Bewegungsgleichungen: Aufstellen & Beispiel

Q: Welche Gesetze gelten für den freien Fall?

Es gilt die Fallgeschleunigung ' g ', die dadurch wirkende Gewichtskraft F g, sowie die durch Luftreibung entgegengesetzte Kraft ' F r ' .

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Im folgenden Artikel wirst Du lernen, was die Bewegungsgleichungen aussagen, wie Du sie aufstellst und wie Du mit ihnen rechnen kannst.

Bewegungsgleichungen Physik

Die ersten Ideen der Bewegungsgleichungen in der Mechanik gehen auf Isaac Newton zurück. Er erkannte schon damals, dass jede Bewegung eine Kraft erfordert und dass zwischen verschiedenen Bewegungsarten unterschieden werden muss, welche dann mathematisch beschrieben werden können. Genauer handelt es sich dabei um Gleichungen, welche die räumliche Änderung eines Körpers in Abhängigkeit von der Zeit beschreiben.

Eine gleichförmige Bewegung liegt vor, wenn die Geschwindigkeit konstant gehalten wird, die Beschleunigung ist demnach 0.

Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung liegt vor, wenn die Geschwindigkeit nicht konstant bleibt – beispielsweise, wenn ein Auto zum Überholen ansetzt und Gas gibt.

Auch wenn ein Auto bremst, handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, allerdings wäre in der Rechnung die Beschleunigung in diesem Fall negativ.

Es ist wichtig zu wissen, dass Bewegungen auch abhängig von der Richtung der einzelnen wirkenden Kräfte und Variablen – der Geschwindigkeit und der Beschleunigung – sind.

Damit Du Bewegungen jeglicher Art berechnen kannst, benötigst Du die Bewegungsgleichungen. Aber was sind die Bewegungsgleichungen, wie kannst Du sie aufstellen und welche Informationen enthalten sie?

Die Bewegungsgleichungen in der klassischen Physik beschreiben die Bewegung eines Körpers im Raum, in Abhängigkeit von der Zeit.

Es wird zwischen den drei klassischen Bewegungsgleichungen unterschieden. Um eine Bewegung vollständig beschreiben zu können, benötigst Du zu einem beliebigen Zeitpunkt jeweils die Geschwindigkeit, den bereits zurückgelegten Weg und die Beschleunigung. Mithilfe des Weg-, Geschwindigkeit- oder Beschleunigung-Zeit-Gesetzes kannst Du die Bewegung eines Körpers bei gegebenen Informationen berechnen.

Bewegungsgleichungen beschleunigte Bewegung

Ein Flugzeug, das nach Mallorca fliegt, oder die Straßenbahn, mit der Du zur Schule fährst – beide haben gemeinsam, dass ihr Weg durch das Weg-Zeit-Gesetz beschreiben werden kann.

Das Weg-Zeit-Gesetz gibt an, welche Strecke s bei gegebener Beschleunigung, Geschwindigkeit und Zeit

zurückgelegt wird. Dabei ist s₀ die bereits am Anfang zurückgelegte Strecke, a die Beschleunigung, v₀ die Anfangsgeschwindigkeit und t die Zeit. Die Formel dazu lautet:

s (t) = \frac{a \cdot t^{2}}{2} + v_{0} \cdot t + s_{0}

Mit dem Weg-Zeit-Gesetz kannst Du nun die Strecke ausrechnen, die ein Körper nach einer bestimmten Zeit zurücklegt. Veranschaulichen kannst Du Funktionen immer, wenn Du ihren Graphen zeichnest. Die Weg-Funktion sieht folgendermaßen aus (im Falle einer konstanten Beschleunigung):

Der zurückgelegte Weg wird mit der Zeit exponentiell größer. Das siehst Du auch an dem Quadrat der Zeit in der Weg-Funktion.

Wie kannst Du jetzt die Geschwindigkeit bestimmen, die ein Körper zu einem Zeitpunkt t hat?

Mit dem Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz kommst Du bei gegebener Beschleunigung und

Anfangsgeschwindigkeit an die Geschwindigkeit, welche zu einer bestimmten Zeit erreicht wird.

Die Formel dazu lautet:

$v (t) = \frac{d s}{d t} = a \cdot t + v_{0}$

v=Geschwindigkeit, s=Wegstrecke, a=Beschleunigung, v₀=Anfangsgeschwindigkeit

Sie ergibt sich demnach aus der Ableitung der Funktion des Weges nach der Zeit.

Die Geschwindigkeit ergibt sich aus dem Produkt der Zeit und Beschleunigung. Im Falle einer Geschwindigkeit v₀,mit der sich ein Körper bereits zum Zeitpunkt t=0 bewegt, muss diese noch dazu addiert werden. Der Verlauf des entsprechenden v-t-Diagramms sieht folgendermaßen aus:

Die Geschwindigkeit wird mit der Zeit linear größer.

Willst Du die Beschleunigung berechnen, leitest Du dieses Mal die Geschwindigkeit nach der Zeit ab. Damit erhältst Du das Beschleunigung-Zeit-Gesetz.

Das Beschleunigung-Zeit-Gesetz weist einem Körper die wirkende Beschleunigung zu.

$a (t) = \frac{d v}{d t} = a$

a=Beschleunigung, v=Geschwindigkeit, t=Zeit

Für a setzt Du entsprechend die Funktion oder den Wert der Beschleunigung ein. In den allermeisten Fällen ist diese konstant oder 0. Die Beschleunigung erhältst Du auch über die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit v(t). Das entsprechende a-t-Diagramm sieht dann so aus:

Die Beschleunigung ist konstant und wird mit einer Geraden ohne Steigung dargestellt.

Wenn Du die Gleichungen jeweils aus der Ableitung erhältst, kannst Du sie auch genauso gut in entgegengesetzte Richtung durch Integration bestimmen. Aber wie kannst Du die Bewegungsgleichungen mithilfe von Integration herleiten und warum funktioniert das wie ein Kreislauf?

Die Gleichungen lassen sich auch über Integration herleiten. In diesem Fall fängst Du bei der Beschleunigung an und integrierst diese Funktion ein Mal für die Geschwindigkeit und zweimal für den Weg:

$a (t) = \frac{d v}{d t} = a$

Einmal integriert ergibt die Beschleunigungsfunktion die Funktion der Geschwindigkeit:

$v (t) = \int a (t) d t = a \cdot t + v_{0}$

Zweimal integriert (oder einmal die Geschwindigkeitsfunktion integriert, mathematisch ist das identisch) ergibt die Beschleunigungsfunktion die Funktion des Weges:

$s (t) = \int v d t = \frac{a \cdot t^{2}}{2} + v_{0} \cdot t + s_{0}$

Die sogenannten Randbedingungen v₀ und s₀ beschreiben den Anfangszustand von Geschwindigkeit und Weg zum Zeitpunkt t=0. Allerdings sind diese in vielen Aufgaben gleich 0 und ersparen Dir Rechenarbeit. Lies also immer genau die Aufgabenstellungen durch.

Fällt Dir etwas auf?

Der Weg ist das Ziel.

Konfuzius

Wie Konfuzius einst schon erkannte, ist der Weg das Ziel, in diesem Fall nach dem Integrieren. Du kannst Dir die drei Funktionen wie eine Leiter vorstellen, wenn Du nach oben willst, musst Du integrieren. Wenn Du nach unten willst, musst Du ableiten. Damit Du es Dir besser vorstellen kannst, schau Dir folgendes Schaubild an:

Beschleunigte Bewegungen können viele Formen annehmen, ein startendes Flugzeug, eine Kugel, die bergab rollt oder ein Fallschirmsprung. Bei einem Sprung aus dem Flugzeug handelt es sich um einen freien Fall. Wann aber liegt ein freier Fall vor und welche Kräfte wirken dabei auf einen Körper?

Bewegungsgleichungen: Spezialfall freier Fall

Wusstest Du, dass Satelliten in jeder Sekunde zur Erde zurückfallen? Nur weil sie sich so schnell bewegen, dass durch die Krümmung der Erde dieser Fall ausgeglichen wird, bleiben sie konstant im Orbit. Dennoch befinden sie sich in einem freien Fall.

Der freie Fall liegt dann vor, wenn auf einen Körper lediglich die Gewichtskraft wirkt.

Durch die Gewichtskraft wird ein Körper konstant zum Erdmittelpunkt hin beschleunigt.

$F = m \cdot g$

Werden alle Reibungsverluste vernachlässigt, fällt jeder Körper im Schwerefeld der Erde unabhängig von der Masse gleich schnell, da die Fallbeschleunigung identisch ist. Im realen Fall bremst die Luftreibung maßgeblich den Fall, deswegen fallen schwere Körper aufgrund der größeren Massenträgheit schneller als leichte Körper.

In einem von der Nasa durchgeführten Versuch wird das sehr anschaulich visualisiert. Eine Feder und eine Bowlingkugel werden im Vakuum gleichzeitig fallen gelassen und treffen zeitgleich am Boden auf:

Wenn Du mehr darüber erfahren willst, schau Dir dazu die Erklärung „Der freie Fall" an, dort findest Du weitere Beispiele und auch Berechnungen.

Bewegungsgleichungen aufstellen

Allgemein formuliert ist die Lösung der Bewegungsgleichung die Trajektorie.

Die Trajektorie wird auch Bahnkurve oder Weg genannt und entspricht dem örtlichen Verlauf der Raumkurve, auf dem sich ein Körper bewegt.

Eine Bewegung setzt voraus, dass auf einen Körper eine Kraft wirkt. Aus diesem Grund lässt sich eine allgemeine Form der Bewegungsgleichung beschreiben. Diese lautet:

$\frac{d \vec{p}}{d t} = m \cdot \vec{a} = \sum_{i} {\vec{F}}_{i}$

Die Summe aller Einzelkräfte auf einen Körper entspricht demnach dem Produkt der Masse des Körpers mit dem Beschleunigungsvektor. Die Lösung dieser Gleichung ist das Weg-Zeit-Gesetz bzw. die entsprechende Trajektorie. Du kannst mehr zu dem Thema in der Erklärung über Newtonsche Gesetze erfahren.

Bewegungsgleichungen Aufgaben

Damit es nicht nur bei der Theorie bleibt, erhältst Du jetzt dazu eine Beispielrechnung mit einem realistischen Szenario:

Aufgabe 1

Zwei Reisebusse befahren die 900 lange Strecke zwischen zwei Städten und . Morgens fährt der erste Bus von nach mit konstanten $v = 108 \frac{k m}{h}$ . Zur gleichen Zeit startet der andere Bus von in Richtung . Er fährt mit derselben Geschwindigkeit.

Wieviel Zeit vergeht, bis die Busse sich begegnen?

Lösung

Im ersten Schritt sammelst Du alle Informationen aus dem Text und schreibst sie Dir auf. Wichtig hierbei ist, dass Du die richtigen Einheiten (SI-Einheiten) verwendest.

Die Busse bewegen sich mit gleicher, konstanter Geschwindigkeit und in entgegengesetzter Richtung, daher treffen sie sich in der Mitte, also auf halber Strecke.

$s = \frac{900 k m}{2} = 450.000 m$

Die Geschwindigkeiten werden häufig in der Einheit km/h angegeben. Für die Berechnungen verwendest Du aber stets SI-Einheiten, in dem Fall also m/s. Um das umzurechnen, setzt Du für km 1000 m ein und für h (in Stunden) 3600 Sekunden (entspricht den Sekunden in einer Stunde). Es handelt sich um eine gleichförmige Bewegung, da die Beschleunigung 0 ist, also folgt für die Geschwindigkeit:

$\begin{array}{rcl} v & = & v_{0} \\ v & = & 108 \frac{k m}{h} \\ v & = & 108 \cdot \frac{1000 m}{3600 s} \\ v & = & 30 \frac{m}{s} \end{array}$

Nun bleibt nur noch, die Formel für s(t) nach t umstellen und für s einsetzen:

$\begin{array}{rcl} 450.000 m & = & \frac{a \cdot t^{2}}{2} + v_{0} \cdot t + s_{0} \\ = & \frac{0 \cdot t^{2}}{2} + v_{0} \cdot t + 0 \\ = & v_{0} \cdot t \end{array}$

Die Busse werden nicht beschleunigt, die Beschleunigung ist a=0, ebenso wie der zu Beginn zurückgelegte Weg $s_{0} = 0$ . Nun teilen wir die linke Seite durch v₀:

$\begin{array}{rcl} \frac{450.000 m}{30 \frac{m}{s}} & = & t \div 30 \frac{m}{s} \\ t & = & 15.000 s = 250 m i n \end{array}$

Damit lautet die Antwort, dass sich die Busse nach 250 Minuten begegnen.

In dem Thema der Bewegungsgleichungen kannst Du nur durch viel Übung eine Routine erlangen. Wie berechnest Du in einem anderen Beispiel die Strecke s?

Aufgabe 2

Ein Rennwagen beschleunigt aus dem Stand in $t = 10 s$ auf $v = 100 \frac{k m}{h}$ . Wie groß ist die zurückgelegte Strecke?

Lösung

Im ersten Schritt rechnen wir die Geschwindigkeit wieder in eine SI-Einheit um.

$v = 100 \frac{k m}{h} = 100 \cdot \frac{1000 m}{3600 s} \approx 28 \frac{m}{s}$

Die Anfangsgeschwindigkeit ist $v_{0} = 0$ ebenso wie die Strecke $s_{0} = 0$ , da das Auto aus dem Stand startet. Gesucht ist die Strecke, also benötigst Du die Weg-Zeit-Funktion:

$\begin{array}{rcl} s & = & \frac{a \cdot t^{2}}{2} + v_{0} \cdot t + s \\ = & \frac{a \cdot t^{2}}{2} + 0 \cdot t + 0 \\ = & \frac{a \cdot t^{2}}{2} \end{array}$

Wie Du bemerkt hast, benötigst Du zum Rechnen die Beschleunigung, es handelt sich demnach um eine beschleunigte Bewegung. In der Aufgabenstellung ist aber auch die Endgeschwindigkeit angegeben, diese setzt Du einfach in die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion ein und löst nach a auf.

$\begin{array}{rcl} v & = & a \cdot t + v_{0} \\ v & = & a \cdot t + 0 \\ v & = & a \cdot t \leftrightarrow \\ a & = & \frac{v}{t} = \frac{28 \frac{m}{s}}{10 s} = 2.8 \frac{m}{s^{2}} \end{array}$

Jetzt hast Du alle nötigen Informationen und kannst in die Weg-Zeit-Funktion einsetzen:

$\begin{array}{rcl} s & = & \frac{a \cdot t^{2}}{2} \\ = & \frac{2, 8 \frac{m}{s^{2}} \cdot 10^{2} s^{2}}{2} \\ = & 140 m \end{array}$

Somit lautet die Antwort, dass der Rennwagen nach der Beschleunigung eine Strecke von 140 m zurückgelegt hat.

Eine weitere Art von Bewegung ist die harmonische Schwingung. Wie kannst Du harmonische Schwingungen beschreiben und berechnen?

Bewegungsgleichung Beispiel

Eine besondere Art von Bewegung stellt die harmonische Schwingung dar.

Eine harmonische Schwingung entspricht einer Bewegung, dessen Weg-Zeit-Funktion durch eine Sinus- oder Kosinusfunktion beschrieben werden kann. Ist die Schwingung ungedämpft, handelt es sich um eine gleichmäßige Schwingung. Die Schwingungsgleichung ergibt sich als Differenzialgleichung 2. Ordnung in Kombination mit dem 2. Newtonschen Grundgesetz:

$F = - D \cdot s = m \cdot a$

F=Federkraft, D=Federkonstante, m=Masse, a=Beschleunigung, s=Weg

Die Beschleunigung ergibt sich aus der 2. Ableitung des Weges nach der Zeit. Setzt Du dies ein und bringst alle Variablen auf eine Seite, erhältst Du die finale Schwingungsgleichung:

$0 = m \cdot \frac{d^{2} s}{d t^{2}} + D \cdot s$

Wie Dir vielleicht schon aufgefallen ist, sind die Prinzipien und Grundgedanken bei allen Bewegungsarten genau gleich. Die Ableitung des Weges nach der Zeit ergibt stets die Geschwindigkeit und die Beschleunigung erhältst Du durch die zweite Ableitung.

Aber wie genau stellst Du damit die Bewegungsgleichungen der harmonischen Schwingung auf?

Harmonische Schwingung Bewegungsgleichungen

Die harmonische Schwingung kann, wie eine normale Bewegung auch, durch drei Bewegungsgleichungen beschrieben werden.

Mithilfe einer Lösung der Schwingungsgleichung kannst Du den Weg s(t) berechnen, den ein schwingender Körper innerhalb einer bestimmten Zeit zurücklegt. Sie bildet sich aus dem Produkt der Amplitude s₀ mit dem Sinus, wobei innerhalb der Klammer die Kreisfrequenz ω mit der Zeit multipliziert und anschließend noch der Phasenwinkel ϕ₀ zum Zeitpunkt t=0 addiert wird:

$s (t) = s_{0} \cdot s i n (ω \cdot t + ϕ_{0})$

Den Sinus verwendest Du, wenn zum Zeitpunkt der minimalen Auslenkung die Messung startet. Startest Du bei der maximalen Auslenkung, verwendest Du den Cosinus.

Die in der Schwingungsgleichung dargestellten Größen kannst Du der folgenden Abbildung entnehmen:

Die Funktion der Geschwindigkeit und Beschleunigung ergibt sich jeweils aus der ersten bzw. zweiten Ableitung der Schwingungsgleichung nach der Zeit, also genau gleich zu einer normalen Bewegung:

Die Geschwindigkeit eines schwingenden Körpers wird beschrieben durch:

$v (t) = \frac{d s}{d t} = ω \cdot s_{0} \cdot c o s (ω \cdot t + ϕ_{0})$

v=Geschwindigkeit, s₀=Amplitude, t=Zeit, ω=Kreisfrequenz, ϕ₀=Phasenwinkel zum Zeitpunkt 0

Nach der Kettenregel bleibt die Klammer stehen, da nach der Zeit t abgeleitet wird. Lediglich der Sinus und das Innere der Klammer werden abgeleitet und die innere Ableitung wird als Produkt davor geschrieben. Die Änderung zur Wegfunktion besteht darin, dass aus dem Sinus der Cosinus geworden ist und Du noch die Kreisfrequenz als Produkt davor schreibst. Nun die letzte Ableitung, welche Dir die Funktion der Beschleunigung liefert:

Die Beschleunigungsfunktion einer harmonischen Schwingung:

$a (t) = \frac{d v}{d t} = - ω^{2} \cdot s_{0} \cdot s i n (ω \cdot t + ϕ_{0})$

a=Beschleunigung, s₀=Amplitude, t=Zeit, ω=Kreisfrequenz, ϕ₀=Phasenwinkel zum Zeitpunkt 0

Wie bereits bei der Geschwindigkeit leiten wir das innere der Klammer, sowie den Cosinus ab und schreiben die innere Ableitung noch als Produkt vorne an. Die Kreisfrequenz wird erneut multipliziert, das negative Vorzeichen ergibt sich durch die Ableitung des Cosinus. Das sieht dann veranschaulicht so aus:

Es war ein langer Weg, doch nun bist Du am Ziel! Du hast gelernt, wie Du mit Funktionen die Bewegungen, nicht nur von schwingenden, sondern auch von normal bewegten Körpern vollständig beschreiben kannst. Wenn Du noch mehr über die harmonische Schwingung erfahren willst, schau Dir dazu gerne die entsprechende Erklärung an.

Bewegungsgleichungen - Das Wichtigste

Mithilfe der Bewegungsgleichungen kannst Du die Bewegung eines Körpers im Raum vollständig beschreiben.
Jede Bewegung setzt eine wirkende Kraft voraus:F_i=Teilkräfte, p=Impuls, m=Masse, a=Beschleunigung

$\frac{d \vec{p}}{d t} = m \cdot \vec{a} = \sum_{i} {\vec{F}}_{i}$

Mit dem Weg-Zeit-Gesetz berechnest Du die zurückgelegte Strecke:s=Weg, t=Zeit, v₀=Anfangsgeschwindigkeit, s₀=Zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt t=0

$s (t) = \frac{a \cdot t^{2}}{2} + v_{0} \cdot t + s_{0}$

Mit dem Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz berechnest Du die Geschwindigkeit:

$v (t) = \frac{d s}{d t} = a \cdot t + v_{0}$

Mit dem Beschleunigung-Zeit-Gesetz berechnest Du die Beschleunigung:

a (t) = \frac{d v}{d t} = a

Du kannst durch Integration oder durch Ableiten die einzelnen Funktionen herleiten.
Ein freier Fall liegt vor, wenn lediglich die Gewichtskraft wirkt.
- Die Masse hat keinen Einfluss auf die Fallgeschwindigkeit (bei vernachlässigtem Luftwiderstand).
- In der realen Welt bremst der Luftwiderstand den Fall bei steigender Geschwindigkeit. Schwere Körper mit kleiner Oberfläche fallen aufgrund der Massenträgheit schneller.
Eine harmonische Schwingung entspricht einer Bewegung, dessen Weg-Zeit-Funktion durch eine Sinus oder Cosinusfunktionbeschrieben werden kann.
- Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung werden ebenfalls durch drei Gleichungen beschrieben.
Wegfunktion einer harmonischen Schwingung:ω=Kreisfrequenz, ϕ₀=Phasenwinkel zum Zeitpunkt 0

s (t) = s_{0} \cdot s i n (ω \cdot t + ϕ_{0})

Geschwindigkeitsfunktion einer harmonischen Schwingung:

v (t) = \frac{d s}{d t} = ω \cdot s_{0} \cdot c o s (ω \cdot t + ϕ_{0})

Beschleunigungsfunktion einer harmonischen Schwingung:

a (t) = \frac{d v}{d t} = - ω^{2} \cdot s_{0} \cdot s i n (ω \cdot t + ϕ_{0})

Nachweise

Franz Embacher (2010).Bewegungsgleichungen lösen im Unterricht?. Fakultät der Universität Wien.
BBC Four (2014). Brian Cox visits the world’s biggest vacuum. BBC

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Bewegungsgleichungen

Wann liegt ein freier Fall vor?

Ein freier Fall liegt vor, wenn auf einen Körper nur die durch die Fallbeschleunigung erzeugte Gewichtskraft wirkt.

Hat die Masse einen Einfluss auf die Fallgeschwindigkeit?

Nein, ohne Luftreibung, beispielsweise im Vakuum, fallen alle Körper gleich schnell. Bei einem gedämpfen Fall, bspw. durch die Luftreibung hingegen, fallen schwere Körper schneller als leichte Körper, aufgrund der größeren Massenträgheit.

Welche Gesetze gelten für den freien Fall?

Es gilt die Fallgeschleunigung 'g', die dadurch wirkende Gewichtskraft F_g,sowie die durch Luftreibung entgegengesetzte Kraft 'F_r'.

Wie lautet die Bewegungsgleichung?

Mithilfe der Wegfunktion ist die Bewegung eines Körpers vollständig beschrieben, sie lautet: s(t)=a*t²/2+v₀*t+s₀

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