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Lissajous-Figuren Erklärung
Schwingungen können sich durch Superposition überlagern. Schwingen sie parallel zueinander, so addieren sich ihre Amplituden zu einer Gesamtamplitude. Finden die Schwingungen allerdings senkrecht zueinander statt, so eröffnet sich eine ganz andere Möglichkeit, die die Erklärung für Lissajous-Figuren liefert.
Als Lissajous-Figuren bezeichnest Du Bahnkurven senkrecht zueinander laufender, überlagernder Schwingungen. Bahnkurven geben im Allgemeinen die räumliche Bewegung eines Systems in x- und y-Richtung an.
Stellst Du eine Welle durch eine Sinusfunktion dar, dann kannst Du ihre zeitabhängige Auslenkung \(y(t)\) mit der Amplitude \(y_0\) (maximale Auslenkung), der Zeit \(t\) und der Kreisfrequenz \(\omega_y\) durch folgende Gleichung beschreiben:
$$y(t)=y_0\cdot\sin(\omega_y\cdot t)$$
Hast Du nun eine zweite Welle, so wird ihre Auslenkung \(x(t)\) ebenfalls durch ihre Amplitude \(x_0\), ihre Kreisfrequenz \(\omega_x\) und eine eventuelle Phasenverschiebung \(\varphi\) zur ersten Welle beschrieben:
$$x(t)=x_0\cdot\sin(\omega_x\cdot t-\varphi)$$
Dabei können die beiden Wellen auch senkrecht zueinander schwingen – die eine in x- und die andere in y-Richtung. Da für die Überlagerung senkrecht zueinander schwingenden Wellen eine Bahnkurve in der x-y-Ebene gezeichnet werden kann, ergibt sich mit diesen Gleichungen eine alternative Definition der Lissajous-Figuren:
Lissajous-Figuren sind Bahnkurven, die durch die Parametergleichungen
\begin{align}y(t)&=y_0\cdot\sin(\omega_y\cdot t)\\ \\ x(t)&=x_0\cdot\sin(\omega_x\cdot t-\varphi) \end{align}
beschrieben werden. Dabei sind \(y(t)\) und \(x(t)\) die zeitabhängigen Auslenkungen der Schwingung in x- und y-Richtung, \(x_0\) und \(y_0\) die entsprechenden Amplituden, \(\omega_x\) und \(\omega_y\) die Kreisfrequenzen, \(t\) die Zeit und \(\varphi\) die Phasenverschiebung.
Diese Parametergleichungen geben an, wie sich die Lissajous-Figur im Laufe der Zeit in x- und y-Richtung ändert.
Du kannst Lissajous-Figuren selbst zu Hause erstellen – dazu baust Du lediglich ein Fadenpendel.
Um Dein Fadenpendel zu bauen, benötigst Du eine Schnur, einen Gefrierbeutel mit Sand, Mehl oder ähnlichem pulvrigen Material und etwas, woran Du das Pendel befestigen kannst. Am besten lässt Du es auch über dem Tisch schwingen, den Du nach Beenden des Versuches leicht sauber machen kannst.
Du füllst das Pulver in den Gefrierbeutel und befestigst ihn so an der Schnur, dass eine Ecke nach unten zeigt. Von dieser Ecke schneidest Du nun ein Stückchen ab, sodass das Pulver aus der Tüte rieselt und die Lissajous-Figur auf dem Tisch „malt“. Dann regst Du das Pendel zur Schwingung an und lässt es paar Mal hin und her schwingen. Das erzeugte Muster sollte eine gerade Linie sein.
Nun schubst Du das schwingende Pendel leicht von der Seite an. Dadurch schwingt es nicht mehr in eine, sondern in zwei Raumrichtungen. Das Muster auf dem Tisch nimmt entsprechend eine andere Form an.
Was ein Fadenpendel genau ist, kannst Du unter „Fadenpendel“ nachlesen.
Aber wie genau überlagern sich zwei senkrechte Wellen, sodass dieses Muster entsteht?
Lissajous-Figuren zeichnen
Liegt keine Phasenverschiebung vor, so können sowohl die erste Welle als auch die zweite Welle durch jeweils eine Sinusfunktion (oder eine Cosinusfunktion) beschrieben werden, die zwar senkrecht zueinander stehen, jedoch in Phase schwingen. Dabei schwingt eine Welle entlang der x-Achse und die zweite Welle entlang der y-Achse.
Entsprechend zeichnest Du die Auslenkung entlang der x- bzw. entlang der y-Achse, sodass beide Graphen senkrecht zueinander stehen. Dies kannst Du Dir so vorstellen, als würdest Du den Graphen der ersten Welle um \(90^\circ\) drehen.
Abb. 1 - Überlagerung von zwei senkrechten Wellen ohne Phasenverschiebung
Welche der betrachteten Wellen entlang welcher Achse schwingt, ist nicht wichtig. Auch beim Vertauschen kommst Du auf dieselbe Bahnkurve.
Nun suchst Du Dir ein paar Punkte, die auf jedem Graphen die gleiche Position (gleiches \(t\)) haben. Dazu eignen sich unter anderen die charakteristischen Punkte – wie Nullstellen, Maxima und Minima – der Kurven. Die Überlagerung an diesen Punkten kannst Du in einem x-y-Diagramm zeichnen. Dieses entspricht Deiner Lissajous-Figur. Dabei gehst Du in mehreren Schritten vor:
Du gehst vom ersten Punkt, etwa der Nullstelle, aus. Von den entsprechenden Auslenkungen ziehst Du nun eine Linie zum x-y-Diagramm. Der Schnittpunkt der beiden Linien entspricht der überlagerten Auslenkung.
Dann gehst Du zum zweiten Punkt über. Dieser kann z. B. zwischen der Nullstelle und dem Maximum oder Minimum liegen. Auch hier ziehst Du jeweils eine Linie zum x-y-Diagramm. Der Schnittpunkt dieser Linien gibt den zweiten Punkt der Lissajous-Figur an. Um mehr Punkte zu bestimmen, kannst Du diesen Schritt sowohl bei den negativen, als auch bei den positiven Werten vom gleichen Betrag durchführen.
Als dritten Punkt kannst Du auch die minimale und die maximale Auslenkung in x- und y-Richtung analog zu Punkt 1 und 2 betrachten. Aus dem Schnittpunkt der entsprechenden Linien im x-y-Diagramm erhältst Du die letzten Punkte der Lissajous-Figur.
Anschließend verbindest Du alle Punkte im x-y-Diagramm. Das resultierende Bild entspricht der Lissajous-Figur.
Sofern die beiden Wellen in Phase schwingen, entspricht die erhaltene Lissajous-Figur einer Geraden in der x-y-Ebene, die eine positive Steigung hat. Bei einer Phasenverschiebung kann die Figur allerdings ganz anders aussehen.
Lissajous-Figuren Phasenverschiebung
Je nach Phasenverschiebung nimmt die Lissajous-Figur unterschiedliche Formen an.
Die Phasenverschiebung wird durch \(\varphi\) (griechischer Buchstabe Phi) dargestellt und wird in Grad angegeben.
Abb. 2 - Phasenverschiebung
Sie gibt an, wie zwei periodische Funktionen – z. B. Sinus oder Cosinus – in ihrer Wellenlänge zueinander verschoben sind.
Liegt keine Phasenverschiebung vor, so ist \(\varphi=0^\circ\). Sind die beiden Wellen um eine halbe Wellenlänge zueinander verschoben, so ist wiederum \(\varphi=180^\circ\).
Bei einer Phasenverschiebung von \(\phi=90^\circ\) sind die Wellen um ein Viertel der Wellenlänge zueinander verschoben:
Abb. 3 - Überlagerung von zwei senkrechten Wellen mit einer Phasenverschiebung von 90°
In diesem Fall treffen die Maxima und Minima der Auslenkung in x-Richtung (erste Welle) stets auf die Nullstellen der zweiten Welle. Für die entsprechende Bahnkurve bedeutet dies, dass an diesen Stellen zwar die Auslenkung in x-Richtung minimal oder maximal wird, die Auslenkung in y-Richtung jedoch Null ist.
Umgekehrt ist es, wenn die Auslenkung in y-Richtung (zweite Welle) ihr Maximum oder Minimum erreicht: An diesen Stellen hat die erste Welle ihre Nullstellen und somit verschwindet in der Bahnkurve die Auslenkung in x-Richtung, während die Auslenkung in y-Richtung maximal bzw. minimal wird.
Um die komplette Bahnkurve zu konstruieren, kannst Du ebenfalls die Überlagerung der Amplituden an den Punkten dazwischen betrachten. Wenn Du anschließend alle Punkte der Bahnkurve verbindest, erhältst Du eine kreisförmige Lissajous-Figur.
Analog dazu kannst Du die Lissajous-Figuren bei anderen Phasenverschiebungen konstruieren:
Abb. 4 - Lissajous-Figuren bei unterschiedlichen Phasenverschiebungen
Dabei wurden bisher zwei Wellen gleicher Frequenz betrachtet. Wie sieht es allerdings aus, wenn nicht nur die Phasenverschiebung, sondern auch die Schwingungsfrequenz verändert wird?
Lissajous-Figuren Frequenz
Um das Verhalten der Lissajous-Figuren bei unterschiedlichen Frequenzen zu untersuchen, betrachtest Du das Verhältnis der Kreisfrequenzen \(\omega_x\) und \(\omega_y\) in x- bzw. y-Richtung. Mit unterschiedlichen Phasenverschiebungen erhältst Du dabei verschiedene Lissajous-Figuren:
Abb. 5 - Lissajous-Figuren bei unterschiedlichen Frequenzen und Phasenverschiebungen
Haben die beiden Wellen die gleiche Frequenz, so ergeben sich die erwarteten elliptischen Lissajous-Figuren. Bei anderen Frequenzverhältnissen \(\frac{\omega_y}{\omega_x}\) kannst Du erkennen, dass sich die Verhältnisse der Anzahl an Maxima in x- und y-Richtung antiproportional zu diesem Verhältnis verhalten: Bei \(\frac{\omega_y}{\omega_x}=\frac{{\color{pink}2}}{{\color{gelb}1}}\) und \(\varphi=0^\circ\) gibt es etwa zwei Maxima in x-Richtung und nur eins in y-Richtung.
Damit lässt sich folgender Zusammenhang definieren:
Das Verhältnis der Kreisfrequenzen der Schwingung in x- und y-Richtung, \(\omega_x\) und \(\omega_y\), entspricht dem Kehrwert vom Verhältnis der Anzahl an Maxima in x- und y-Richtung, \(n_x\) und \(n_y\):
$$\frac{\omega_x}{\omega_y}=\frac{n_y}{n_x}$$
Weil die Kreisfrequenz \(\omega\) proportional zu der „normalen“ Schwingungsfrequenz \(f\) und der Proportionalitätsfaktor \(2\cdot\pi\) eine Konstante ist, ist das Verhältnis für beide Frequenzen gleich:
$$\frac{\omega_x}{\omega_y}=\frac{f_x}{f_y}$$
Deswegen kannst Du über dieses Verhältnis die Frequenz \(f\) einer Schwingung in x- oder y-Richtung bestimmen, sofern die Frequenz in die andere Richtung gegeben ist. Lissajous-Figuren lassen sich durch die Variation von Frequenzen und/oder eine Phasenverschiebung erzeugen.
Lissajous-Figuren erzeugen mit Oszilloskop
Mit einem Pendel kannst Du zwar Lissajous-Figuren erzeugen, allerdings kannst Du ihre Form schlecht kontrollieren. Bei einem einfachen Fadenpendel hast Du nämlich keine Kontrolle über die Frequenz oder die Phasenverschiebung. Viel besser funktioniert es daher über Schwingungen der Wechselspannung auf einem Oszilloskop.
Ein Oszilloskop wird dazu verwendet, den zeitlichen Verlauf einer Spannung grafisch darzustellen.
Die genaue Funktionsweise, den Aufbau so wie weitere Einsatzzwecke kannst Du in der Erklärung zum Oszilloskop nachlesen!
Die grafische Darstellung erfolgt auf einem Bildschirm mit integriertem Koordinatensystem, wobei üblicherweise die Spannung in Abhängigkeit von der Zeit dargestellt wird.
Abb. 6 - Oszilloskop
Bei Wechselspannung schwingt der Wert der Spannung \(U\) periodisch mit der Zeit \(t\). Demnach ergibt sich auf dem Oszilloskop ein sinusförmiger Verlauf der Spannung, mit der Amplitude auf der y- und der Zeit auf der x-Achse:
Abb. 7 - Wechselspannung in Abhängigkeit der Zeit
Dabei wird nur eine einzige Schwingung betrachtet. Das Gerät kannst Du allerdings auch so einstellen, dass die Überlagerung zweier senkrecht zueinander stehender Schwingungen dargestellt wird.
Um mit dem Oszilloskop Lissajous-Figuren zu erzeugen, verwendest Du den sogenannten XY-Modus. Dabei wird auf der x-Achse nicht die Zeit, sondern die zweite Schwingung aufgetragen. Wie das funktioniert, kannst Du Dir an dem Aufbau und der Schaltung verdeutlichen:
Abb. 8 - Bilderzeugung im Oszilloskop
Wie das Oszilloskop genau funktioniert, erfährst Du in „Braunsche Röhre“ und „Oszilloskop“.
Nachdem der Elektronenstrahl erzeugt und durch das äußere Feld beschleunigt wurde, trifft er auf zwei Paare senkrecht zueinander stehender Ablenkplatten, die zur Ablenkung des Strahls dienen. An den horizontalen Ablenkplatten legst Du eine Wechselspannung an. Je nach Polung wird dadurch der Strahl hoch und runter – entlang der y-Achse – abgelenkt.
Um eine Lissajous-Figur zu messen, legst Du an den senkrechten Ablenkplatten im Oszilloskop eine zweite Wechselspannung an, mit der Du die erste überlagern möchtest. Entsprechend wird der Elektronenstrahl im Oszilloskop durch die zweite Wechselspannung (Schwingung entlang der x-Achse) zusätzlich in x-Richtung abgelenkt. Durch diese Ablenkung entsteht auf dem Bildschirm die entsprechende Lissajous-Figur.
Lissajous-Figuren Berechnungen
Lissajous-Figuren kannst Du also mithilfe von Wechselspannungen erzeugen. Dabei ergeben sich bei unterschiedlichen Frequenzen und Phasenverschiebungen verschiedene Muster. Diese kannst Du dazu nutzen, um etwa die Phasenverschiebung oder die Frequenz zu berechnen.
Lissajous-Figuren berechnen der Frequenz
Um die Frequenz einer unbekannten Schwingung aus der entsprechenden Lissajous-Figur zu berechnen, muss die zweite Frequenz bekannt sein. Das Verhältnis der Frequenzen in x- und y-Richtung, \(f_x\) und \(f_y\), ergibt sich nach der obigen Formel aus dem Kehrwert vom Verhältnis der Anzahl an Maxima in x- und y-Richtung, \(n_x\) und \(n_y\):
$$\frac{f_x}{f_y}=\frac{n_y}{n_x}$$
Diese kannst Du nun auf die gesuchte Frequenz umstellen.
Ist die Frequenz in y-Richtung (\(f_y\)) gegeben, so kannst Du die Formel nach \(f_x\) umstellen, um die Frequenz in x-Richtung zu bestimmen:
\begin{align}\frac{f_x}{f_y}&=\frac{n_y}{n_x}\qquad |\cdot f_y \\ \\ f_x&= \frac{n_y}{n_x}\cdot f_y \end{align}
Möchtest Du hingegen die Frequenz in y-Richtung berechnen und die Frequenz in x-Richtung (\(f_x\)) ist gegeben, so stellst Du die Gleichung nach \(f_y\) um:
\begin{align}\frac{f_x}{f_y}&=\frac{n_y}{n_x}&&\qquad |\cdot f_y \\ \\ f_x&= \frac{n_y}{n_x}\cdot f_y &&\qquad |\cdot\frac{n_x}{n_y}\\ \\ f_x\cdot\frac{n_x}{n_y}&=f_y &&\qquad |\leftrightarrow\\ \\ f_y&=f_x\cdot\frac{n_x}{n_y}\end{align}
In diese Formeln setzt Du dann die Anzahl der Maxima in x- oder y-Richtung ein und berechnest das Ergebnis.
Auf einem Oszilloskop siehst Du eine Figur mit drei Maxima entlang der x-Achse und zwei Maxima entlang der y-Achse:
Abb. 9 - Bestimmung von Frequenzen anhand einer Lissajous-Figur
Eine solche Lissajous-Figur wird erzeugt, wenn keine Phasenverschiebung auftritt.
Somit ist \(n_x=3\) und \(n_y=2\) und das Verhältnis der Frequenzen:
$$\frac{f_x}{f_y}=\frac{{\color{gelb}2}}{{\color{pink}3}}$$
Dieses stellst Du auf die gesuchte Frequenz um und setzt die bekannte Frequenz ein.
Hältst Du die beiden Frequenzen wiederum gleich, so kannst Du eine Phasenverschiebung berechnen.
Lissajous-Figuren berechnen der Phasenverschiebung
An manchen Lissajous-Figuren lässt sich die Phasenverschiebung direkt ablesen. Dies ist etwa der Fall, wenn die Lissajous-Figur eine Gerade mit positiver Steigung (entspricht \(\varphi=0^\circ\)), eine Gerade mit negativer Steigung (entspricht \(\varphi=180^\circ\)) oder einen Kreis (entspricht \(\varphi=90^\circ\)) ergibt. Bei elliptischen Lissajous-Figuren kannst Du die Phasenverschiebung wiederum berechnen.
Dabei unterscheidest Du, ob der Winkel zwischen Ellipse und x-Achse zwischen \(\theta=0^\circ\) und \(\theta=90^\circ\) oder \(\theta=90^\circ\) und \(\theta=180^\circ\) liegt:
Um anhand einer elliptischen Lissajous-Figur die Phasenverschiebung zu bestimmen, wird der Neigungswinkel \(\theta\) betrachtet.
Abb. 10 - Bestimmung der Phasenverschiebung anhand einer Lissajous-Figur
Je nach Neigungswinkel ergeben sich unterschiedliche Gleichungen, mit denen Du die Phasenverschiebung \(\varphi\) berechnen kannst:
| \(\theta\in[0^\circ,90^\circ]\) | \(\theta\in[90^\circ,180^\circ]\) |
| \begin{align}\varphi&=\arcsin\left(\frac{{\color{pink}x_1}}{{\color{türkis}x_2}}\right)\\ \\\varphi&=\arcsin\left(\frac{{\color{pink}y_1}}{{\color{türkis}y_2}}\right) \end{align} | \begin{align}\varphi&=180-\arcsin\left(\frac{{\color{pink}x_1}}{{\color{türkis}x_2}}\right)\\ \\\varphi&=180-\arcsin\left(\frac{{\color{pink}y_1}}{{\color{türkis}y_2}}\right) \end{align} |
Dabei ist \(x_1\) bzw. \(y_1\) der Abstand der Schnittpunkte der Ellipse mit der x- bzw. y-Achse und \(x_2\) bzw. \(y_2\) die Breite der großen Halbachse auf der x- bzw. y-Achse.
\(\arcsin\) heißt Arcussinus. Das ist die Umkehrfunktion vom Sinus und dient dazu – genau wie hier – Winkel zu berechnen. Auf dem Taschenrechner hast Du eine entsprechende Taste, die mit \(\sin^{-1}\) gekennzeichnet ist.
An einer gemessenen Lissajous-Figur kannst Du also die entsprechenden Abstände messen und erhältst mit diesen Formeln die Phasenverschiebung. Damit sind Lissajous-Figuren nicht nur schön anzuschauen, sondern haben auch eine reale Anwendung bei der Berechnung von Wechselspannungen!
Lissajous-Figuren – Das Wichtigste
- Lissajous-Figuren kannst Du als Bahnkurven senkrecht zueinander laufender, überlagernder Schwingungen erklären.
- Je nach Phasenverschiebung und Frequenzunterschied ergeben sich unterschiedliche Formen.
- Um Lissajous-Figuren zu zeichnen, stellst Du die zu überlagernden Wellen senkrecht zueinander dar. Amplituden der beiden Funktionen bei gleichen Zeitpunkten bilden den entsprechenden x- und y-Wert der Lissajous-Figur. Liegt keine Phasenverschiebung vor und sind beide Schwingungsfrequenzen gleich, so entspricht die Lissajous-Figur einer Geraden.
- Lissajous-Figuren können auch mit einem Oszilloskop erzeugt werden: Im XY-Modus kannst Du sowohl auf der x-Achse als auch auf der y-Achse eine Spannung darstellen.
- Anhand einer gegebenen Lissajous-Figur kannst Du auch die Frequenz einer Schwingung (\(f_x\) oder \(f_y\)) – sofern die zweite Frequenz bekannt ist – und die Phasenverschiebung \(\varphi\) berechnen.
- Bei einer Phasenverschiebung von \(\varphi=0^\circ\) ergibt sich die unbekannte Frequenz aus der Beziehung der Frequenzen in x- und y-Richtung (\(f_x\) und \(f_y\)) zu der Anzahl der Maxima in x- und y-Richtung (\(n_x\) und \(n_y\)) der Lissajous-Figur: $$\frac{f_x}{f_y}=\frac{n_y}{n_x}$$
- Bei gleicher Frequenz erhältst Du die Phasenverschiebung je nach Neigungswinkel \(\theta\) aus dem Abstand der Schnittpunkte der Ellipse mit der x- bzw. y-Achse (\(x_1\) bzw. \(y_1\)) und der Breite der großen Halbachse auf der x- bzw. y-Achse (\(x_2\) bzw. \(y_2\)).
\(\theta\in[0^\circ,90^\circ]\) \(\theta\in[90^\circ,180^\circ]\) \begin{align}\varphi&=\arcsin\left(\frac{x_1}{x_2}\right)\\ \\\varphi&=\arcsin\left(\frac{y_1}{y_2}\right) \end{align} \begin{align}\varphi&=180-\arcsin\left(\frac{x_1}{x_2}\right)\\ \\\varphi&=180-\arcsin\left(\frac{y_1}{y_2}\right) \end{align}
Nachweise
- demonstrations.wolfram.com: Lissajous Figures. (02.12.2022)
- mathematische-basteleien.de: Lissajous-Figur. (02.12.2022)
- mathcurve.com: LISSAJOUS CURVE or BOWDITCH CURVE. (02.12.2022)
- tutorialspoint.com: Lissajous Figures. (05.12.2022)
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