobei lediglich ein Körper aus Uransalz auf besagter Platte gelegen hatte. Während Becquerel daraufhin versuchte, die Natur der neuen Strahlung zu erklären und verstehen, gelang es Marie Curie und ihrem Mann Pierre Curie, mehrere radioaktive Elemente, Polonium und Radium, zu entdecken.

Instabile Kerne kommen in der Natur vor – in dem Fall wird von der natürlichen Radioaktivität gesprochen. Es handelt sich um künstliche Radioaktivität, wenn die instabilen Kerne durch Kernreaktionen oder Kernspaltungen künstlich erzeugt werden.

Zerfallsgesetz

Angenommen, dass du eine radioaktive Substanz betrachtest.

Wegen der Spontanität des Zerfalls ist es nicht möglich, vorherzusagen, zu welchem Zeitpunkt welcher Kern eines radioaktiven Stoffes zerfällt. Du wunderst dich jetzt vielleicht, wie es uns gelingen kann, Aussagen über den radioaktiven Zerfall zu treffen, wenn dieser zufällig passiert.

Betrachtest du jedoch eine ausreichend große Menge von Atomen, so kannst du Beobachtungen über den zeitlichen Verlauf der Gesamtheit der Kerne machen. Um den zeitlichen Verlauf eines radioaktiven Zerfalls beschreiben zu können, brauchst du das sogenannte Zerfallsgesetz.

Doch wie genau erhältst du das Zerfallsgesetz und was bedeutet es?

Zerfallsgesetz – Herleitung

Es gilt: die Anzahl der Zerfälle $dN$ , die in einer Zeitspanne $dt$ in einem Präparat mit $N$ Atomkernen stattfinden, ist proportional zur Anzahl $N$ der vorhandenen Atomkerne und der Zeitspanne $dt$ .

Somit gilt:

$dN = - λ \cdot N \cdot dt$

Wichtig ist hier, das Minuszeichen zu berücksichtigen. Es sagt dir, dass die Anzahl der noch nicht zerfallenen Atomkerne mit der Zeit abnimmt. Ohne Minus handelt es sich um ein exponentielles Wachstum.

Auf beiden Seiten der Gleichung wird nun ein Integral angewandt und schon erhältst du nach dem Integrieren das radioaktive Zerfallsgesetz:

Mit dem radioaktiven Zerfallsgesetz bestimmst du die Anzahl der nicht zerfallenen Atomkerne, indem du die Zerfallskonstante mit der Zeit verrechnest:

$N (t) = N_{0} \cdot e^{- λ \cdot t}$

$N (t) :$ Anzahl der nicht zerfallenen Atomkerne zu einer beliebigen Zeit $t$
$N_{0} :$ Anzahl der nicht zerfallenen Atomkerne zur Zeit $t = 0$
$e : Eulersche Zahl (\approx 2, 71828 . . .)$
$λ : Zerfallskonstante$ , gibt an, wie schnell gewisse Elemente zerfallen
$t : Zeit$

Du siehst, dass die Zahl der nicht zerfallenen Atomkerne exponentiell mit der Zeit abnimmt.

Zerfallsgesetz Exponentieller Abfall der Anzahl N noch nicht zerfallener Kerne StudySmarter

Abb. 1 - Exponentieller Abfall der Anzahl N noch nicht zerfallener Kerne in Abhängigkeit von der Zeit t

Anstelle der Zerfallskonstante wird oftmals mit der sich daraus ableitenden Halbwertszeit gearbeitet.

Zerfallsgesetz – Halbwertszeit

Die Halbwertszeit hilft dir, herauszufinden, wie lange eine radioaktive Substanz noch strahlen wird. Hierbei variiert die Halbwertszeit in Abhängigkeit vom beobachteten Nuklid.

Die Halbwertszeit gibt an, nach welcher Zeit die Hälfte der vorher vorhandenen Atomkerne zerfallen sind.

Zerfallsgesetz radioaktives Zerfallsgesetz Halbwertszeit StudySmarter Zerfallsgesetz Exponentieller Abfall der Anzahl N noch nicht zerfallener Kerne StudySmarter

Die Spanne der Halbwertszeiten von radioaktiven Isotopen reicht von einem Bruchteil einer Sekunde bis hin zu vielen Milliarden Jahren.

Polonium-212 hat eine Halbwertszeit von etwa 0,3 μs,

Iod-131 von etwa 8 Tagen,

und Uran-238 hat eine Halbwertszeit von über 4 Milliarden Jahren.

Es ist wichtig, dir eines klar zu machen:

Nach 4 Milliarden Jahren ist das Uran-238 nicht verschwunden – die Anzahl der ursprünglich vorhandenen Atomkerne hat sich lediglich halbiert.

Die Halbwertszeit ist der Grund, warum die Sperrzone um das Kernkraftwerk Tschernobyl auch nach über 35 Jahren immer noch besteht. Die radioaktiven Isotope haben teilweise eine extrem hohe Halbwertszeit und machen das Gebiet um das Atomkraftwerk im Umkreis von mehreren Kilometern unbewohnbar. Das wird sich in den nächsten Jahrzehnten auch nicht ändern.

Alles, was du jetzt noch brauchst, ist die Formel zur Berechnung der Halbwertszeit. Diese wird dir noch mehr verdeutlichen, wie die Halbwertszeit mit dem Zerfallsgesetz zusammenhängt.

Herleitung der Halbwertszeit

Wie bereits erklärt, ist die Halbwertszeit der Zeitraum, in dem eine abfallende Größe auf die Hälfte des Anfangswerts abgefallen ist. Beim radioaktiven Zerfall ist die Halbwertszeit die Zeit, in der nur noch $\frac{N_{0}}{2}$ Atomkerne nicht zerfallen sind. Die Halbwertszeit lässt sich mithilfe des Zerfallsgesetzes und der Zerfallskonstante herleiten:

Du nimmst an, dass sich bei einem Zerfall die Menge $N (t)$ der Atomkerne mit der Zerfallskonstante $λ$ verringert. Es ergibt sich also die dir bekannte Differentialgleichung, die den Vorgang des Zerfalls beschreibt:

$\frac{dN (t)}{dt} = - λ \cdot N (t)$

Die Lösung dieser Differentialgleichung ist eine Exponentialfunktion. Damit ergibt sich die Formel für das Zerfallsgesetz:

$N (t) = N_{0} \cdot e^{- λ \cdot t}$

Die Halbwertszeit ist die Zeit $T_{\frac{1}{2}}$ , nach der nur noch die Hälfte der Substanz vorhanden ist. Es gilt also:

$N (T_{\frac{1}{2}}) = \frac{N_{0}}{2}$

Du erhältst durch Einsetzen der dir bekannten Formeln und Angaben die Formel für die Halbwertszeit:

Mit der Halbwertszeit berechnest du den Zeitraum, in dem die Hälfte der vorhandenen Atomkerne zerfällt:

T_{\frac{1}{2}} = \frac{\ln (2)}{λ}

$T_{\frac{1}{2}} :$ Halbwertszeit
$\ln (x) :$ natürlicher Logarithmus
$λ :$ Zerfallskonstante des Nuklids

Es handelt sich bei der Halbwertszeit um eine gewöhnliche Zeitangabe. Die Einheit ist also die Sekunde (s).

Im Umkehrschluss gilt dann natürlich für die Zerfallskonstante:

Die Zerfallskonstante gibt an, welcher Anteil nicht zerfallener Atomkerne in einer radioaktiven Substanz in der nächsten Sekunde im Durchschnitt zerfallen wird:

$λ = \frac{\ln (2)}{T_{\frac{1}{2}}}$

$\ln (x)$ : Natürlicher Logarithmus
$T_{\frac{1}{2}}$ : Halbwertszeit
$λ :$ Zerfallskonstante des Nuklids

Die Zerfallskonstante eines Stoffes steht im Zusammenhang mit der Halbwertszeit. Die Maßeinheit der Zerfallskonstante ist $\frac{1}{s}$ .

Die Halbwertszeit ist von äußeren Bedingungen (sprich Druck, Temperatur) unabhängig, das heißt, befindet sich ein radioaktives Präparat in einer Druckkammer oder ihm wird Wärme zugeführt, wird die Halbwertszeit nicht verkürzt oder verlängert, sie bleibt gleich.

Beispielaufgabe zur Berechnung der Halbwertszeit

Um das Verständnis von der Halbwertszeit noch ein wenig mehr zu vertiefen, folgt hier eine Beispielaufgabe zur Berechnung ebendieser.

Aufgabe 1

Das Isotop Tritium ${}_{1}^{3}H$ hat eine Halbwertszeit von $12, 33 a .$

Nimm an, dass eine radioaktive Substanz $2 μg$ dieses Isotops enthält.

In $2 μg$ befinden sich $N_{0} = 4, 02 \cdot 10^{17}$ Kerne.

Berechne die Anzahl der ${}_{1}^{3}H$ Kerne, die in den ersten beiden Stunden zerfallen.

Lösung

Die Kernanzahl $N_{0} = 4, 02 \cdot 10^{17}$ und die Zeit $t = 2, 0 h$ sind bereits vorgegeben.

Um das Zerfallsgesetz anwenden zu können, benötigst du noch die Halbwertszeit $T_{\frac{1}{2}}$ , gegeben in Stunden. Du weißt bereits, dass Tritium eine Halbwertszeit von 12,33 Jahren hat. Um die Halbwertszeit in Stunden zu erhalten, multiplizierst du die gegebenen 12,33 Jahre zuerst einmal mit 356.

$T_{\frac{1}{2}} = 12, 33 a \cdot 365 Tage = 4500, 45 Tage$

Nun gehst du noch einen Schritt und multiplizierst die neue Zeitangabe mit 24 h, so erhältst du die Halbwertszeit in Stunden:

$4500, 45 Tage \cdot 24 h = 108.010, 8 h$

Nun hast du alles, was du benötigst, um das Zerfallsgesetz anzuwenden:

$N (t) = N_{0} \cdot e^{- \frac{\ln (2)}{T_{\frac{1}{2}}} \cdot t}$

Die Anzahl $∆ N$ der in den ersten zwei Stunden zerfallenen Kerne berechnest du, indem du vom Anfangsbestand $N_{0}$ den Wert $N (t)$ abziehst:

$∆ N = N_{0} - N (t) = N_{0} - N_{0} \cdot e^{- \frac{\ln (2)}{T_{\frac{1}{2}}} \cdot t}$

Um diese Gleichung zu vereinfachen, kannst du $N_{0}$ ausklammern:

$∆ N = N_{0} \cdot (1 - e^{- \frac{\ln (2)}{T_{\frac{1}{2}}} \cdot t})$

Nun setzt du einfach alle gegebenen Werte ein:

$∆ N = 4, 02 \cdot 10^{17} \cdot (1 - e^{- \frac{\ln (2)}{108010, 8 h} \cdot 2 h}) = 3, 1 \cdot 10^{13}$

In den ersten beiden Stunden zerfallen also $3, 1 \cdot 10^{13}$ Tritium-Kerne.

Das Zerfallsgesetz und die Halbwertszeit sind jedoch nicht die einzigen Angaben eines radioaktiven Stoffes, die von großer Wichtigkeit sind, wenn es darum geht, Informationen über die Radionuklide zu erhalten.

Zerfallsgesetz – Aktivität

Eine weitere Größe, die relevant für den radioaktiven Zerfall ist, ist die sogenannte Aktivität. Mit ihr kannst du feststellen und beschreiben, wie "stark" eine Strahlungsquelle ist.

Die Aktivität ist ein Maß für die Zerfallsrate eines Radionuklids, sprich die Zahl der Zerfälle pro Zeiteinheit.

Die Einheit der Aktivität und somit auch der Radioaktive ist das Becquerel (Bq), benannt nach dem französischen Physiker Antoine Henri Becquerel.

Hierbei ist 1Bq = 1 Zerfall pro Sekunde.

Zerfallsgesetz radioaktives Zerfallsgesetz StudySmarter Abb. 3 - Exponentieller Abfall der Aktivität A eines radioaktiven Stoffes.

Der Aufbau der Gleichung ähnelt stark der des Zerfallsgesetzes und auch die beiden Graphen sind gleich.

Auch hier fällt der Graph und damit auch die Aktivität exponentiell, eine weitere Verdeutlichung, dass die Aktivität ebenfalls von der Halbwertszeit des beobachteten radioaktiven Stoffes abhängt.

Die Aktivität gibt die Anzahl der Zerfälle N pro Zeit t an:

$A (t) = A_{0} \cdot e^{- λ \cdot t}$

$A (t) :$ Aktivität des radioaktiven Stoffes zu einer beliebigen Zeit t
$A_{0} :$ Aktivität des radioaktiven Stoffes zur Zeit $t = 0$
$e : Eulersche Zahl (\approx 2, 71828 . . .)$
$λ :$ Zerfallskonstante des Nuklids
$t :$ Zeit

Die Aktivität A eines radioaktiven Stoffes sinkt ausgehend von einem Ursprungswert $A_{0}$ exponentiell mit der Zeit $t$ ab.

Jetzt hast du alle nötigen Gleichungen, um das Zerfallsgesetz und das Aktivitätsgesetz noch ein wenig verständlicher darzustellen.

Hierzu setzt du einfach die Gleichung

λ = \frac{\ln (2)}{T_{\frac{1}{2}}}

in beide dir bekannten Gleichungen ein.

Warum? Die Halbwertszeit ist vom jeweiligen Nuklid abhängig. Substanzen aus verschiedenen radioaktiven Nukliden haben in der Regel eine Vielzahl von verschiedenen Halbwertszeiten.

Um Zerfälle und Zeiten berechnen zu können, erweiterst du sowohl das Zerfallsgesetz als auch das Aktivitätsgesetz mit der Formel der Zerfallskonstante $λ$ .

Es ergibt sich für das Zerfallsgesetz:

Das Zerfallsgesetz gibt die Anzahl der nicht zerfallenen Atomkerne an, indem du die Zerfallskonstante mit der Zeit verrechnest:

$N (t) = N_{0} \cdot e^{- \frac{\ln (2)}{T_{\frac{1}{2}}} \cdot t}$

$N (t) :$ Anzahl der noch nicht zerfallenen Atomkerne zu einer beliebigen Zeit t
$N_{0} :$ Anzahl der noch nicht zerfallenen Atomkerne zur Zeit $t = 0$
$e : Eulersche Zahl (\approx 2, 71828 . . .)$
$\ln (x) :$ natürlicher Logarithmus
$T_{\frac{1}{2}} :$ Halbwertszeit
t : Zeit

Diese Formel verdeutlicht den Zusammenhang von Zerfallskonstante $λ$ und Halbwertszeit $T_{\frac{1}{2}}$ .

und für das Aktivitätsgesetz:

Mit der Aktivität bestimmst du die Anzahl der Kernzerfälle pro Zeiteinheit.

$A (t) = A_{0} \cdot e^{- \frac{\ln (2)}{T_{\frac{1}{2}}} \cdot t}$

$A (t) :$ Aktivität des radioaktiven Stoffes zu einer beliebigen Zeit t
$A_{0} :$ Aktivität des radioaktiven Stoffes zur Zeit $t = 0$
$e :$ Eulersche Zahl $(\approx 2, 71828 . . .)$
$\ln (x) :$ Natürlicher Logarithmus
$T_{\frac{1}{2}} :$ Halbwertszeit
$t :$ Zeit

Die Aktivität eines radioaktiven Stoffes steht ebenfalls im engen Zusammenhang mit Halbwertszeit $T_{\frac{1}{2}}$ .

Mit diesen Formeln kannst du im Gegensatz zu den vorherigen Formeln explizit Zerfälle oder Aktivitäten verschiedenster radioaktiver Nuklide berechnen.

Beispielaufgabe zur Berechnung der Aktivität

Auch hier hilft es, das Verständnis der Formeln mithilfe einer Beispielaufgabe zu stärken.

Aufgabe 2

Die Anzahl der in zwei Stunden zerfallenen Tritium-Kerne ist $∆ N = 3, 1 \cdot 10^{13}$ .

Berechne nun die Aktivität der Substanz während der ersten beiden Stunden.

Verwende weiterhin alle gegebenen Werte, auch die aus der vorherigen Aufgabe.

Lösung

Bei einer Halbwertszeit von $12, 33 a$ kannst du davon ausgehen, dass sich die Aktivität der Substanz während der ersten beiden Stunden nicht ändert, das heißt, du kannst die Aktivität wie folgt berechnen:

$A = \frac{∆ N}{∆ t}$ .

Auch hier musst du die 2 Stunden aus der Aufgabenstellung umrechnen, diesmal in Sekunden:

$∆ t = 2 h \cdot 60 Minuten = 12 Minuten = 12 Minuten \cdot 60 Sekunden = 7200 Sekunden$ .

Einfaches Einsetzen in die Formel liefert:

$A = \frac{3, 01 \cdot 10^{13}}{7200 s} = 4, 3 \cdot 10^{9} Bq = 4300 MBq$ .

Die Aktivität des radioaktiven Stoffes beträgt in den ersten zwei Stunden $4300 MBq$ .

Um die Zahl etwas anschaulicher zu machen: In den ersten beiden Stunden zerfallen über 4 Milliarden Kerne.

Was du tun musst, wenn in Aufgaben oder Texten keine absolute, sondern prozentuale Zahlenwerte gegeben sind, erfährst du jetzt.

Aktivität und Zerfall in Prozent

In vielen Situationen sind für die Anzahl N oder die Aktivität A keine absoluten Zahlenwerte gegeben, sondern ausschließlich Prozentzahlen. In dem Fall ändern sich die dir bekannten Formeln wie folgt ab:

$p % (t) = 100 % \cdot e^{- λ \cdot t}$

beziehungsweise die Formel:

λ = \frac{\ln (2)}{T_{\frac{1}{2}}}

Die absoluten Angaben aus dem Zerfallsgesetz werden lediglich durch prozentuale Angaben

ersetzt.

$p % (t) = 100 % \cdot e^{- \frac{\ln (2)}{T_{\frac{1}{2}}} \cdot t}$

$p % (t) :$ Prozentualer Anteil des radioaktiven Stoffes zur Zeit t
$e :$ Eulersche Zahl $(\approx 2, 71828 . . .)$
$\ln (x) :$ Natürlicher Logarithmus
$T_{\frac{1}{2}} :$ Halbwertszeit
$t :$ Zeit

Der Zusammenhang zwischen Zerfall und Halbwertszeit $T_{\frac{1}{2}}$ bleibt weiterhin bestehen.

Beispiel zu Prozentrechnungen

Zum Verständnis folgt hier noch einmal eine Aufgabe zum Rechnen mit prozentualen Angaben.

Berechne, welcher Prozentsatz der ${}_{1}^{3}H$ Atome nach 15 Jahren zerfallen ist. Nutze auch hier alle dir bekannten Angaben aus den vorherigen Aufgaben.

Lösung

Mit der Halbwertszeit $T_{\frac{1}{2}} = 12, 33 a$ und $t = 15 a$ berechnet sich der Prozentsatz der Atomkerne, die nach 15 Jahren noch nicht zerfallen sind, wie folgt:

$p % (t) = 100 % \cdot e^{- \frac{\ln (2)}{T_{\frac{1}{2}}} \cdot t}$

Einsetzen der Werte $T_{\frac{1}{2}} = 12, 33 a$ und $t = 15 a$ liefert nun:

$p % (t) = 100 % \cdot e^{- \frac{\ln (2)}{12, 33 a} \cdot 15 a} = 43, 03 % .$

Damit sind also nach 15 Jahren 100% - 43,03% = 56,97% der Atomkerne zerfallen.

Mit solchen Rechnungen wird zum Beispiel im Fall Tschernobyl berechnet, wie viel Prozent des radioaktiven Materials zerfallen ist und wie lange das Kraftwerk noch gefährlich strahlt. Anstatt den prozentualen Anteil der noch vorhandenen Atomkerne zu berechnen, kannst du auch den prozentualen Anteil der Aktivität zu einem bestimmten Zeitpunkt berechnen.

Beispiel zur Berechnung des prozentualen Anteils der Aktivität

Aufgabe 3

Berechne nun, wie lange du mindestens warten musst, bis die Aktivität unter 7,0% der Anfangsaktivität abgesunken ist.

Lösung

Mit den Werten $p % (t) = 7 %$ und $T_{\frac{1}{2}} = 12, 33 a$ berechnet sich die Zeit t mit des Zerfallsgesetzes:

$p % (t) = 100 % \cdot e^{- \frac{\ln (2)}{T_{\frac{1}{2}}} \cdot t}$ .

Nun wird auf beiden Seiten der Logarithmus angewandt und anschließend nach der Zeit t umgestellt:

$\ln (\frac{p % (t)}{100 %}) = - \frac{\ln (2)}{T_{\frac{1}{2}}} \cdot t t = - \frac{\ln (\frac{p % (t)}{100 %}) \cdot T_{\frac{1}{2}}}{\ln (2)} .$

Setze nun erneut die dir bekannten Werte $p % (t) = 7 %$ und $T_{\frac{1}{2}} = 12, 33 a$ ein:

$t = - \frac{\ln (\frac{7, 0 %}{100 %}) \cdot 12, 33 a}{\ln (2)} = 74, 3 a$ .

Du musst also mindestens 75 Jahre warten, bis die Aktivität unter 7% der Anfangsaktivität abgesunken ist.

Zerfallsgesetz - Das Wichtigste

Das Zerfallsgesetz ist im Gegensatz zu vielen anderen physikalischen Gesetzen ein statistisches beziehungsweise stochastisches Gesetz. Das bedeutet, es lässt lediglich eine Aussage über eine Gesamtheit von Atomkernen treffen.
Das Zerfallsgesetz beschreibt die zeitliche Entwicklung der Anzahl noch nicht zerfallener Atomkerne eines radioaktiven Stoffes.
Die Formel für das radioaktive Zerfallsgesetz lautet: ⁣ $N (t) = N_{0} \cdot e^{- λ \cdot t}$ , hierbei ist $λ$ die sogenannte Zerfallskonstante.
Die sogenannte Aktivität ist ein Maß für die Zerfallsrate eines radioaktiven Stoffes.
Für die Aktivität A eines radioaktiven Stoffes zum Zeitpunkt t gilt $A (t) = A_{0} \cdot e^{- λ \cdot t} = λ \cdot N_{0} \cdot e^{- λ \cdot t}$ .
Die Halbwertszeit beschreibt die Zeitspanne, innerhalb deren die Hälfte der radioaktiven Atomkerne zerfallen.
Welche Kerne in dieser Zeit zerfallen, wird durch das Zerfallsgesetz nicht erfasst. Es macht keine Aussage über einen einzelnen Atomkern.
Zwischen Halbwertszeit $T_{\frac{1}{2}}$ und Zerfallskonstante $λ$ besteht der Zusammenhang: $λ = \frac{\ln (2)}{T_{\frac{1}{2}}}$ .
Nicht immer ist die Menge der Radionuklide in absoluten Zahlen angegeben, dann muss mit Prozentsätzen gerechnet werden: $p % (t) = 100 % \cdot e^{- \frac{\ln (2)}{T_{\frac{1}{2}}} \cdot t}$ .

Mit E-Mail registrieren

Du hast bereits ein Konto? Anmelden

Häufig gestellte Fragen zum Thema Zerfallsgesetz

Wie liest man die Halbwertszeit ab?

Die Halbwertszeit lässt sich leicht aus einem Diagramm ablesen. Man sucht den Zeitpunkt auf der x-Achse, bei dem die Anzahl der anfangs vorhandenen Kerne auf die Hälfte abgenommen hat.

Wie hängt die Halbwertszeit mit der Aktivität eines Nuklids zusammen?

Der Zusammenhang zwischen der Aktivität und der Halbwertszeit eines Nuklids sieht wie folgt aus: je kürzer die Halbwertszeit des Nuklids, desto größer ist bei einer vorhandenen Menge einer radioaktiven Substanz die Aktivität.

Umgekehrt gilt dann:

Je kleiner die Aktivität, desto länger ist die Halbwertszeit des Nuklids.

Der Zusammenhang zwischen Aktivität und Halbwertszeit ist umgekehrt proportional.

Was versteht man unter Zerfallsreihe in Physik?

Der nach einem radioaktiven Zerfall entstandene Kern ist häufig erneut radioaktiv und der auf den nächsten Zerfall folgende ebenfalls.

So entstehen ganze Ketten von radioaktiven Kernen. Diese Kette nennt man Zerfallsreihe.

Was ist das Zerfallsgesetz?

Das Zerfallsgesetz ist eine Gleichung, die angibt, wie eine anfangs vorhandene Anzahl von radioaktiven Atomkernen in Abhängigkeit von der Zeit zerfällt.

Der Zerfall steht hierbei in Zusammenhang mit der sogenannten Zerfallskonstante, welche wiederum durch die Halbwertszeit eines Stoffes bestimmt wird.

Erklärung speichern

Entdecke Lernmaterialien mit der kostenlosen StudySmarter App

Kostenlos anmelden

Über StudySmarter

StudySmarter ist ein weltweit anerkanntes Bildungstechnologie-Unternehmen, das eine ganzheitliche Lernplattform für Schüler und Studenten aller Altersstufen und Bildungsniveaus bietet. Unsere Plattform unterstützt das Lernen in einer breiten Palette von Fächern, einschließlich MINT, Sozialwissenschaften und Sprachen, und hilft den Schülern auch, weltweit verschiedene Tests und Prüfungen wie GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur und mehr erfolgreich zu meistern. Wir bieten eine umfangreiche Bibliothek von Lernmaterialien, einschließlich interaktiver Karteikarten, umfassender Lehrbuchlösungen und detaillierter Erklärungen. Die fortschrittliche Technologie und Werkzeuge, die wir zur Verfügung stellen, helfen Schülern, ihre eigenen Lernmaterialien zu erstellen. Die Inhalte von StudySmarter sind nicht nur von Experten geprüft, sondern werden auch regelmäßig aktualisiert, um Genauigkeit und Relevanz zu gewährleisten.

Erfahre mehr

StudySmarter Redaktionsteam

Team Physik Lehrer

15 Minuten Lesezeit
Geprüft vom StudySmarter Redaktionsteam

Erklärung speichern

Zerfallsgesetz

StudySmarter Redaktionsteam

Zerfallsgesetz – Radioaktivität

Radioaktiver Zerfall

Strahlenarten

Zerfallsgesetz

Zerfallsgesetz – Herleitung

Zerfallsgesetz – Halbwertszeit

Herleitung der Halbwertszeit

Beispielaufgabe zur Berechnung der Halbwertszeit

Zerfallsgesetz – Aktivität

Beispielaufgabe zur Berechnung der Aktivität

Aktivität und Zerfall in Prozent

Beispiel zu Prozentrechnungen

Beispiel zur Berechnung des prozentualen Anteils der Aktivität

Zerfallsgesetz - Das Wichtigste

Lerne schneller mit den 0 Karteikarten zu Zerfallsgesetz

Häufig gestellte Fragen zum Thema Zerfallsgesetz

Entdecke Lernmaterialien mit der kostenlosen StudySmarter App

Über StudySmarter

StudySmarter Redaktionsteam

Lerne jederzeit. Lerne überall. Auf allen Geräten.

Unternehmen

Produkt

Hilfe

Zerfallsgesetz

StudySmarter Redaktionsteam

Zerfallsgesetz – Radioaktivität

Radioaktiver Zerfall

Strahlenarten

Zerfallsgesetz

Zerfallsgesetz – Herleitung

Zerfallsgesetz – Halbwertszeit

Herleitung der Halbwertszeit

Beispielaufgabe zur Berechnung der Halbwertszeit

Zerfallsgesetz – Aktivität

Beispielaufgabe zur Berechnung der Aktivität

Aktivität und Zerfall in Prozent

Beispiel zu Prozentrechnungen

Beispiel zur Berechnung des prozentualen Anteils der Aktivität

Zerfallsgesetz - Das Wichtigste

Lerne schneller mit den 0 Karteikarten zu Zerfallsgesetz

Häufig gestellte Fragen zum Thema Zerfallsgesetz

Entdecke Lernmaterialien mit der kostenlosen StudySmarter App

Über StudySmarter

StudySmarter Redaktionsteam

Lerne jederzeit. Lerne überall. Auf allen Geräten.

Erstelle ein kostenloses Konto, um diese Erklärung zu speichern.

Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!