Federkonstante

Du fährst mit Deinem Fahrrad über einen kleinen Stein.

Je nach Geschwindigkeit des Fahrrades, der Größe des Steines, des Gesamtgewichts vom Fahrrad und weiteren Faktoren wirkt eine gewisse Kraft auf die Federung, die Spannkraft.

Die Federung wird dabei um eine gewisse Strecke gestaucht. Diese Strecke ist die Dehnung / Stauchung der Feder.

Je nach Federkonstante Deiner Fahrradfederung, wird die Feder unterschiedlich weit gestaucht. Eine weichere Federung bedeutet also, dass die Feder stark gestaucht wird, womit der Aufprall „weicher“ wirkt.

Du möchtest mit Deiner Familie in den Urlaub fahren. Dafür nehmt ihr das Auto. Euer Auto wiegt im Leerzustand $m_{leer}=1200kg$. Die Beladung, also Deine Familie inklusive Gepäck wiegt insgesamt $\mathrm{\Delta }m=300kg$ . Du bemerkst, dass sich das Auto durch die zusätzliche Beladung um weitere $\mathrm{\Delta }s=3cm$ absenkt.

Hinweis: Die Autofederung wird als eine gesamte, perfekt elastische Feder angenommen.

Aufgabe 1

a) Berechne die Spannkraft, welche im voll beladenen Zustand $F_{S,voll}$ auf die Autofederung wirkt.

b) Berechne die Federkonstante $D$ der Gesamtfederung des Autos.

c) Berechne die Stauchung $s_{leer}$ an der Autofederung im leeren Zustand des Autos.

Lösung a

Hier musst Du überlegen, durch welche Kraft die Federung gespannt wird. Das gesamte Gewicht des Autos inklusive jeglicher zusätzlicher Beladung sitzt auf der Federung des Autos. In diesem Falle wird die Feder also durch die Gewichtskraft gestaucht.

Eine Gewichtskraft berechnest Du allgemein mit der Masse $m$ und der Erdbeschleunigung (Ortsfaktor) $g$:

$$F_G=m\cdot g$$

Hinweis: Der Ortsfaktor beträgt an der Erdoberfläche (findest Du in Deiner Formelsammlung):

$$g=9,81\frac{m}{s^2}$$

Die Gewichtskraft entspricht hier der Spannkraft, da ansonsten keine weiteren Kräfte auf die Federung wirken.

$$F_S=F_G=m\cdot g$$

Die wirkende Masse $m_{voll}$ ist bei voller Beladung die Leermasse $m_{leer}$ und die zusätzliche Masse der Beladung $\mathrm{\Delta }m=300kg$.

Du kannst $m_{voll}$ an dieser Stelle also so berechnen:

$$\begin{array}{rl}{m}_{voll}& =m_{leer}+\mathrm{\Delta }m\\ & =1200kg+300kg=1500kg\end{array}$$

Oftmals sparst Du Dir aber Rechen- und Schreibarbeit, wenn Du erst ganz am Ende die Werte einsetzt.

Die Größen kannst Du in die oben stehende Formel für $F_S=F_G$ einsetzen:

$$F_{S,voll}=F_{G,voll}=m_{voll}\cdot g$$

Jetzt ersetzt du $m_{voll}$ mit den gegebenen Größen $m_{leer}$ und $\mathrm{\Delta }m$ und setzt diese in die Formel ein:

$$F_{S,voll}=(m_{leer}+\mathrm{\Delta }m)\cdot g$$

Jetzt hast Du eine Formel, um die gesuchte Größe F_{S,voll} mit ausschließlich gegebenen Werte zu berechnen. Dafür setzt Du Werte für $m_{leer}$, $\mathrm{\Delta }m$ und $g$ zunächst ein:

$$F_{S,voll}=(1200kg+300kg)\cdot 9,81\frac{m}{s^2}$$

Daraus berechnest Du den Wert für $F_{S,voll}$:

$$F_{S,voll}=14715N$$

Lösung b

Um die Federkonstante der Autofederung zu berechnen, benötigst Du eine Dehnung / Stauchung und die dazugehörige Kraft, welche diese Dehnung / Stauchung verursacht.

In dieser Aufgabe ist nur eine Stauchung gegeben, nämlich $\mathrm{\Delta }s=3cm$. Die Kraft welche diese Stauchung verursacht, ist die Spannkraft durch die zusätzliche Beladung $Delta2943N$.

Jetzt hast Du also die für diesen Teil der Aufgabe interessanten Größen. Nun benötigst Du die Formel für die Federkonstante bei gegebener Kraft und Dehnung / Stauchung:

$$D=\frac{F_S}{s}$$

In die Formel kannst Du die interessanten Größen $\mathrm{\Delta }{F}_s$ und $\mathrm{\Delta }s$ einsetzen:

$$D=\frac{\mathrm{\Delta }{F}_S}{\mathrm{\Delta }s}$$

Bevor Du die Werte zur Berechnung einsetzt, musst Du darauf achten, dass Du alle Werte in SI-Einheiten hast! Das bedeutet, anstatt km (Kilometer) oder cm (Zentimeter) die SI-Einheit m (Meter) benutzen. Für die Kraft das Gleiche: anstatt kN (Kilonewton) oder mN (Millinewton) die Kraft in N (Newton) umrechnen.

$\mathrm{\Delta }s$ ist hier in cm gegeben. Das musst Du also vorher in m umrechnen:

$$\mathrm{\Delta }s=3cm=3\cdot \frac{1}{100}m=0,03m$$

Nun setzt Du die Werte der Größen in SI-Einheiten in die Formel ein:

$$D=\frac{2943N}{0,03m}$$

Daraus berechnest Du die Federkonstante $D$ der Autofederung:

$$D=98100\frac{N}{m}$$

Lösung c

Um die Stauchung $s_{leer}$ an der Autofederung im Leerzustand zu berechnen, musst Du wieder die in dieser Situation wirkende Kraft herausfinden. Hier ist es die Spannkraft im Leerzustand $F_{S,leer}$. Die Federkonstante $D$ ist hier die schon berechnete. Warum? Weil die Federung sich nicht geändert hat.

Nun benötigst Du wieder die Formeln des Hookeschen Gesetzes. Dieses Mal die Stauchung $s$ in Abhängigkeit einer wirkenden Spannkraft $F_S$ auf eine Feder der Federkonstante $D$.

$$s=\frac{F_S}{D}$$

Deine Größen kannst Du in die Formel einsetzen:

$$s_{leer}=\frac{F_{S,leer}}{D}$$

Jetzt kannst Du die Werte in SI-Einheiten einsetzen. Die resultierende Größe ist dadurch auch automatisch in SI-Einheiten:

$$s_{leer}=\frac{11772N}{98100\frac{N}{m}}$$

Die Stauchung der Autofederung im Leerzustand $s_{leer}$ kannst Du jetzt berechnen:

$$s_{leer}=0,12m=12cm$$

Dein Gewicht drückt dabei auf die Matratze und darunter auch auf den Lattenrost. Matratze und Lattenrost nehmen wir in der Betrachtung als perfekte, elastische Federn an.

Abb. 4: Kraft wirkt von oben auf Matratze und darunter auf Lattenrost = Reihenschaltung

Die beiden Federn (Matratze und Lattenrost) sind dabei in Reihe geschaltet. Das bedeutet, die Federn sind in Kraftrichtung hintereinander angeordnet (Kraft von oben → auf Matratze → auf Lattenrost).

Gegeben sind zwei Federn der Federkonstanten $D_1=35\frac{N}{m}$ und $D_2=12\frac{N}{m}$.

Aufgabe 2

a) Berechne die Gesamtfederkonstante $D_{Ges,Par}$ der Schaltung, wenn Du beide Federn parallel schaltest.

b) Berechne die Gesamtfederkonstante $D_{Ges,Reihe}$ der Schaltung, wenn Du beide Federn in Reihe schaltest.

Lösung a

Es geht hier um die Parallelschaltung von Federn. Du hast gelernt, dass sich die Gesamtfederkonstante $D_{Ges,Par}$ einer Parallelschaltung aus der Summe der Federkonstanten der einzelnen Federn $D_1$ und $D_2$ ergibt.

Mit diesem Wissen kannst Du also folgende Formel aufstellen:

$$D_{Ges,Par}=D_1+D_2$$

Hier setzt Du die Werte der Federkonstanten $D_1$ und $D_2$ ein. Achte dabei darauf, dass diese in der gleichen Einheit gegeben sein müssen. Die Gesamtfederkonstante $D_{Ges,Par}$ besitzt dann die gleiche Einheit. In diesem Fall sind die Federkonstanten als normale SI-Größen gegeben. Du kannst also einfach einsetzen:

$$D_{Ges,Par}=35\frac{N}{m}+12\frac{N}{m}$$

Mit dieser Summe berechnest Du die Gesamtfederkonstante der Parallelschaltung $D_{Ges,Par}$:

$$D_{Ges,Par}=47\frac{N}{m}$$

Lösung b

Hier ist eine Reihenschaltung von Federn gegeben. Du weißt, dass sich der Kehrwert der Gesamtfederkonstante einer Reihenschaltung $\frac{1}{D_{Ges,Reihe}}$aus der Summe der Kehrwerte der Federkonstanten der einzelnen Federn $\frac{1}{D_1}$ und $\frac{1}{D_2}$ ergibt.

Du kannst also die folgende Formel aufstellen:

$$\frac{1}{D_{Ges,Reihe}}=\frac{1}{D_1}+\frac{1}{D_2}$$

Jetzt kannst Du die Werte einsetzen. Wie oben schon erwähnt, musst Du hier keine Einheiten umrechnen:

$$\frac{1}{D_{Ges,Reihe}}=\frac{1}{35\frac{N}{m}}+\frac{1}{12\frac{N}{m}}$$

Aus der Summe berechnest Du den Kehrwert der Gesamtfederkonstanten der Reihenschaltung $\frac{1}{D_{Ges,Reihe}}$:

$$\frac{1}{D_{Ges,Reihe}}=\mathrm{0,112}\frac{1}{\frac{N}{m}}$$

Bildest Du nun den Kehrwert von $\frac{1}{D_{Ges,Reihe}}$ erhältst Du die Gesamtfederkonstante der Reihenschaltung $D_{Ges,Reihe}$. Aus der Einheit wird dabei $\frac{N}{m}$ und den Kehrwert berechnest Du mit 1 durch den Wert der Größe:

$$D_{Ges,Reihe}=\frac{1}{\mathrm{0,112}}=8,93\frac{N}{m}$$