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Elastischer Stoß - Herleitung
Sicher hast du schon mal gesehen, wie sich ein Ball bei einem Stoß kurz verformt und dann wieder seine ursprüngliche Form annimmt, zum Beispiel, wenn zwei Fußbälle aufeinandertreffen. Physikalisch spricht man hierbei von einem elastischen Stoß.
Beim elastischen Stoß bleibt die gesamte kinetische Energie erhalten. Da der Impuls gleichwertig aufeinander übertragen wird, stoßen sich Körper voneinander ab, bei denen ein elastischer Stoß vorliegt.
Die kinetische Energie eines Körpers ist definiert als 
und eine Energieform, die ein Körper genau dann besitzt, wenn dieser sich in Bewegung befindet.
Ein weiteres Beispiel, bei dem ein elastischer Stoß vorliegt, ist der Aufschlag beim Tennisspielen. Beim Auftreffen des Balls verformen sich Tennisball und Saiten des Tennisschlägers, sodass der Ball erneut vom Netz abprallt.
Abb. 1 - Saiten eines Tennisschlägers und Tennisball verformen sich elastisch beim Aufschlag
Bevor du einen Blick auf die physikalischen Details zum elastischen Stoß wirfst, löse zunächst folgende Aufgabe!
Aufgabe
In welchen dieser folgenden Alltagsbeispiele liegt ein elastischer Stoß vor?
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Lösung
- Beim Billard spielen finden elastische Stöße statt.
- Bei Autounfällen gibt es starke Schäden bzw. Verformungen am Auto, sogenannte unelastische Stöße.
- Ein Asteroid hinterlässt einen großen Krater. Auch hier findet ein unelastischer Stoß statt.
- Beim Bowling werden die Kegel nicht plastisch verformt. Hierbei handelt es sich um einen elastischen Stoß.
Im Folgenden erfährst du, welche Bedeutung der Impulserhaltungssatz für den elastischen Stoß hat.
Elastischer Stoß - Formeln
Beim elastischen Stoß gelten sowohl der Impulserhaltungssatz als auch der Energieerhaltungssatz.
Der Impulserhaltungssatz gilt bei allen Arten von Stößen und besagt, dass der Gesamtimpuls vor und nach dem elastischen Stoß gleich ist.
Beim elastischen Stoß ist zu beachten, dass keine kinetische Energie in innere Energie verwandelt wird. Die gesamte kinetische Energie der beiden Stoßpartner bleibt beim elastischen Stoß erhalten und wird auf beide Stoßpartner aufgeteilt. Daher gilt ebenfalls der Energieerhaltungssatz:
Nach dem elastischen Stoß verändert sich nur die jeweilige Geschwindigkeit der Stoßpartner. Diese wird mit
und 
bezeichnet.
Impulserhaltungssatz beim elastischen Stoß:
Energieerhaltung beim elastischen Stoß:
Da es sich beim Stoß um eine Bewegung handelt, wird die kinetische Energie eingesetzt 
Meistens werden Stöße im eindimensionalen Bereich betrachtet. Das bedeutet, dass alle Bewegungen auf derselben Achse stattfinden.
Zentraler elastischer Stoß
Treffen zwei Körper auf einer geraden Linie aufeinander, bleibt die Bewegungsrichtung auch nach dem Stoß gleich. Dadurch wird die Berechnung erleichtert.
Wenn von einem zentralen elastischen Stoß die Rede ist, dann liegen die Masseschwerpunkte auf der Wirkungslinie der Impulse. Die Richtung der Geschwindigkeit, und damit auch des Impulses, bleibt dadurch erhalten.
Abb. 6 - Der Richtungsvektor der Geschwindigkeit und die Masseschwerpunkte der Stoßpartner liegen auf einer Linie
Die Richtung des Impulses nach dem Stoß ist weiterhin auf der Wirkungslinie. Wenn das der Fall ist, kannst du zur Berechnung der Geschwindigkeiten nach dem Stoß einfach deine Werte in die oben angegebenen Formeln einsetzen und diese berechnen.
Doch was passiert, wenn der Stoß nicht zentral stattfindet? Dann ist er exzentrisch und findet im Zweidimensionalen statt. Dementsprechend musst du auch Richtungsänderungen berücksichtigen.
Exzentrischer Stoß
Sind die Körper nicht in einer Linie beim Zusammenstoß, ist es komplizierter, die Bewegung nach dem Stoß vorherzusehen. Nun musst du auch eine Richtungsänderung des Impulses berücksichtigen.
Wenn die Schwerpunkte der beiden Stoßpartner auf der Stoßlinie liegen, ist von einem zentralen elastischen Stoß die Rede. Liegt der Schwerpunkt nicht auf der Stoßlinie, dann wird das ein exzentrischer Stoß genannt.
Schaue dir den exzentrischen Stoß anhand der folgenden Abbildungen einmal etwas genauer an.
| Exzentrischer Stoß | ||
|---|---|---|
| vor dem Stoß | Die Massenschwerpunkte der Stoßpartner liegen nicht auf der Wirkungslinie. Die Wirkungslinie W beschreibt dabei die Richtung der Geschwindigkeit  |
|
| beim Stoß | Während des Zusammenstoßes findet ein Impulsübertrag statt. Da der Stoß aber nicht zentral, sondern exzentrisch ist, verändert sich die Richtung des Impulses bzw. die Richtung der Geschwindigkeit beider Stoßpartner. So wird es auch in Abbildung 9 dargestellt. |
|
| nach dem Stoß | Nach dem Stoß bewegen sich die beiden Kugeln in unterschiedliche Richtungen. Wenn die Kugeln nicht zentral aufeinandertreffen, wie in diesem Beispiel, kommt es zu Richtungsänderungen, die zu neuen Wirkungslinien der Impulse führen. |
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Beachte: Wenn allerdings vom elastischen Stoß die Rede ist, dann spricht man meist vom zentralen elastischen Stoß. Dieser ist einfacher zu berechnen. Es wird vorausgesetzt, dass die Körper zentral aufeinanderstoßen, um daher keine Richtungsabweichung zu haben. Der Raum wird als eindimensional angesehen und es gibt nur eine Richtung.
Ein elastischer Stoß kann in unterschiedlichen Situationen vorkommen und dabei verschiedene Voraussetzungen mitbringen.
Zentraler elastischer Stoß - Beispiel
Beim elastischen Stoß kommt es vorwiegend auf die Bewegungszustände der Stoßpartner an. Die Stoßpartner können ruhen, in Bewegung oder sogar unbeweglich sein (wie z. B. eine Wand).
Es gibt Sonderfälle, bei denen die Bewegung nach dem Stoß vorhersehbar ist, weil unter bestimmten Voraussetzungen (mit Masse und Geschwindigkeit) immer dasselbe Ergebnis erwartet werden kann:
Gleiche Masse, Stoß mit ruhendem Körper
Zur Veranschaulichung werden zwei Kugeln mit derselben Masse betrachtet. Eine der Kugeln bewegt sich, die andere ruht. Was geschieht nach dem Stoß mit den beiden Kugeln?
Abb. 10 - Bewegte Kugel stößt gegen ruhende Kugel
Abb. 11 - Nach dem Impulsübertrag/Stoß bewegt sich die zuvor ruhende Kugel
Nach dem Stoß bewegt sich die ursprünglich ruhende Kugel 2 mit der Geschwindigkeit der Kugel 1 vor dem Stoß weiter. Kugel 1 bewegt sich nach dem Stoß nicht mehr.
Beim elastischen Stoß mit einem ruhenden Körper der gleichen Masse tauschen beide Körper ihre Geschwindigkeiten miteinander aus:
Eine typische Aufgabe zu dieser Beobachtung könnte so aussehen:
Aufgabe
Es gibt zwei Kugeln (jeweils m=0,2 kg), Kugel 1 bewegt sich (v=2 m/s) und Kugel 2 ruht. (v=0 m/s)
Beide Kugeln stoßen zentral und elastisch aneinander. Welche Geschwindigkeit haben die beiden Kugeln nach dem Stoß
Lösung
Die Geschwindigkeit der ersten Kugel beträgt vor dem Stoß 
.
Da beide Kugeln beim Stoß ihre Geschwindigkeiten austauschen, ist die Geschwindigkeit der ersten Kugel nach dem Stoß gleich der, der zweiten Kugel vor dem Stoß.
Das Gleiche machst du nun mit der Geschwindigkeit der zweiten Kugel und schon hast du deine beiden Ergebnisse:
Was passiert aber, wenn beide Körper eine entgegengesetzte Geschwindigkeit besitzen?
Gleiche Masse, entgegengesetzte Geschwindigkeiten
Die Geschwindigkeiten der Kugeln vor dem Stoß ist: 
. Das bedeutet, beide Kugeln besitzen dieselbe Geschwindigkeit, bewegen sich aber aufeinander zu. Die entgegengesetzte Geschwindigkeit wird mit einem negativen Vorzeichen bestimmt.
Abb. 12 - Die Kugeln bewegen sich frontal aufeinander zu
Abb. 13 - Nach dem Stoß bewegen sich die Kugeln voneinander weg
Daraus kannst du eine Definition für die Geschwindigkeiten beim elastischen Stoß zweier Körper mit gleicher Masse und entgegengesetzter, gleich großer Geschwindigkeit formulieren.
Bei einem frontalen Zusammenstoß mit gleicher Geschwindigkeit gilt, dass die Geschwindigkeit nach dem Stoß in die entgegengesetzte Richtung zeigt, aber vom Betrag gleich bleibt:
Eine Aufgabe zu dieser Regel könnte so aussehen:
Aufgabe
Beide Kugeln besitzen wieder das gleiche Gewicht (m=2 kg). Beide Kugeln besitzen dieselbe Geschwindigkeit (v= 2 m/s), nur in entgegengesetzter Richtung.
Die Kugeln bewegen sich also aufeinander zu.
Wie groß sind die Geschwindigkeiten nach dem Stoß?
Lösung
Die Geschwindigkeiten der beiden Kugeln werden jeweils in die oben angegebene Formel 
eingesetzt.
und
Die Geschwindigkeiten der beiden Kugeln haben nach dem Stoß die Vorzeichen gewechselt.
Es gibt keine negative Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit ist ein Betrag und das Minus ist ein Indikator für die Richtung.
Der Betrag ist eine Summe, die immer positiv ist. Es gilt |x|=x, aber auch |-x|=x. Für reelle Zahlen bedeutet das |-4|=4 und |4|=4.
In den bis jetzt betrachteten Fällen ging es um zwei bewegliche Körper. Im Folgenden wird erklärt, was beim elastischen Stoß passiert, wenn einer der Körper unbeweglich ist.
Stoß mit unbeweglichem Körper
Als Kind haben die meisten von uns gerne mal einen Ball gegen die Wand geworfen und wieder gefangen. Der elastische Stoß sorgt dafür, dass der Ball wieder zurückkommt. Wenn ein Tennisball auf einen nicht beweglichen Körper, wie eine Wand, trifft, dann prallt er mit derselben Geschwindigkeit 
zurück. Die Wand bleibt dabei stehen.
Abb. 14 - Der Ball prallt von der Wand ab und landet in umgekehrter Richtung wieder beim Werfer.
In diesem Fall ist die Voraussetzung, dass einer der Körper viel schwerer ist als der andere und daher als unbeweglich kategorisiert wird.
Beim Stoß mit einem unbeweglichen Körper gilt, dass die Geschwindigkeit vor dem Stoß gleich der Geschwindigkeit nach dem Stoß ist, nur mit negativem Vorzeichen. Die Richtung wird umgekehrt.
Schaue dir den elastischen Stoß mit einem unbeweglichen Körper anhand eines Beispiels an.
Der Ball wird mit v= 3 m/s an die Wand geworfen:
Der Ball prallt an der Wand ab und kehrt mit der gleichen Geschwindigkeit zurück, nur die Richtung ändert sich. Anstatt sich von dir wegzubewegen, kommt der Ball nun wieder auf dich zu. Daher ist v'= -3 m/s .
Nicht jeder Fall ist ein Spezialfall so wie dieser. Deswegen werden im Anschluss weitere Fälle aufgezeigt.
Sonstige Fälle
Bei allen anderen Fällen, bei denen beide Körper bewegt sind und gegebenenfalls auch unterschiedliche Massen besitzen, kann keine Gesetzmäßigkeit vorausgesetzt werden. Daher musst du die Formel für den Impulserhaltungssatz umstellen und deine Werte in die Formel einsetzen.
Wenn es sich nicht um einen Sonderfall handelt, musst du einfach nur die Impulserhaltung rechnerisch anwenden und die gegebenen Werte in diese Formel einsetzen:
Wenn der Stoß jedoch nicht elastisch ist, handelt es sich um einen unelastischen Stoß beziehungsweise plastischen Stoß.
Eine ausführliche Erklärung zum plastischen Stoß findest du im entsprechenden Artikel.
Elastischer Stoß – Das Wichtigste
- Gleichwertige Übertragung des Impulses ohne plastische Verformung.
- Impulserhaltungssatz gilt auch bei elastischen Stößen.
- Gesamtimpuls vor dem Stoß = Gesamtimpuls nach dem Stoß. Es gilt .
- Keine Umwandlung von kinetischer Energie, nur Übertragung von kinetischer Energie.
- Meistens werden zentrale elastische Stöße berechnet.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Elastischer Stoß
Wann ist ein Stoß elastisch?
Ein Stoß ist elastisch wenn beide Stoßpartner zusammen die gleiche kinetische Energie haben wie nach dem Stoß. Es geht keine Energie durch Verformung umgewandelt, die Verformungen sind nur elastisch.
Was ist ein zentraler Stoß?
Ein zentraler Stoß findet statt, wenn die Massenmittelpunkte der Stoßpartner auf einer Linie mit der Bewegungsrichtung der Körper ist (z.B. zwei Autos die frontal aufeinander auffahren).
Was ist ein elastischer Stoß?
Der elastische Stoß ist eine Art von Stoß bei der keine Energie durch plastische Verformung umgewandelt wird, und sich beide Stoßpartner voneinander abstoßen.
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