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Gesetz des Archimedes – Auftrieb
Der griechische Mathematiker und Physiker Archimedes entdeckte, dass Körper in einer Flüssigkeit oder einem Gas eine Kraft erfahren, die nach oben wirkt.
Das Gesetz des Archimedes besagt, dass in Flüssigkeit oder in Gasen schwimmende oder schwebende Körper eine nach oben gerichtete Kraft erfahren. Dies ist die sogenannte Auftriebskraft. Der Betrag dieser Kraft ist abhängig von der Dichte des verdrängten Mediums (gesprochen "Rho"), dem Volumen des Körpers und der wirkenden Fallbeschleunigung g auf den Körper:
: Dichte in
: Volumen des Körpers in
: Ortsfaktor bzw. Fallbeschleunigung in
Wenn ein Körper in ein Medium eintritt, egal ob es eine Flüssigkeit wie Wasser oder ein Gas bzw. Gasgemisch wie Luft ist, verdrängt dieser Körper das Medium, um sich Platz zu verschaffen. Hier ein kleines Beispiel dazu.
Stell dir vor, du hast eine kleine Kugel und einen Behälter voller Wasser.
Abb. 1: Wasserbehälter und eine Kugel
Wenn die Kugel in das Wasser eintritt, verdrängt die Kugel Wasser, und der Wasserstand erhöht sich.
Abb. 2: Erhöhter Wasserstand mit Kugel im Wasser
Durch den Eintritt der Kugel mit dem Volumen im Wasser, verdrängt die Kugel dasselbe Volumen an Wasser . Der Wasserstand steigt demnach an. Dabei gilt, dass das Volumen des verdrängten Wassers gleich dem Volumen der Kugel ist.
Daraus lässt sich für die Verdrängung in einem Medium folgende Gesetzmäßigkeit aufstellen:
Das von einem Körper verdrängte Volumen in einem Medium, ist gleich dem Volumen des Körpers selbst.
Wenn eine Kugel sich in einem Medium, wie im vorherigen Beispiel Wasser, befindet, wirkt auch die eigene Gewichtskraft auf die Kugel.
Nur wenn die Auftriebskraft gleich der Gewichtskraft ist, schwimmt/schwebt der Körper im Medium. Wenn dieses Kräftegleichgewicht gilt, dann steigt oder sinkt der Körper nicht mehr.
Abb. 3: Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft des Körpers
Wenn die Gewichtskraft größer ist als die Auftriebskraft, dann sinkt bzw. fällt der Körper im Medium, abgebremst durch die Auftriebskraft zu Boden.
Doch wie kommt es dazu, dass wir dieses Kräftegleichgewicht bilden können?
Die Auftriebskraft ist also bei einem Kräftegleichgewicht gleich der Gewichtskraft. Wenn wir uns nun nochmal die Formel aus dem Gesetz des Archimedes anschauen fällt etwas auf:
Um die Masse eines Körpers zu berechnen, verwenden wir auch häufig die Formel:
Wir multiplizieren also die Dichte mit dem Volumen.
Wenn wir das jetzt wieder in die Auftriebskraftformel einsetzen, erhalten wir:
Diese Formel sollte dir bekannt vorkommen, denn sie ist auch die Formel für die Gewichtskraft , und so schließt sich der Kreis:
Mehr zur Gewichtskraft findest du übrigens in dem zugehörigen Artikel. Die Masse des verdrängten Mediums ist, im Fall des Kräftegleichgewichts, gleich der Masse des Körpers im Medium.
Die Auftriebskraft, die auf einen schwimmenden/ schwebenden Körper wirkt, ist gleich der auf den Körper wirkenden Gewichtskraft.
Auftriebskraft – Wasser
Was entscheidet denn nun, ob ein Körper auf dem Wasser schwimmt oder ob der Körper untergeht? Das vom Körper verdrängte Wasservolumen muss entweichen und wirkt entgegen der Gewichtskraft des Körpers als Auftriebskraft.
Wenn nun diese nach oben gerichtete Kraft genauso groß ist wie die nach unten wirkende Gewichtskraft, dann gleichen sich die Kräfte aus und der Körper schwimmt auf dem Wasser. Wenn die Schwerkraft allerdings größer ist als die Auftriebskraft, dann sinkt der Körper.
Die Auftriebskraft in einem ruhenden Medium wird statischer Auftrieb genannt. Wasser gilt als ruhendes Medium, daher ist hier die Rede vom statischen Auftrieb.
Schauer wir uns das mal an ein paar verständlichen Beispielen an:
Wir lassen einen Stein ins Wasser sinken. Es fällt auf, dass dieser sofort zu Boden sinkt.
Abb. 4: Stein fällt in Wasser
Das Gewicht vom Stein ist größer als das Gewicht vom verdrängten Wasser. Die Gewichtskraft ist also größer als die Auftriebskraft. Der Stein schwimmt dementsprechend nicht auf dem Wasser, sondern sinkt sofort zu Boden.
Wenn wir das jetzt Qualitativ begründen wollen können wir uns die Kräfte und den Stein und das Wasser genauer anschauen:
Das Gesetz des Archimedes besagt:
und die Gewichtskraft wird berechnet mit:
Nehmen wir nun für dieses Beispiel an, dass der Stein ein Volumen von und eine Dichte von und das Wasser eine Dichte von . (
Wir setzen einmal ein:
Und erhalten:
Berechnen wir nun die Gewichtskraft des Steines, indem wir zuerst die Masse berechnen mit und errechnen:
Für die Masse des Steins erhalten wir:
Wir berechnen die Gewichtskraft des Steins:
und erhalten als Ergebnis:
Demnach gilt
.
Wie erwartet ist die Gewichtskraft deutlich größer als die entgegenwirkende Auftriebskraft, weshalb der Stein auch zu Boden sinkt.
Ein Schiff ist allerdings im Vergleich zu einem Stein deutlich schwerer. Dennoch geht ein Schiff auf dem Wasser nicht unter, sondern es schwimmt.
Abbildung 5: Containerschiff auf dem WasserQuelle: pixabay.com
Ein Schiff kann dann auf dem Wasser schwimmen, wenn es so viel Wasser verdrängen kann, wie es selber wiegt. Schiffe werden nicht aus massivem Stahl oder ähnlichen gebaut und besitzen einen großen Hohlraum. Durch die Größe des Schiffs, ist das Volumen so groß, dass das Schiff eine große Menge Wasser verdrängt, und dadurch eine hohe Auftriebskraft wirkt.
Abb. 6: Kräftegleichgewicht bei einem Schiff
Durch eine schwerere Last auf dem Schiff verändert sich nur wie tief das Schiff im Wasser liegt. Bei einem höheren Gewicht sinkt das Schiff leicht, bei einer kleineren Last steigt das Schiff leicht nach oben.
Die Masse des unter Wasser liegenden Teils des Schiffes muss gleich dem Gewicht des verdrängten Wassers sein.
Für die Dichte eines Körpers gilt
Mehr zum Thema Dichte findest du auch im entsprechenden Artikel. Ein Schiff muss, um nicht unterzugehen also eine geringere Dichte als das verdrängte Wasser haben. Das Volumen von einem Schiff muss also so groß sein, dass gilt:
Allerdings gibt es ja auch nicht nur den statischen Auftrieb im Wasser, sondern auch den dynamischen Auftrieb, der dafür sorgt, dass Flugzeuge fliegen können.
Dynamischer Auftrieb - Strömungsauftrieb
Der Strömungsauftrieb, oder auch dynamischer Auftrieb ist die Basis für das fliegen. Flugzeuge nutzen ihre Flügel um den nötigen Auftrieb zu schaffen, um zu starten und in der Luft fliegen zu können. Die Tragflächen werden von der Luft umströmt und die Luft wird nach unten entlang geleitet und beschleunigt.
Abb. 7: dynamischer Auftrieb an einer Tragfläche
Die umströmende Luft wird von der Tragfläche nach unten beschleunigt. Diese nach unten gerichtete Strömung sorgt für einen dynamischen Auftrieb durch die nach unten verdrängte Luft. Der Auftrieb ist dabei abhängig von der Fläche die gegen die Strömung steht. Je steiler die Tragflächen nach unten gerichtet sind, desto größer die wirkende Fläche der Tragflächen.
Der dynamische Auftrieb wird berechnet mit der Formel:
: Auftriebsbeiwert ohne Einheit (Kenngröße für die Umströmung eines Körpers)
: Dichte des Mediums
: Geschwindigkeit des Körpers im Medium
: Fläche des Körpers (z. B. Tragfläche eines Flugzeugs)
Zum dynamischen Auftrieb gibt es auch die gegenwirkende Kraft des dynamischen Abtriebs für eine nach unten wirkende Kraft.
Die Abtriebskraft wird beispielsweise bei der Formel 1 verwendet um sicherzustellen, dass die Rennwagen auch bei hohen Geschwindigkeit auf den Boden gedrückt werden und nicht abheben. Dazu wird das Prinzip der Tragflächen umgekehrt und die Front- und Heckflügel sollen die umströmende Luft nach oben beschleunigen.
Abb. 8: Abtrieb eines Formel 1 Autos durch Front- und Heckflügel
Die Front- und Heckflügel sorgen für eine Abtriebskraft um die Autos auf der Strecke zu halten. Es hilft dabei nicht von der Strecke abzuheben und an Traktion zu verlieren
In der Schule ist allerdings meistens vom statischen Auftrieb die Rede, denn der dynamische Auftrieb wird meist in der Strömungslehre und fortgeschrittenen Mechanik unterrichtet. Schauen wir uns noch ein Beispiel zum statischen Auftrieb an.
Auftrieb – Aufgabe
Schauen wir uns zum Abschluss noch eine Aufgabe zum Auftrieb an.
Aufgabe:
Eine Kugel wird in eine beliebige Flüssigkeit eingetaucht. Die Kugel besitzt ein Volumen und erfährt durch die verdrängte Flüssigkeit eine Auftriebskraft . Berechne die Dichte der Flüssigkeit.
Tipp: Verwende für den Ortsfaktor g die Erdbeschleunigung
Lösung:
Um die Aufgabe nun zu lösen wollen wir zuerst die Masse der verdrängten Flüssigkeit berechnen. Sobald die gesamte Kugel unter Wasser ist, gilt die Gleichheit von Gewichtskraft und Auftriebskraft .
Daher können wir für die Gewichtskraft den Betrag der Auftriebskraft einsetzen.
Stellen wir zunächst nach der Masse m um.
Jetzt berechnen wir die Masse:
Jetzt kennst du die Masse der verdrängten Flüssigkeit. Außerdem weißt du, dass das Volumen der Kugel gleich dem Volumen der verdrängten Flüssigkeit ist. Für die Dichte eines Stoffes gibt es ebenfalls eine Formel:
Bevor wir nun unsere Werte einsetzen, rechnen wir die Einheiten noch einmal um, um handlichere Werte zu erhalten:
Wir setzen nun die Werte in die Formel ein und erhalten als Ergebnis:
Die Dichte der gesuchten Flüssigkeit beträgt .
Auftrieb - Das Wichtigste
- Ein Körper der sich in Flüssigkeiten oder Gasen befindet, erfährt eine nach oben gerichtete Kraft.
- Der Körper verdrängt das Medium, welches gegen diesen Körper drückt und sorgt für die gegenwirkende Auftriebskraft.
- Das vom Körper verdrängte Volumen ist gleich dem Volumen des Körpers selber.
- Die Auftriebskraft wird nach dem Gesetz des Archimedes berechnet mit der Formel , die Dichte des Mediums wird multipliziert mit dem verdrängten Volumen V und dem Ortsfaktor der Fallbeschleunigung g.
- Wenn die Auftriebskraft kleiner ist als die Gewichtskraft, sinkt der Körper. Wenn Auftriebskraft und Gewichtskraft gleich sind, dann schwimmt/ schwebt der Körper.
- Schiffe schwimmen, da sie trotz ihrer großen Masse ein so großes Volumen an Wasser verdrängen, dass die Auftriebskraft groß genug ist, um der Gewichtskraft entgegenzuwirken.
- In ruhenden Flüssigkeiten und Gasen wird der Auftrieb als statischer Auftrieb bezeichnet.
- Wenn sich der Körper durch das Medium bewegt, wirkt ein dynamischer Auftrieb, wie zum Beispiel bei Flugzeugen die fliegen.
- Der dynamische Auftrieb wird durch folgende Formel berechnet:
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Auftrieb
Was ist der Auftrieb in der Luft?
Der Auftrieb in der Luft ist die verdrängte Luft, die bei einer Bewegung eine Auftriebskraft verursacht. Fallschirmspringer*innen erfahren neben der eigenen Gewichtskraft und Luftwiderstandskraft auch noch eine Auftriebskraft durch die von ihnen verdrängte Luft.
Wie berechnet man den Auftrieb?
Der Auftrieb wird Mithilfe des Gesetzes von Archimedes berechnet. Die Dichte "rho" des Mediums wird mit dem Volumen V des verdrängenden Körpers und dem wirkenden Ortsfaktor g multipliziert.
Was versteht man unter dem Begriff Auftrieb?
Unter dem Begriff Auftrieb versteht man die durch das verdrängte Medium wirkende Kraft, welche entgegen der Gewichtskraft auf den Körper wirkt.
Wie nennt man den Auftrieb im Wasser?
Beim Auftrieb im Wasser handelt es sich um den statischen Auftrieb.
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